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竞赛课件13:波的几何描述与特征现象



?

波的几何描述
在波传播的介质中作出的某时刻振动所传播到达的各 点的轨迹称为波前. 振动在介质中传播时,振动步调相同的点的轨迹,称为 波面.波前是各点振动相位都等于波源初相位的波面. 方向处处与该处波的传播方向一致的线,叫波线. 波面 波面 波线 波前

波线
o

波前 球面波 平面波 介质中

波动到达的各点,都可以看作是发射子波 的波源,在其后的任一时刻,这些子波的包迹就决定 新的波前.

?

两种介质界面上的波现象

反射定律
A′
B′

M

ir
A B

N

? A?B ? vt ? AB ? ? Rt ?AA ?B ? Rt ?ABB ?

?i ? r

折射定律
A′

v1
r rB

M

i i
A

N
v2

v1 t v2 t B′ ? AB ? ? sin i sin r
sin i v1 ? ? ? n21 sin r v2

一平面波遇到两种介质的界面时发生反射,设入射 波与反射波的振动方向相同.如果入射波是一纵波,要使反射波是 一横波,设纵波在介质中的传播速度是横波传播速度的倍.问入射 角为多少?

专题13-例1

A2 A1 B1

B2

N
C

C?

M

tan i ?

i ri A N? v緃 ? t

B

M?

v橫 ? t

? 3

i ? 60

?

子弹在离人5 m处以速度680 m/s水平飞过,当人听 到子弹之啸声时,子弹离人多远?设声速为340 m/s.

专题13-例2

弹道波的几何描述如示:

AB ? v子 ? t AC ? V波 ? t

A

5m
C

φ φ

B

sin ? ?

V波 v子

1 ? 2

? ? ? 30?

设人在C处:

子弹与人的距离即为CB=10

m

站在地面上的观测者发现一架飞机向他飞来,但听 不到声音,一直到看见飞机的方向和水平成37°角时,才听到轰呜 声,若飞机沿水平直线飞行,当时声速为336 m/s,飞机的速度是多 少?

飞机超音速飞行,引起 圆锥面波,故飞机速度

v=V/sin37 =560 m/s

? c 假设大气折射率 n 与空气的密度有关系 .式中a为常 n ? 1 ? a ? e 专题 13例 3 0 数,ρ0为地球表面的大气密度,r0=6400 km,c=8772 m,大气折射率随高度的增 加而递减.为使光线能沿着地球表面的圆弧线弯曲传播,地表的空气密度应是实 际密度的多少倍?已知地表空气的实际折射率n0=1.0003.

r ? r0

c 则 ? O ? rn? r0 n0 r ? r0 ? ? ? r0 c ? ? ? ? 即 ? a ?0 ? 1? ? r0 ? a ?0 e ?1 ? r ? ? ? ? r ?r r ? r0 ? r ? r 0? ? a ? ? ? r ?e 得 a ?0 c r0 ? ? ? r ? r0 ?r ? 0 取 ? 1? 1 c ? ? r0 得 a ?0 c a? ? n ? 1 实际的地表大气密度满足 0 0 r
0

依据惠更斯原理求解: c c vN ? ? r0? v M ? ? r?
?c n0

M N

n

r



? ?0 ? ?0 ? r0

1 ? ? c ? 1 ? ? n0 ? 1? ? ?

? 4.58 ? 倍?

c

?1

某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h按照n=n0- ah的规律而减小,行星的半径为R,行星表面某一高度h0处有光波道,它始终在 恒定高度,光线沿光波道环绕行星传播,试求高度h0.

c c 由 ? h0 nh hnh ? ?h

依据惠更斯原理求解:

M N h O R

c c n0 ? ah0 n0 ? a( h0 ? ?h) ? R ? h0 R ? ( h0 ? ?h)

h0

? n0 ? ah0 ?? R ? h0 ? ? ? ?? n0 ? ah0 ? ? a?h ? ?? ?? R ? h0 ? ? ?h ? ? ? n0 ? ah0 ? ?h ? a?h? R ? h0 ?
1 ? n0 ? h0 ? ? ? R ? 2? a ?

?

