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导数综合练习(含答案)


导数综合练习(含答案) 主要内容一览
导数实 际背景 导数定义 导函数 基本导数公式 求简单函数的导数 导数的应用 导数运算法则 判断函数 的单调性 判断函数的 极大(小)值 求函数的最大(小)值 导数几 何意义

导数练习(1) 一、选择题 1、曲线 y ? 2 x4 上的点到直线 y ? ? x ? 1 的距离的最小值为( )

A. 2

B.

2 2

C.

2 3

D.

5 2 16

2、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x ) ? 0 , 则

f (1) 的最小值为( f '(0)
A. 3



B.
3

5 2

C. 2

D.

3 2


3、点 P 在曲线 y ? x ? x ? A. [0,

?
2

]?[

5? ,? ) 6
3 2

2 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的取值范围是( 3 3? ? 3? 3? ,? ) ,? ) ] B. [0, ) ? [ C. [ D. [0, 4 2 4 4
) D.- ) D. 6

4、函数 y ? x ? x ? x ? 1 在闭区间[-1,1]上的最大值是( A.

32 27

B.

26 27

C. 0

32 27

3 5、函数 y ? x ? 6 x 在闭区间 ? ? 6, 6 ? 上的最大值为(

A. 4 2

? B.3 2

?

C. 2 6

x x ( x gx ? 6、 已知对任意实数 x , f (? ) ?? f ( ) g, ) ? ( ) 有
时( )

, x ? 0 时,f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 , x ? 0 且 则

A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

第 1 页 共 7 页

C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 二、填空题

D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

7、与函数 y ? x 3 ? 2 x ? 1 的图象相切,切线斜率为 1 的切线方程是_______ 8、若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值为 10,则 a ? 9、函数 y ? x3 ? 3x 2 ? 9x ? 5 的单调递减区间是______________。 10 、 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M ( ,f 1

。 ,b ? 。

( 1处 )的 切 线 方 程 是 y ? )

1 x?2 , 则 2

f ( 1? f ? )

(?1 )



11、若函数 y ?

1 3 1 2 x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数, 3 2

则实数 a 的取值范围是______________。 2 2 12、若曲线 y=x +1 上过点 P 的切线与曲线 y=-2x -1 相切,则点 P 的坐标为______________。 三、解答题 13、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,过曲线 y ? f ( x) 上的点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y ? 3x ? 1 。 (1)若 y ? f ( x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y ? f ( x)在[?3,1] 上的最大值。
3 14、已知函数 f (x) 是定义在 [?1,0) ? (0,1] 上的偶函数,当 x ? [?1,0) 时, f ( x) ? x ? ax(a 为实数) 。

(1)当 x ? (0,1] 时,求 f (x) 的解析式; (2)若 a ? 3 ,试判断 f ( x)在(0,1] 上的单调性,并证明你的结论; (3)是否存在 a ,使得当 x ? (0,1]时, f ( x) 有最大值 1? 参考答案: 1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B 9. (-1,3) 10. 3 11.[5,7]

7. y ? x ? 1或y ? x ? 3 12.(

8.4,-11

2 7 7 2 3, ) 3 , )或( ? 3 3 3 3 13. 解:
(1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c
3 2

?

f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b ,

则过点 P(1, f (1)) 的切线方程为: y ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1) ,即:
第 2 页 共 7 页

y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)( x ? 1)
∵已知中过点 P(1, f (1)) 的切线方程为: y ? 3x ? 1 ,

∴?

?3 ? 2a ? b ? 3 ??a ? c ? 2 ? 1

?2a ? b ? 0??(1) 即? ?c ? a ? 3??(2)

? y ? f ( x)在x ? ?2时有极值, 故f ?(?2) ? 0, 4a ? b ? ?12??(3) ??

由(1)(2)(3)相联立解得a ? 2, b ? ?4, c ? 5

f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 5

(2) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 3x 2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2) x 3

(?3, ?2)
+

-2

2 (?2, ) 3


2 3
0 极小

2 ( ,1) 3
+

1

f ?(x)
f (x)

0 极大

f ( x)极大 ? f (?2) ? (?2) 3 ? 2(?2) 2 ? 4(?2) ? 5 ? 13
f (1) ? 13 ? 2 ?1 ? 4 ?1 ? 5 ? 4 ,? f ( x)在[?3,1] 上最大值为 13。
14. 解: (I)设 x ? (0,1],则 ? x ? [?1,0),

f (? x) ? ? x 3 ? ax, f ( x)为偶函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax ,
(II) f ?( x) ? ?3x2 ? a,? x ? (0,1] ? ?3x2 ?[?3,0),

x ? (0,1].

