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2.5等比数列前n项和


§6.3.3 等比数列的前 n 项和
一、教学目标:
1.知识目标:理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点, 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。 2.能力目标:通过启发、引导、分析、类比、归纳,并通过严谨科学的解题思想和解题 方法的训练,提高学生的数学素养。 3.情感目标:通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会,形成科 学的世界观和价值观。 二、教学重点与难点: 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的应用。 教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减法”是 高中数学的数列求和方法中最常用的方法之一, 它蕴涵了重要的数学思想, 所以既是重点也 是难点。 三、教学方法:引导学生分析求解,师生合作,师生互动。 教材分析:本节是对公式的教学,要充分揭示公式之间的内在联系,掌握与理解公式的来龙 去脉,掌握公式的导出方法,理解公式的成立条件.也就是让学生对本课要学习的新知识有 一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件,直接记忆公式的结论是降低教学要求, 违背教学规律的做法 教学过程:
王新敞
奎屯 新疆

一、复习: 首先回忆一下前两节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。 公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即: { an }成等比数列

?

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

“ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分条件(前提条件) 。

2. 等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0)
3.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 4.等比中项:G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号). 5.性质:若 m+n=p+q, am ? an ? a p ? aq 6.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法
如: 有一个数列满足 an ? 5 ? 3
n ?1

,与公式 an ? a1 ? q

n?1

(a1 ? q ? 0) 比较我们可以

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判断出这个数列为等比数列且 a1 ? 5, q ? 3 。 二、讲解新课: *创设情境 兴趣导入 【趣味数学问题】 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩,准 备对大臣进行奖赏. 国王问大臣: “你想得到什么样的奖赏?” ,这位聪明的大臣达依尔说: “陛下,请您在 这张棋盘的第一个格子内放上 1 颗麦粒, 在第二个格子内放上 2 颗麦粒, 在第三个格子内放 上 4 颗麦粒,在第四个格子内放上 8 颗麦粒,…,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的 麦粒数的 2 倍的规律,放满棋盘的 64 个格子.并把这些麦粒赏给您的仆人吧”. 国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒. 计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放 1 粒,第二个格内放 2 粒,第三个格内放 4 粒,第四个格内放 8 粒,……,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来, 也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺. 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢? 各个格的麦粒数组成首项为 1,公比为 2 的等比数列,大臣西萨?班?达依尔所要的奖赏 就是这个数列的前 64 项和. *动脑思考 探索新知 如何求数列 1,2,4,?262,263 的各项和 以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的和,可表示为:
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S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8? ? 262 ? 263
2 S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16? ? 263 ? 264 由②—①可得: S 64 ? 2 64 ? 1

① ②

这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法” ,是研究数列求和的一个重要方法 等比数列的前 n 项和公式: ∴当 q ? 1 时, S n ?

王新敞
奎屯

新疆

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an

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由?

?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n
n ?1 ?a n ? a1 q

2 n?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 得? 2 3 n ?1 n ? ?qSn ? a1 q ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q

? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
∴当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 公式的推导方法二:

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 )
= a1 ? qSn?1 = a1 ? q(S n ? an )

? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上)
“方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利 用方程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决
王新敞
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现在我们看一看本节趣味数学内容中,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺? 国王承诺奖赏的麦粒数为
S64 ? 1(1 ? 264 ) ? 264 ? 1 ? 1.84 ? 1019 , 1? 2

据测量,一般麦子的千粒重约为 40g ,则这些麦子的总质量约为 7.36×1017 g,约合 7360 多亿吨.我国 2000 年小麦的全国产量才约为 1.14 亿吨,国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承 诺呢! *巩固知识 典型例题

1. 例题讲解. 例1 求下列等比数列前 8 项的和.
1 2 1 4 1 8

(1) , , ,?;

(2) a1 ? 27, a9 ?

1 , ? q ? 0? . 243

例2

某商场第一年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年

增加 10%,那么从第一年起,约几年内可使总销售量达到 30000 台(保留到个 位)?
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例3

求数列 1, 3a, 5a 2 , 7a 3 ,....,(2n ? 1)a n?1 (a?1)的前 n 项的和.

例 4 写出等比数列

1,?3,9,?27,?
的前 n 项和公式并求出数列的前 8 项的和. 解 因为 a1 ? 1, q ?
Sn ?
S8 ?

?3 ? ?3 ,所以等比数列的前 n 项和公式为 1

1 ? [1 ? (?3)n ] 1 ? (?3) n ? , 1 ? (?3) 4



1 ? (?3)8 ? ?1640 . 4 例 5 求等比数列 1,2,4,?从第 5 项到第 10 项的和.



由 a1 ? 1, a2 ? 2 得q ? 2

1 ? (1 ? 2 4 ) 1 ? (1 ? 210 ) ? S4 ? ? 15, S10 ? ? 1023 1? 2 1? 2
从第 5 项到第 10 项的和为 S10 - S 4 =1008

2.练习. 课本 P58 练习 1~3 题. 五、要点归纳与方法小结: 1. 等比数列求和公式:当 q= 1 时, S n ? na1 ; 当 q ? 1 时, S n ?
a1 ? a n q 1? q

或 Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q



2.这节课我们从已有的知识出发,用错位相减法推导出了等比数列的前 n 项和公式,并在应用中加深了对公式的认识. 六、课外作业 课本 P61 练习第 1,2 题.

*运用知识 强化练习 1.求等比数列

1 2 4 8 , , , ,?的前 10 项的和. 9 9 9 9
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2.已知等比数列{ an }的公比为 2, S 4 =1,求 S8 .

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