驻波
两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波 叠加时,形成驻波. 静止不动的波节和振幅最大的波腹相间,但波形 不向任何方向移动, 规律 从驻波的成因来看,驻波是一种干涉现象:波节与波 腹分别是振动抵消与振动最强区域,它们的位置是不 变的;

从驻波上各质点的振动情况来看,实际上是有限 大小的物体上有相互联系的无数质点整体的一种 振动模式. 弦线或空气柱以驻波的模式振动,成为声源,并 将这种振动形式在周围空气中传播,形成声波. 示例

?

拍 两个同方向的简谐运动合成时,由于频率
略有差别,产生的合振动振幅时而加强时 而减弱的现象叫拍.在单位时间内合振幅 的极大值出现的次数叫做拍频.

2? f1 ? 2? f2 ? T ? 2?

1 ? f1 ? f 2 T

t=0,T

t=T/4

t=T/2
t=3T/4

返回

t = 0 t= t= tt= = T 3T/ T/ 4 2 4

如图所示,一端固定在台上的弦线,用支柱支撑其R点和S 专题 13例 6 点,另一端通过定滑轮吊一个1.6 kg的重物,弹拨弦的RS部分,使其振动,则R、

S点为波节,其间产生三个波腹的驻波,这时,如在弦的附近使频率为278 Hz的音 叉发音,则5 s内可听到10次拍音,换用频率稍大的音叉,则拍音频率减小.测得 RS=75.0 cm,求该驻波的波长、频率及弦线的线密度.

由驻波成因知该波波长为:

弦振动频率与音叉振动频率差产生拍:

2 ? ? L ? 50.0m 3 R

S

10 ? f1 ? 278 5

f ? f1 ? f 2

f1 ? 280
mg

由v ?

T

1.6 ? 9.8 ?3 ? 0.8 ? 10 kg/m ?? kg/m 2 140

?

规律

试手18

返回

问题 一个脉冲波在细绳中传播, 若绳的线密度为ρ,绳中张力为T试求 脉冲波在绳上的传播速度.
v T v v

r

??

T

?m ? ? ? r ?? 2 ?? v 2T sin ? ?m 2 r

v?

T

?

将一根长为100多厘米的均匀弦线沿水平的x轴 放臵,拉紧并使两端固定.现对离固定的右端25 cm处(取该处为原 点O,如图1所示)的弦上施加一个沿垂直于弦线方向(即y 轴方向) 的扰动,其位移随时间的变化规律如图2所示.该扰动将沿弦线传播 而形成波(孤立的脉冲波).已知该波在弦线中的传播速度为2.5 cm/s,且波在传播和反射过程中都没有能量损失. ⒈试在图1中准确地画出自O点沿弦线向右传播的波在t=2.5 s时的 波形. ⒉该波向右传播到固定点时将发生反射,反射波向左传播.反射 点总是固定不动的.这可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠 加,使反射点的位移始终为零.由此观点出发,试在图1中准确地画 出t=12.5 s时的波形图.

图1

图2

图13-12-2

解答

脉冲波形成经 y/cm
0.10

t ? T ? 2.5s

vT ? 6.25 m T ? 2.5s ? ? 25
波到达右端经 t ?

2.5

? 10s

0.05

0
-0.05 -0.10 0.10 0.05
5

18.75 6.25 10 15 20 25

x/cm

再经2.5S,即t=12.5s时 y/cm 再经0.5S,即t=10.5s时

0
-0.05 -0.10
5

6.25 10 15

18.75 20

23.75 25

x/cm

一列横波在弦线上传播,到固定端时被反射,反 射波在弦线上沿反方向传播而形成驻波.反射时波长、频率、振幅 均不变,但反射波与入射波使反射点的振动相差半个周期,相当于 原波损失半个波再反射.在图中已画出某时刻入射波B,试用虚线 画出反射波C,用实线画出驻波A.

A B C

有一口竖直井,井底有水,它可与f≥7Hz的某些 频率发生共鸣.若声波在该井里的空气中的传播速度为347.2 m/s, 试问这口井至少有多深?