又 a ? 3,? a ? 3x 2 ? 0,即f ?( x) ? 0,? f ( x)在(0,1] 上为增函数. (III)当 a ? 3时, f ( x)在(0,1]上是增函数 f max ( x) ? f (1) ? a ? 1 ? 1 ? a ? 2. (不合题意,舍去) , 当 0 ? a ? 3时, f ?( x) ? a ? 3x , 令f ?( x) ? 0, x ?
2

a . 如下表: 3 a 3
0

x

(0,

a ) 3
+

(

a ,1) 3


f ?(x)

第 3 页 共 7 页

f (x)

最大值

? f ( x)在x ?

a a a 27 处取最大值 ? ( )3 ? a ?1 ? a ? 3 ?3? x ? 3 3 3 4

a ? 1. 3

当 a ? 0时, f ?( x) ? a ? 3x 2 ? 0, f ( x)在(0,1]上单调递减 f ( x)在(0,1] 无最大值. , ∴存在 a ? 3

27 , 使f ( x)在(0,1] 上有最大值 1. 4
导数练习(2)

一、选择题 1、 A.

? ?x
1 0

2

? x ? 1? dx ? (
B. ?



1 6
1 x 1 x2

1 6


C.

11 6
1 x ln 2

D.

5 6

2、下列求导正确的是( A. ( x ? )? ? 1 ? C. 3x 3、
?

B. (log 2 x)? ?

? ?? ? 3
0

x

log3 e


D. ( x 2 cos x)? ? ?2 x sin x

? ?sin 2x ? cos x ? dx ? (
B.0

A. ?1

C.1

D.

1 2


4、已知函数 y ? f (x) ,其导函数 y ? f ?(x) 的图象如右图,则 y ? f (x) ( A.在(- ? ,0)上为减函数 B.在 x=0 处取得最大值 C.在(4,+ ? )上为减函数 D.在 x=2 处取得最小值 5、f ( x) ? 1 ? (1 ? x) ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? , f ' ? 0? ? 则
2 3 n

y

O

2

4

x



) A. n 二、填空题 B. n ? 1 C. n ! D.

1 n(n ? 1) 2

第 4 页 共 7 页

6、已知 a ? 0 ,则

?

a

0

a 2 ? x 2 dx ?

。 。 。

7、函数 y ? sin 3 x ? cos3 x 在 [ ?
3 2

? ?

, ] 上的最大值是 4 4

8、设 f(x)=x -3ax +2bx 在 x=1 处有极小值-1,则 f(x)的单调增区间为

9 、 已 知 函 数 f ( x)? 3 ? 1 2 x? 在 区 间 [? 3 , 3上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 M , m , 则 ] x 8

M ?m ?
为 。


3

10、已知函数 f(x)=2ax-x ,a>0,若 f(x)在 x∈(0,1]上是增函数,则实数 a 的取值范围

11、曲线 y ? e 2 在点 (4,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 三、解答题 12、已知:设 a ? 0 , f ( x) ? x ?1 ? ln 2 x ? 2a ln x( x ? 0) 。 (1)令 F ( x) ? xf ?( x) ,讨论 F ( x) 在(0.+∞)内的单调性并求极值; (2)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 。
2

1

x



13、已知:函数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c( x ? 0) 在 x ? 1 处取得极值 ?3 ? c ,其中 a, b, c 为常数. (1)试确定 a , b 的值; (2)讨论函数 f (x) 的单调区间;
2 (3)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? ?2c 恒成立,求 c 的取值范围.

参考答案: 1. B 2. B 3. B 6. 4. C 5. D 9. 32 10.a≥

a 2? 4

7. 1

1 8.(-∞,- )(1,+∞) , 3

3 2

11. e

2

12. 解: (Ⅰ)根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ?

2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x

故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 , 于是 F ?( x) ? 1 ? 列表如下:

2 x?2 ? ,x ? 0 , x x

x

(0, 2)

2

(2, ∞) ?

第 5 页 共 7 页

F ?( x)

?

0 极小值

?

F ( x)

F (2)
故知 F ( x) 在 (0, 内是减函数,在 (2, ∞) 内是增函数, 2) ? 所以,在 x ? 2 处取得极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a . (Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 .

? 于是由上表知,对一切 x ? (0, ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . ? 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ∞) 内单调增加.
所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ? 2a ln x ? 0 .
2

故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .
2

14. 解: (Ⅰ)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 . 又对 f (x) 求导得 f ( x) ? 4ax ln x ? ax ?
/ 3 4

1 ? 4bx 3 ? x 3 (4a ln x ? a ? 4b) . x

由题意 f / (1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a ? 12 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f / ( x) ? 48x 3 ln x( x ? 0) .令 f / ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

x
f ?( x )

(0,1)

1 0 极小值

(1,∞) ?

?

?

f ( x) f (1)
因此 f (x) 的单调递减区间为 (0,1) ,而 f (x) 的单调递增区间为 (1,??) . ( Ⅲ ) 由 ( Ⅱ ) 知 , f (x) 在 x ? 1 处 取 得 极 小 值 f (1) ? ?3 ? c , 此 极 小 值 也 是 最 小 值 . 要 使

f ( x) ? ?2c 2 ( x ? 0) 恒成立,只需 ? 3 ? c ? ?2c 2 .
即 2c ? c ? 3 ? 0 ,从而 (2c ? 3)(c ? 1) ? 0 .
2

第 6 页 共 7 页

解得 c ?

3 3 或 c ? ?1 .所以 c 的取值范围为 (?? ,?1] ? [ ,?? ) 2 2

第 7 页 共 7 页


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