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2014福建高考文科数学第二轮专题复习专题12 向量与圆锥曲线(教师版)



专题 12 向量与圆锥曲线
★★★高考在考什么
【考题回放】 1.点 P(-3,1)在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上.过点 P 且方向为 a=(2,-5)的 a 2 b2

光线,经直线 y =-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A ) (A)

3

3
2

(B)

1 3

(C)

2 2

(D)

1 2

2.已知双曲线 x ?

???? ????? ? y2 ? 1的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则 2
(B)

点 M 到 x 轴的距离为(C) (A)

4 3

5 3
??? ? ??? ?

(C)

2 3 3

(D) 3

3. 设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点, Q 与 点 点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA 且 OQ?AB ? 1 ,则点 P 的轨迹方程 是( D )
2 A. 3 x ?

??? ??? ? ?

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

2 B. 3 x ?

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

C.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

D.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

4.已知两点 M(-2,0)、N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足

MN ? MP ? MN ? NP ? 0 ,则动点 P(x,y)的轨迹方程为( B )
(A) y 2 ? 8 x (B) y 2 ? ?8x (C) y 2 ? 4 x (D) y 2 ? ?4 x 2 5.若曲线 y =|x|+1 与直线 y=kx+b 没有公共点,则 k、b 分别应满足的条件是 . k ? 0, b?(?1,1) 6.已知两定点 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

???? ???? ? 2, 0 ,满足条件 PF2 ? PF1 ? 2 的点 P 的轨迹

?

是曲线 E,直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A,B 两点。如果 AB ? 6 3 ,且曲线 E 上存在点 C,使 OA ? OB ? mOC ,求 m 的值和?ABC 的面积 S。 【专家解答】由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2 2, 0 为焦点的双曲线的左支,

??? ??? ? ?

??? ?

?

? ?

?

且c ?

2, a ? 1 ,易知 b ? 1 ,
2 2

故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1? x ? 0? 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由方程组 ?
《专题 12

? y ? kx ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

向量与圆锥曲线》第 1 页(共 9 页)

2 2 消去 y ,得 1 ? k x ? 2kx ? 2 ? 0

?

?

又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
2

解得 ? 2 ? k ? ?1

2 又∵ AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?
2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2
2 2 2 2

?2 ? ?2k ? ?2 ? 1? k ? ? ? 4? 2 ? 1? k 2 ? 1? k ?
2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?

依题意得 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3

4 2 整理后得 28k ? 55k ? 25 ? 0

2 ∴k ?

5 5 2 或k ? 7 4

但 ? 2 ? k ? ?1

∴k ? ?

5 2

5 x ? y ?1 ? 0 2 ??? ??? ? ? ??? ? 设 C ? xc , yc ? ,由已知 OA ? OB ? mOC ,得 ? x1, y1 ? ? ? x2 , y2 ? ? ? mxc , myc ?
故直线 AB 的方程为

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? , ? m ? 0? m ? ? m 2k 2k 2 2 ? ?4 5 , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 又 x1 ? x2 ? 2 ?8 k ?1 k ?1 k ?1 80 64 ? ? ∴点 C ? ?4 5 , 8 ? 将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得 2 ? 2 ? 1 ? m m? m m ? ?
∴ ? xc , yc ? ? ? , 得 m ? ?4 ,但当 m ? ?4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴ m ? 4 , C 点的坐标为 ? 5, 2 , C 到 AB 的距离为 2 ? ? ? 5 ? ? 2 ? 1
5 ? 5? 2 ? ? ?1 ? 2 ?
2

?

?

?

1 3

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 1 ?6 3? ? 3. 2 3

★★★高考要考什么
【考点透视】 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为
《专题 12 向量与圆锥曲线》第 2 页(共 9 页)

(1)考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向 量知识的简单运用,如向量共线、垂直、定比分点。 (2)考查学生把向量作为工具的运用能力,如求轨迹方程,圆锥曲线的定义,标 准方程和几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系。 【热点透析】 向量具有代数与几何形式的双重身份,故它是联系多项知识的媒介,成为中学数学 知识的一个交汇点,数学高考重视能力立意,在知识网络的交汇点上设计试题,因此, 解析几何与平面向量的融合交汇是今后高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。 要注意以平面向量作为工具,综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问 题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。

★★★突破重难点
【范例 1】设双曲线 x 2 ?
y2 ? 1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2) 2

