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05-2.1.1函数的概念与图像(1)



第 5 课时 2.1.1 函数的概念和图像 【学习目标】 1. 通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学 习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 2. 了解构成函数的要素(定义域、值域、对应法则) ; 3. 会求一些简单函数的定义域和值域; 【老师有话说】 重点: 正确理解函数的概念,体会函数是描述变量之间的依赖关

系的重要数学模型. 难点: 符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示; 函数是中学数学的一个重要概念,也是高中数学的一条主线.函数在初中已学过,不过较肤 浅,本课主要是从两集合间对应来描绘函数的概念,是一个抽象过程。教材从学生已掌握的 具体函数和函数的描述性定义入手, 引导学生联系自己的生活经历和实际问题, 尝试列举各 种各样的函数,构建函数的一般概念. 【自学指导】 通过自学、思考、交流、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标 . 【创设情境】 北京时间 2007 年 10 月 24 日 18 时 05 分, 万众瞩目的 “嫦娥一号” 探月卫星成功发射, 在 “嫦娥一号” 飞行期间, 我们时刻关注着 “嫦娥一号” 离我们的距离随时间是如何变化的, 数学上用函数来描述这种运动变化中的数量关系. 在初中已学习过函数的概念, 函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本 节将进一步学习函数及其构成要素. 【课本寻宝】 一边阅读课本,一边思考下面的问题,对疑惑之处,做个记号。 注:P20 页本章引言也要阅读,并思考。 1.实例分析(P21) (1)实例 1.人口问题 问题:观察分析表格,说出 1959 年、1974 年、1994 年我国的人口数;其中年份 t 的变化范 围是多少?我国的人口数 y 的变化范围是多少?尝试描述出年份 t 与我国的人口数 y 这两个 变量之间的依赖关系. (2)实例 2.自由落体运动问题 问题:若物体离地面 44.1 米,请算出物体下落 1.5 秒、2 秒时距地面多高?其中,时间 t 的 变化范围是什么?物体距离地面高度 h 的变化范围是什么?尝试描述出时间 t 与物体距离地 面高度 h 这两个变量之间的依赖关系. (3)实例 3.温度变化问题 问题:观察分析图中曲线,时间 t 的变化范围是多少?气温 s 的变化范围是多少?尝试用集 合与对应的语言描述变量之间的依赖关系. 2.问题探讨 以上三个实例有什么不同点和共同点? 活动:请与小组其他同伴讨论交流. 归纳以上三个实例,可看出其不同点是:

其共同点是:

3.归纳概括 抽象概括出函数的概念(请背熟) 一般地,设 A,B 是两个非空的数集,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的每一个元 素 x,在集合 B 中都有惟一的元素 y 和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数 (function) ,记作 其中,x 为自变量,所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域(domain) ; 若 A 是函数 y=f(x)的定义域,则对于 A 中的每一个 x,都有一个输出值 y 与之对应,我们 将所有输出值 y 组成的集合叫做函数的值域(range) ,y 也叫因变量. 注意: ① 函数的本质:两个非空数集间的一种确定的对应关系. ② 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x.在不同的函 数中 f 的具体含义不同,由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等. 函 数除了可用符号 f(x)表示外,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”等; ③ 函数的三要素:定义域、值域和对应关系 f. 其中核心是对应关系 f,它是函数关系的本 质特征。y=f(x)的意义是:y 等于 x 在关系 f 下的对应值,而 f 是“对应”得以实现的方法 和途径,是联系 x 与 y 的纽带,所以是函数的核心.至于用什么字母表示自变量、因变量和 对应关系,这是无关紧要的.两个函数相同当且仅当它们的定义域与对应关系在实质上(不 必在形式上)分别相同. ④ 函数的定义域是自变量 x 的取值范围,它是构成函数的一个不可缺少的组成部分.忽视了 函数的定义域,我们将寸步难行,由此,往往把函数的定义域称之为函数的“灵魂”. 给定函数时要指明函数的定义域. 对于用解析式表示的函数,如果没有指明定义域,那么就 认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。 【温故而知新】 问题:一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么?

课本例题自己动手做做看,再思考下列问题: 对例 1. 思考:如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系?

变式 1:判断下列对应是否为函数: (1) (2) (3)

变式 2:判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? ① f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x; g ( x ) =

对例 2.注意:函数的定义域可用两种方法表示:集合、区间. 从本例可以看出,当确定用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R; (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合; (3)如果 f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合; (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意 义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集); (5)如果 f(x)是由实际问题列出的,那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义 的实数的集合. 例如:设一个矩形周长为 80,其中一边长为 x,则它的面积 y= = (40-x)x,其定义域为 {x|0<x<40}. 变式:已知函数 f (x) = +(1)求函数的定义域; (2)求 f(-3) ,f ()的值; (3)当 a>0 时,求 f(a),f(a-1)的值.

