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高一数学第16周周末练习题


直线与平面、平面与平面的垂直关系练习题二 1.把一副三角板如图拼接,设 BC=6,∠A=90° ,AB=AC,∠BCD=90° ,∠ D=60° ,使两块三角板所在的平面互相垂直.求证:平面 ABD⊥平面 ACD.

4.如图,已知四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥AB; (2)若 PA=AD,求证:MN⊥平面 PCD.

2.S 为△ABC 所在平面外一点,SA=SB=SC,且∠ASC=90° ,∠ASB=∠BSC =60° .求证:平面 ASC⊥平面 ABC. 5.已知 PA⊥平面 ABCD,ABCD 为矩形,PA=AD,M、N 分别是 AB、PC 的 中点,求证: ①MN∥平面 PAD; ②平面 PMC⊥平面 PDC.

3.(2012· 全国新课标改编)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面, 1 ∠ACB=90° ,AC=BC=2AA1,D 是棱 AA1 的中点. 证明:平面 BDC⊥平面 BDC1;

6.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形, PD=DC,F 是 PB 的中点.求证:(1)DF⊥AP. (2)在线段 AD 上是否存在点 G,使 GF⊥平面 PBC?若存在,说明 G 点的位置, 并证明你的结论;若不存在,说明理由. 附加.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,EF 与异面直线 AC,A1D 都垂直相 交. 求证:EF∥BD1.[分析] 转化为证明 EF⊥平面 AB1C,BD1⊥平面 AB1C.

详细答案
平面ABC⊥平面BCD? 1[证明] CD⊥BC

由题设知∠A1DC1=∠ADC=45° ,∴∠CDC1=90° ,即 DC1⊥DC, 又∵DC∩BC=C,∴DC1⊥平面 BDC,∵DC1?平面 BDC1, ∴平面 BDC⊥平面 BDC1;

??CD⊥平面ABC ?
AB?平面ABC

? ? ?? ? ?

1 1+2 (2)设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1,AC=1,由题意得,V1=3× 2 ×1×1 1 =2,由三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=1, ∴(V-V1 V1= , ∴平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积之比为 5 4.[证明] (1)取 AB 的中点 E, 则 PA∥EF.设 PD=DC=a, 易求得 DE= 2 a, 1 2 1 3 FE=2PA= 2 a,DF=2PB= 2 a. 由于 DE2=EF2+DF2,故 DF⊥EF, 又 EF∥PA,∴DF⊥PA. (2)在线段 AD 上存在点 G,使 GF⊥平面 PBC,且 G 点是 AD 的中点. 取 AD 的中点 G,连接 PG、BG,则 PG=BG.又 F 为 AB 的中点,故 GF⊥ PB. ∵F 为 PB 中点,∴F 点在底面 ABCD 上的射影为正方形 ABCD 的中心 O, ∴GO 为 GF 在平面 ABCD 上的射影, ∵GO⊥BC,∴GF⊥BC,

2.[解析] 如图,设 SA=SB=SC=a. ∵∠ASC=90° ,∠ASB=∠BSC=60° ,

∴AC= 2a,AB=BC=a, 则 AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90° . 取 AC 中点 O,连接 SO、BO.则 SO⊥AC,BO⊥AC,∠SOB 为二面角 S- AC-B 的平面角. 2 ∵SO=OB= 2 a,∴SO2+OB2=SB2, ∴∠SOB=90° ,∴平面 ASC⊥平面 ABC. 3[ 解析 ] (1) 由题设知 BC ⊥ CC1 , BC ⊥ AC , CC1∩AC = C ,∴ BC ⊥平面 ACC1A1,又∵DC1?面 ACC1A1,∴DC1⊥BC,

∵BC、PB 是平面 PBC 内的两条相交直线, ∴GF⊥平面 PBC.

6.[证明] (1)取 CD 的中点 E,连接 EM、EN, 则 CD⊥EM,且 EN∥PD.

(2)∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PAD=90° ∴△PAD 为等腰直角三角形 ∵Q 为 PD 中点,∴AQ⊥PD ∵CD⊥AD,CD⊥PA,∴CD⊥平面 PAD, ∵AQ?平面 PAD,∴CD⊥AQ,∴AQ⊥平面 PDC 由①MN∥AQ,∴MN⊥平面 PDC, ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD, 又 AD⊥DC,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD,从而 CD⊥EN. 又 EM∩EN=E,∴CD⊥平面 MNE. 因此,MN⊥CD,而 CD∥AB, 故 MN⊥AB. (2)在 Rt△PAD 中有 PA=AD, 取 PD 的中点 K,连接 AK,KN, 1 则 KN=2DC=AM,且 AK⊥PD. ∴四边形 AMNK 为平行四边形,从而 MN∥AK. 因此 MN⊥PD.由(1)知 MN⊥DC,又 PD∩DC=D, ∴MN⊥平面 PCD. 7[解析] (1)取 PD 的中点 Q,连接 AQ、QN 1 ∵PN=NC,∴QN 綊2DC ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴QN 綊 AM ∴MN∥AQ, 又∵AQ?平面 PAD,MN?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD ∵DD1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD,BD∩DD1=D, 又∵MN?平面 PMC,∴平面 PMC⊥平面 PDC.

5[证明] 连接 AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示.

∴AC⊥平面 BDD1B1. ∴AC⊥BD1, 同理 BD1⊥B1C,又 AC∩B1C=C, ∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥A1D,且 A1D∥B1C, ∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC,AC∩B1C=C, ∴EF⊥平面 AB1C.∴EF∥BD1. [点评] 当题中垂直条件很多,但又需证两直线的平行关系时,就要考虑 直线与平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.


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