(1)求直线 AB 方程; (2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 是否共圆,为什么? 解析:(1)法一:显然 AB 斜率存在。 设 AB:y-2=k(x-1) ? y ? kx ? 2 ? k ? 由 ? 2 y2 得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 ?1 ?x ? 2 ? x ? x 2 k (2 ? k ) ? 当△>0 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? ? 1 2 2 ? k2 ∴ k=1,满足△>0 ∴ 直线 AB:y=x+1 ? 2 y1 2 ?1 ?x 1 ? ? 2 法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 ? 2 ? 2 y2 ?x 2 ? 2 ? 1 ? 1 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2) 2 y1 ? y 2 2( x 1 ? x 2 ) 2 ?1 ? ∵ x1≠x2 ∴ ∴ k AB ? ?1 x1 ? x 2 y1 ? y 2 2
y2 ? 1 得△>0. 2 (2)设 A、B、C、D 共圆于⊙M?,因 AB 为弦,故 M?在 AB 垂直平分线即 CD 上; 又 CD 为弦, 故圆心 M?为 CD 中点。 因此只需证 CD 中点 M 满足|M?A|=|M?B|=|M?C|=|M?D| ?y ? x ? 1 ? 由 ? 2 y2 得 A(-1,0),B(3,4). 又 CD 方程:y=-x+3 ?1 ?x ? 2 ? ?y ? ?x ? 3 ? 由 ? 2 y2 得 x2+6x-11=0. 设 C(x3,y3),D(x4,y4),CD 中点 M?( x0,y0) ?1 ?x ? 2 ?

∴ AB:y=x+1 代入 x 2 ?

《专题 12

向量与圆锥曲线》第 3 页(共 9 页)

x3 ? x4 ∴ M?(-3,6) ? ?3, y 0 ? ?x 0 ? 3 ? 6 2 1 ∴ |M?C|=|M?D|= |CD|= 2 10 2 又|M?A|=|M?B|= 2 10 ∴ |M?A|=|M?B|=|M?C|=|M?D|
则 x0 ? ∴ A、B、C、D 在以 CD 中点,M?(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上 【点晴】第(1)小题中法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点 时,常用这两种途径处理。在利用点差法时,必须检验条件△>0 是否成立;第(2)小 题此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满足所 有条件,本题应着重分析圆的几何性质,以定圆心和定半径这两定为中心。充分分析平 面图形的几何性质可以使解题思路更清晰,在复习中必须引起足够重视。 【文】在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y2=2x 相交于 A、B 两点. (1)求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解](1)设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于 点 A(3, 6 )、B(3,- 6 ). ∴ OA? OB =3; 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,其中 k ? 0 ,
?? ? ?? ?

? y2 ? 2x 得 ky 2 ? 2 y ? 6k ? 0 ? y1 y2 ??6 y ? k ( x ? 3) ? 又 ∵ x1 ? 1 y12 , x2 ? 1 y2 2 , 2 2 ??? ??? ? ? ∴ OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ( y1 y2 ) 2 ? y1 y2 ? 3 , 4 综上所述,命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA? OB =3”是真命题; (2)逆命题是:设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 OA? OB =3,那么该直线
由? 过点 T(3,0).该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B(

??? ???? ? 1 OB =3,直线 AB 的方程为: ,1),此时 OA? 2

y ? 2 ( x ?1) ,而 T(3,0)不在直线 AB 上; 3
说明:由抛物线 y2=2x 上的点 A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足 OA? OB =3,可得 y1y2=-6, 或 y1y2=2,如果 y1y2=-6,可证得直线 AB 过点(3,0);如果 y1y2=2,可证得直线 AB 过 点(-1,0),而不过点(3,0).

? ? ? ? ? ? b = ( x ? 3)i ? yj ,且满足 b ? i =| a |.求点 P(x,y)的轨迹. ? ? ? ? ? 解:法一:?b ? i ? ( x ? 3)i 2 ? yi ? j ? x ? 3 ,
2 2

【范例 2】已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x ? 3)i ? yj ,

? ?

?

?

?

∴ x ? 3 ? ( x ? 3) ? y ,化简得 y 2 ? 4 3x , 故点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点以 x ? ? 3 为准线的抛物线
《专题 12 向量与圆锥曲线》第 4 页(共 9 页)

法二:?b ? i ?| b | cos ? b, i ? 则 b ? i 表示 b 在 x 轴上的投影, 即点 P 到 x ? ? 3 的距离, 设 F1 (- 3 ,0),F2( 3 ,0), 所以点 P 到定点 F2 的距离与到定直线

? ?

?

??

? ?

