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高三数学一轮复习平面向量的数量积



高三数学一轮复习

平面向量的数量积

【复习指导】 本讲复习时,应紧扣平面向量数量积的定义,理解其运算法则和性质,重点解决平面向量的 数量积的有关运算,利用数量积求解平面向量的夹角、模,以及两向量的垂直关系. 【教学目标】 1.掌握平面向量的数量积及其性质和运算率 2.掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用. 【教学重

点】 1.平面向量的数量积及其几何意义,向量垂直的充要条件。 2.利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。 【教学难点】 灵活运用平面向量数量积的重要性质及其运算律解决问题. 【教学过程】 一、复习引入:我们学过功的概念,即一个物体在力 F 的作用下产生位移 S,力 F 所做的功 W 可用 下式计算: W=|F||S|cosθ (θ 是 F 与 S 的夹角) 从力所做的功出发,我们引入向量数量积的概念。 二、基础知识梳理 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b ( 如图 ) ,作 → OA = a , → OB = b ,则∠ AOB = θ (0°≤θ ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角,记作:< a , b > , 当 θ =0°时, a 与 b 同向;当 θ =180°时,a 与 b 反向;如果 a 与 b 的夹 角是 90°,我们说 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。 2.两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 θ ,则数量| a || b |cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或 内积),记作 a · b ,即 a · b =| a || b |cos θ ,规定零向量与任一向量的数量积为 0,即 0· a =0. 注:① a · b 这是一个整体,中间的“ ·”不能省略,也不能写成“×” ②非零向量 a · b =0 当且仅当 a ⊥ b (一个条件:垂直的充要条件) ③向量的数量积是一个实数,可正可负可为零,符号由 cos? 的符号决定。 两个探究 (1)若 a · b >0,能否说明 a 与 b 的夹角为锐角? (2)若 a · b <0,能否说明 a 与 b 的夹角为钝角? 3.向量数量积的几何意义 数量积 a · b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos θ 的乘积,或 b 的长度 | b |与 a 在 b 的方向上的投影| a |cos θ 的乘积。
B O b O O ? A B O b ? a B1 O B1 O O O a A B O b ? O (B ) 1 OO a A

(射影为正) 4.向量数量积的运算律

(射影为负)

(射影为 0)

(1) a · b =________;(交换律) (2)λ a · b =________=________; (数乘结合律) ? (3)( a + b )· c =________________(分配律 ) 三个防范

? ? (1) 数量积运算不适合消去律,对向量 a , b , c 若满足 a · b = a · c ( a ≠0),则不一定 ? 有 b = c ,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量。 ? ? ? (2)数量积运算不适合结合律,即( a · b ) c ≠ a ( b · c ),这是由于( a · b ) c 表示一个 ? ? ? ? 与 c 共线的向量, a ( b · c )表示一个与 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共线,因此( a · b ) c ? 与 a ( b · c )不一定相等.

(3) 对实数 a≠0,若 a · b=0,则 b=0,但对向量 a ≠0 时,若 a · b =0 , 不能推出 b 是零 向量. 而是 a ⊥ b 。 5.向量数量积的性质 设 a 、 b 都是非零向量,θ 为 a 与 b 的夹角.则 (1)当 a 与 b 同向时, a · b =| a |·| b |; 当 a 与 b 反向时, a · b =-| a || b | 特别的, a · a =| a |2 或| a |=________; (将求模运算转化为数量积运算) (2) a ⊥ b ?________; (证垂直) (3)cosθ =________; (求夹角) (4)| a · b |≤________; (求范围) 思考:如何利用向量的数量积证明 a ∥ b ?

考向一

利用平面向量数量积的代数形式求夹角与模

【例 1】已知| a |=4,| b |=3,(2 a -3 b )·(2 a + b )=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ ; (2)求| a + b |和| a - b |. [审题视点] 由平面向量数量积的运算法则得 a · b 的值,再求其夹角的余弦值,从而得其夹角. 解(1)(2 a -3 b )·(2 a + b )=61,解得 a · b =-6. a·b -6 1 2π ∴cos θ = = =- ,又 0≤θ ≤π ,∴θ = . |a||b| 4×3 2 3 (2)| a + b |2= a 2+2 a · b + b 2=13, ∴| a + b |= 13.

| a - b |2= a 2-2 a · b + b 2=37. ∴| a - b |= 37. 在数量积的基本运算中, 经常用到数量积的定义、 模、 夹角等公式, 尤其对| a |= a·a 要引起足够重视,是求距离常用的公式. 【训练 1】 已知 a 与 b 是两个非零向量,且| a |=| b |=| a - b |,求 a 与 a + b 的夹角. 解 设 a 与 a + b 的夹角为 θ ,由| a |=| b |得| a |2=| b |2. 又由| b |2=| a - b |2=| a |2-2 a · b +| b |2. 1 ∴ a · b = | a |2, 2 而| a + b |2=| a |2+2 a · b +| b |2=3| a |2, ∴| a + b |= 3| a |. ∴cos θ = 1 |a|2+ |a|2 2

a·?a+b? 3 = = . |a||a+b| |a|· 3|a| 2

∵0°≤θ ≤180°,∴θ =30°,即 a 与 a + b 的夹角为 30°. 思考:本题还有其它的解法吗?(可从加减法的几何意义考虑)

? ? ? ? ? ? ? 能力提升题:设两向量 e 1, e 2 满足| e 1|=2,| e 2|=1, e 1, e 2 的夹角为 60°,若向量 2t e 1+ ? ? ? 7 e 2 与向量 e 1+t e 2 的夹角为直角,求实数 t 的值.
变式: 当夹角为钝角或锐角时,实数 t 的取值范围如何?

7、课堂小结: (1)一个条件 (2)两个探究 (3)三个防范 (4)四条性质 8、课后反馈: 9、板书设计:
§5.3 平面向量的数量积 知识点归纳整理区
例题及解答区

完成活页练 P261-262

训练区



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