对例 3. 注意:①求值域时一定要注意定义域;②要熟悉一些基本函数的值域。 变式:求下列函数的值域: (1) (2) (3)

【我还有什么问题没弄明白?】

在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向同伴、大组长、老师提出. 【总结提升】 函数是一种特殊的对应 f:A→B,其中集合 A,B 必须是非空的数集;表示 y 是 x 的函数; 函数的三要素是定义域、值域和对应法则,定义域和对应法则一经确定,值域随之确定;判 断两个函数是否是同一函数, 必须三要素完全一样, 才是同一函数; 表示在 x=a 时的函数值, 是常量;而是 x 的函数,通常是变量。 【学习反思】 (很重要哟! ) 【知识链接】 函数的历史 数学史表明,重要的数学概念的产生和发展,对数学发展起着不可估量的作用。有些重要的 数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。我们刚学过的函数就是这样的重要概念。? 在笛卡尔引入变量以后, 变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。 纵览宇宙, 运算天体,探索热的传导,揭示电磁秘密,这些都和函数概念息息相关。正是在这些实践过

程中,人们对函数的概念不断深化。? 最早提出函数 (function) 概念的, 是 17 世纪德国数学家莱布尼茨。 最初莱布尼茨用 “函 数” 一词表示幂, 如都叫函数。 以后, 他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、 纵坐标。? 1718 年,莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为: “由某个变量及任意的一 个常数结合而成的数量。 ”意思是凡变量 x 和常量构成的式子都叫做 x 的函数。贝努利所强 调的是函数要用公式来表示。? 后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上。 只要一些变量变化, 另 一些变量能随之而变化就可以, 至于这两个变量的关系是否要用公式来表示, 就不作为判别 函数的标准。? 1755 年,瑞士数学家欧拉把函数定义为: “如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些 变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变 量的函数。 ”在欧拉的定义中,就不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定要用公式来 表示,欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。他认为: “函数是随意画出的一条曲线。 ”? 当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯,有的数学家甚至抱怀疑态度。 他们把能用公式表示的函数叫“真函数” ,把不能用公式表示的函数叫“假函数” 。1821 年, 法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义: “在某些变数间存在着一定的关系, 当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时,则将最初的变数叫自变量, 其他各变数叫做函数。 ”在柯西的定义中,首先出现了自变量一词。?(待续) 心灵絮语: 让成千上万中学生受益的"学习歌谣" ?? 课前要预习,听课易入脑。?????????? 温故才知新,歧义见分晓。 自学新内容,要把重点找。?? ?? 问题列出来,听课有目标。 ? 听课要专心,努力排干扰。????? 扼要做笔记,动脑多思考。 ? 课后须复习,回忆第一条。????? 看书要深思,消化细咀嚼。 ?重视做作业,切勿照搬抄。????? 编织知识网,简洁又明了。 第 5 课时 2.1.1 函数的概念和图像 你完成本节导学案的情况为 A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 【当堂检测】时间:5 分钟,满分 10 分,每题 2 分。 1.已知 f(x)=+x+1,则=______;f[]=______. ( ) 计分:________

2.判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由: ① f ( x ) = x 2;g( x ) = (x + 1) 2 ② f ( x ) = | x | ;g ( t ) =

3. 判断下列对应是否为集合 A 到集合B的函数: (1)A 为正实数集,B=R,对于任意的的算术平方根; (2)A=[-2,2],B=[-3,3],f: ,求立方。

4. 求下列函数的定义域(用区间表示)

(1) f(x)=

(2)y=

(3) f(x)=

5.求下列函数的值域: (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5} ;

(2)y=+1;

【巩固一下】 (每题均需写出过程) 1.(1)已知函数若 a>0,则的定义域是 ; (2)已知等腰三角形 ABC 的周长为 10,则底边长 y 关于腰长 x 的函数关系为 y=10-2x,此函 数的定义域为______________

2.已知函数=3-5x+2,求 f(3), f(-), f(a+1)-f(a).

3.判断下列各组中的两个函数是否是同一函数?为什么? (1) (2) (3)

4.求下列函数的定义域。 (1) (2) (3)

5.求下列函数的值域: (1) ; (2)

(3)

(4)

6.已知的定义域为 A,的定义域为 B, (1)若 BA,求 a 的取值范围 ;

(2)若 AB,求 a 的取值范围。

【延伸拓展】 (仅供学有余力的学生选用) 7.求函数(a 为常数)的定义域。

8.已知 f(x)=(x∈R 且 x≠-1) ,g(x)=x2+2(x∈R). (1)求 f(2) 、g(2)的值; (2)求 f[g(2) ] 、g[f(2) ]的值; (3)求 f[g(x) ] 、g[f(x) ]的解析式.

9.已知函数 (1)求与,与; (2)由(1)中求得结果,你能发现与有什么关系?并证明你的发现; (3)求的值。



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