?

y

d

P( x, y)

x ? ? 3 的距离相等,
故点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点以

F1 x?? 3

o

F2 K

x

x ? ? 3 为准线的抛物线。
【点晴】将向量问题坐标化进而数量化(法一)和将向量问题几何化(法二)是两 种常用转化方法,应熟练掌握。

? ? ? ? ? b = ( x ? 3)i ? yj ,且满足| a |+| b |=4.

【 文 】 已 知 i , j 是 x,y 轴 正 方 向 的 单 位 向 量 , 设 a = ( x ? 3)i ? yj ,

? ?

?

?

?

(1) 求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程. ? (2) 如果过点 Q(0,m)且方向向量为 c =(1,1) 的直线 l 与点 P 的轨迹交于 A,B 两 点,当 ? AOB 的面积取到最大值时,求 m 的值。 解:(1)? a = ( x ? 3)i ? yj , b = ( x ? 3)i ? yj ,且| a |+| b |=4. (故点 P 的轨迹方程为 x ? y 2 ? 1 ? 点 P(x,y)到点( 3 ,0), 3 ,0)的距离这和为 4, 4 (2)设 A(x1 ,y1),B(x2 ,y2)依题意直线 AB 的方程为 y=x+m.代入椭圆方程,得
4 5x ? 8m x ? 4m 2 ? 4 ? 0 ,则 x1 + x2 =- 8 m, x1 ? x2 = 5 (m2 ? 1) 5
2

?

?

? ?

?

?

?

?

2

因此, S ?AOB ?
2 2

1 2

AB d ?

2 5

(5 ? m 2 )m 2
10 2

当 5 ? m ? m 时,即 m= ?

时, S max ? 1

【范例 3】 已知点 A( ? 2 2 , B( ? 2 , 0), 0)动点 P 满足 AP ? AB ? (1)若动点 P 的轨迹记作曲线 C1,求曲线 C1 的方程. (2)已知曲线 C1 交 y 轴正半轴于点 Q,过点 D(0, ? 解: (1) P(x, 则有 AP ? ( x ? 2 2, y) 设 y), ∵ AP ? AB ?
2 2

2 | AB | ? | BP |

2 )作斜率为 k 的直线交曲 3

线 C1 于 M、N 点,求证:无论 k 如何变化,以 MN 为直径的圆过点 Q.

AB ? ( 2,0)

BP ? ( x ? 2, y)

2? | AB | ? | BP |

∴ 2x ? 4 ?

2 ? 2 ? (x ? 2)2 ? y 2

得 x ? 2y ? 4 (2)由

x2 y2 ? ?1 4 2

得 Q (0, 2 ) 设直线 C 的方程为 y=kx-

2 3

代入 x2+2y2=4 得 (1+2k2) x2 ? 设 M(x1,y1) N(x2,y2)

4 2 32 kx ? ?0 3 9 QM ? ( x1 , y1 ? 2 ),QN ? ( x2 , y2 ? 2 )
向量与圆锥曲线》第 5 页(共 9 页)

《专题 12

∵ x1 ? x2 ?

4 2k 3(1?)k 2

x1 ? x2 ? ?

32 9(1 ? 2k 2 )

又∵ QM ? QN ? x1 x2 ? (kx1 ?

4 2 4 2 ) (kx2 ? ) = x1x2 (1 ? k 2 ) 3 3 32 (1 ? k 2 ) 4 2 32 4 2 4 2k 32 ? k ( x1 ? x2 ) ? ?? 9 ? k? ? ?0 2 2 3 9 1 ? 2k 3 3(1 ? 2k ) 9

∴ QM ? QN ∴点 Q 在以 MN 为直径的圆上. 【点晴】直接法求轨迹是最常见的方法,要注意运用;向量是将几何问题代数化的 有力工具。 【文】如图,过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点.设点 P 分有向线段 AB 所 成的比为 ? ,证明: QP ? (QA ? ? QB) ; 解:依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 代入抛物线方程 x 2 ? 4 y 得 x ? 4kx ? 4m ? 0.
2



设 A、B 两点的坐标分别是 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ), 则 x1 、x2 是方程①的两根. 所以

x1 x2 ? ?4m.

由点 P(0,m)分有向线段 AB 所成的比为 ? ,得 又点 Q 是点 P 关于原点的对称点, 故点 Q 的坐标是(0,-m),从而 QP ? (0,2m) .

x1 ? ?x2 x ? 0,即? ? ? 1 . 1? ? x2

QA ? ?QB ? ( x1 , y1 ? m) ? ?( x2 , y2 ? m) ? ( x1 ? ?x2 , y1 ? ?y2 ? (1 ? ?)m). QP ? (QA ? ?QB) ? 2m[ y1 ? ?y2 ? (1 ? ?)m] x2 x x2 x x x ? 4m ? 2m[ 1 ? 1 ? 2 ? (1 ? 1 )n] ? 2m( x1 ? x2 ) ? 1 2 4 x2 4 x2 4 x2 ? 4m ? 4m ? 2m( x1 ? x2 ) ? ? 0. 4 x2
所以

QP ? (QA ? ?QB).

【范例 4】已知 A,B 为抛物线 x2=2py(p>0)上异于原点的两点, OA ? OB ? 0 ,点 C 坐标为(0,2p) (1)求证:A,B,C 三点共线; (2)若 AM = ? BM ( ? ? R )且 OM ? AB ? 0 试求点 M 的轨迹方程。 (1)证明:设 A( x1 ,

??? ??? ? ?

???? ??? ? ?

??? ??? ? ? x12 x2 2 ), B( x2 , ) ,由 OA ? OB ? 0 得 2p 2p

《专题 12

向量与圆锥曲线》第 6 页(共 9 页)

x12 x2 2 ? 0,? x1 x2 ? ?4 p 2 , 2p 2p ???? ? x 2 ??? x 2 ? x12 又? AC ? (? x1 , 2 p ? 1 ), AB ? ( x2 ? x1 , 2 ) 2p 2p x 2 ? x12 x2 ?? x1 ? 2 ? (2 p ? 1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0 , 2p 2p ??? ??? ? ? ? AC // AB ,即 A,B,C 三点共线。 ???? ??? ? ? (2)由(1)知直线 AB 过定点 C,又由 OM ? AB ? 0 及 AM = ? BM ( ? ? R ) x1 x2 ?
知 OM?AB,垂足为 M,所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆,除去坐标原点。即点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x?0,y?0)。 【点晴】两个向量的平行(共线)与垂直的充要条件在解析几何中有重要应用。在 解题时尤其要注意几何位置?向量表达式?坐标表示之间的转化。 【文】已知双曲线 M:x2-y2=1,直线 l 与双曲线 M 的实轴不垂直,且依次交直线 y=x、双曲线 M、直线 y=-x 于 A、B、C、D 四点,O 为坐标原点. (1) 若 AB ? BC ? CD ,求△AOD 的面积; ??? ? ??? ? ??? ? (2) 若△BOC 的面积等于△AOD 面积的 1 ,求证: AB ? BC ? CD . 3 2 2 解:(1)设 l : y ? kx ? b代入x ? y ? 1, 得 (1 ? k ) x ? 2bkx ? b ? 1 ? 0. ??(1)
2 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

y
2

A B C x

显然 k ? ?1,
2 2

? ? 4b k ? 4(1 ? b )(1 ? k ) ? 0 ,
2 2 2

即 b ? (1 ? k ) ? 0 . 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ), 则x1 , x2是方程(1) 的两

?(1 ? b ) . 个根,有 x1 ? x2 ? 2bk2 , x1 x2 ? 1? k 1? k2 设 A( x3 , y3 ), D( x4 , y4 )
2

O l

D

由?

? y ? kx ? b,

1? k ? y ? x, b ? y ? kx ? b, 由? 得x4 ? ? 1? k ? y ? ? x,

得x3 ?

b

;



? AB? BC ?

C ,D 所以 x1 ? x2 ? 1 x3 ? x4 。 3

2 2 2 ? 4b ?24 ? 1 2b 2 , 整理,得 b ? 9 (k ? 1) . 8 3 1? k 1? k b b , ?AOD ? 90?, ? b 2 ? 0, ? k 2 ? 1.又 ? OA ? 2 , OD ? 2 1? k 1? k

所以

? ?
2bk 1? k2

2

? S ?AOB ?

1 2

OA ? OD ?

9 ? . 8 1? k
2

b2

(2)设 BC的中点为P, AD的中点Q, 则 xP ?
《专题 12

x ? x4 x1 ? x2 ? bk 2 , xQ ? 3 ? bk 2 , 2 2 1? k 1? k

向量与圆锥曲线》第 7 页(共 9 页)

xP ? xQ , 又P, Q都在直线上, 所以P, Q重合.

? AP ? DP , ? AP ? BP ? DP ? CP , ? AB ? CD .
又 S?BOC ? 1 S?AOD , ? BC ? 1 AD , ? AB ? CD ? 2 AD , ? AB ? BC ? CD .

3

3

3

★★★自我提升
1、平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满 足 OC ? ? OA ? ? OB ,其中????R,且???=1,则点 C 的轨迹方程为( D ) A. 3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C. 2x-y=0 D. x+2y-5=0

? ? ? ? 且满足| a |+| b |=4.则点 P(x,y)的轨迹是.( C )
A.椭圆 B.双曲线 C.线段 点的横坐标为

2、已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x ? 2)i ? yj , b = ( x ? 2)i ? yj , D.射线

?

?

?

?

?

?

3、中心在原点,焦点在坐标为(0,± 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中 5

1 ,则椭圆方程为(C ) 2

2x2 2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 75 25 25 75 75 25 x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则m的取值范围是(A). 4、直线y=kx+1与椭圆 5 m A. B.

2 x2 2 y 2 ? ?1 25 75

? ? ? ? ? ? ? ? 5、 已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量, a = ( x ? 3)i ? yj , b = ( x ? 3)i ? yj , 设 ? ? y2 2 ? 1( x ? 0) ). 且满足| a |-| b |=2.则点 P(x,y)的轨迹 C 的方程为__________.( x ? 2
6.已知 A、B 为抛物线 x2=2py (p>0)上两点,直线 AB 过焦点 F,A、B 在准线上的 射影分别为 C、D,则①y 轴上恒存在一点 K,使得 KA ? KF ? 0 ;② CF ? DF ? 0 ; ③存在实数?使得 AD ? ? AO ;④若线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T,有

A、m≥1且m≠5

B、m≥1

C、m≠5

D、m≤5

FT ? AB ? 0 。中说法正确的为___________①②③④
7.已知圆 x2+y2=1,双曲线(x-1)2-y2=1,直线 l 同时满足下列两个条件:①与双曲线 交于不同两点;②与圆相切,且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线 l 方程。 分析:选择适当的直线方程形式,把条件“l 是圆的切线”“切点 M 是弦 AB 中点”翻 译为关于参数的方程组。 法一:当 l 斜率不存在时,x=-1 满足; 当 l 斜率存在时,设 l:y=kx+b 与⊙O 相切,设切点为 M,则|OM|=1 |b| ? 1 ∴ b2=k2+1 ∴ ① 2 k ?1 ?y ? kx ? b 由? 得(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0 2 2 ?( x ? 1) ? y ? 1 当 k≠±1 且△>0 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则中点 M(x0,y0),
《专题 12 向量与圆锥曲线》第 8 页(共 9 页)

1? k 1? k 1? k2 2 2 2 ∵ M 在⊙O 上 ∴ x0 +y0 =1 ∴ (1+kb) +(k+b)2=(1-k2)2 ② ? ? 3 3 ?k ? ?k ? ? 3 2 3 2 ? ? 3 3 x? 3或y?? ? 3 由①②得: ? 或 ? ∴y? 3 3 3 3 ?b ? ? 2 3 ?b ? 2 3 ? ? 3 3 ? ?
2 2

x1 ? x 2 ?

2(1 ? kb)

, x0 ?

1 ? kb

∴ y0=kx0+b=

k?b

法二:设 M(x0,y0),则切线 AB 方程 x0x+y0y=1 当 y0=0 时,x0=± 1,显然只有 x=-1 满足; x 1 当 y0≠0 时, y ? ? 0 x ? 代入(x-1)2-y2=1 得:(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0 y0 y0 ∵ y02+x02=1 ∴化简方程为 (1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0 由中点坐标公式及韦达定理得: x 0 ? ?

x02 ? x0 ?1 1 ? 2x 0 2

3 1 ∴ y0= ? 。 2 2 8.已知 A、B 为抛物线 x2=2py (p>0)上两点,直线 AB 过焦点 F,A、B 在准线上的 射影分别为 C、D.

∴2x03-x02-2x0+1=0 解之得:x0=± 1(舍),x0=

(1)若 OA ? OB ? ?6 ,求抛物线的方程。 (2)CD 是否恒存在一点 K,使得 KA ? KB ? 0 解:(1)提示:记 A( x1, y1 )、B ( x2 , y2 )设直线 AB 方程为 y ? kx ? 抛物线方程得 x -2kpx-p =0 , x1 x2 ? ? p , y1 y2 ?
2 2

p 2

代入

2

1 4

p

2

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? 3 p 2 ? ?6 4
(2)设线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T, 则 TA ? TB ? (TP ? PA) ? (TP ? PB) ? TP ? TP ? ( PA ? PB) ? PA ? PB
2

? 1 ( DB ? CA ) 2 ? PA? PB = 1 ( FB ? FA ) 2 - PA = 1 AB - 1 AB =0 4 4 4 4
故存在点 K 即点 T,使得 KA ? KB ? 0

2

2

2

《专题 12

向量与圆锥曲线》第 9 页(共 9 页)



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