当声波频率f=7 Hz时,波长 :

v 347.2 ?? ? m ? 49.6m f 7
那么井深至少为波长四分之一即12.4 时,空气柱与音叉可发生共鸣

m

这样一个井的深度,还可能与频率大于 2n ? 1 7Hz、波长短于49.6 m、但波长的 4 倍恰等于12.4 m的某些声波发生共鸣!

音叉与频率为250 Hz的标准声源同时发音,产生 1.5 Hz的拍音.当音叉叉股粘上一小块橡皮泥时,拍频增大了.将 该音叉放在盛水的细管口,如图所示,连续调节水面的高度,当空 气柱高度相继为0.34 m和1.03 m时发生共鸣.求声波在空气中的声 速,画出空气柱中的驻波波形图.

标准声频率为250 Hz,拍频1.5 Hz,粘上橡皮后音 叉频率减小,与标准声的拍频增大,可知音叉原频 率为比标准声频率低,为248.5
由共鸣时空气柱长度知 1.03 ? 0.34 ?

?

則 V ? ? f ? 343m/s

? ? 1.38m 2

Hz

?

多普勒效应
设定: 波源相对于介质的速度u;观察者相对于介质的速度v;
㈠波源与观察者相对介质静止

波在介质中速度V;观察者接收到的频率f ′;波源频率f.


㈡波源固定,观察者以v向着波源或背离波源运动

V f?? ? ? f ? VT

V



V ?v V ?v v 此时相当于波以速度 f?? ? ? (1 ? ) f V±v通过观察者,故 ? VT V ㈢波源以速度u相对于介质向着或背离观察者运动,观察者静止

如图,此时相当于波长 缩短或增长为 ? ? uT ,故


V V V f?? ? ? f ? ? VT ? uT V ? u
λ

㈣波源与观察者同时相对介质运动

V ?v V ?v f?? ? f VT ? uT V ? u

uT
u

??

车以80 km/h速度行驶,从对面开来超高速列车,向背后奔 专题 13例 4 驶而去.此间超高速车所发出的汽笛声开始若听取“哆”音,后来听到的则是降 低的“咪”音(假定“哆”音和“咪”音的频率之比为8/5).设声速为1200 km/h,则超高速列车的时速是多少?这时,对站在路旁的人而言,超高速列车通 过他前后声音的频率之比是多少?而对与超高速列车同向行驶、车速为80 km/h的 车上乘客而言,他被超高速列车追过前后所闻汽笛声音的频率之比又是多少?

设“哆”音频率为f1;低“咪”音频率为f2,有 对相向而行的乘客:

f1 (1200 ? 80)(1200 ? u) 8 由 ? ? f 2 (1200 ? u)(1200 ? 80) 5 得 u ? 200 km/h V 7 f 对静止的路旁观察者:由 前 ? V ? u ? V ? u ? V f后 V ?u 5 对同向而行的乘客: V ?v V ?u
由 f 超前 f 超后

V ?v f1 ? f0 V ?u

V ?v f2 ? f0 V ?u

?V ? v ??V ? u ? V ? u ? ? V ? v ?V ? v ??V ? u ? V ?u

49 ? 40

飞机在上空以速度v=200m/s做水平飞行,发出频率为f0= 专题 13例 5 2000 Hz的声波.静止在地面上的观察者测定,当飞机越过观察者上空时,观察者 4s内测出的频率从f1=2400 Hz降为f2=1600 Hz.已知声波在空气中速度为V= 330 m/s.试求飞机的飞行高度.

观察者接收到的频率先高后低, 说明声源与观察者先接近后远 A v 离!作出示意图: α u ? v cos

uB β h
M

? A uB ? v cos ?

B

v

uA

V f1 ? f0 V ? v cos ?
由几何关系:vt

11 ? cos ? ? 40 V 33 f2 ? f 0 ? cos ? ? V ? v cos ? 80

h?

? h ? cot ? ? cot ? ? 代入数据后得 vt
cot ? ? cot ?

h ? 1096m

有A、B两个星球.B星以A星为中心做匀速圆周运动,如 图.由于星球离地球非常远,而且地球位于B星的轨道平面上,所以从地球上 看过去,B星好象在一条直线上运动.测得B星从P点移动到Q点需要6.28×107 s.由于多普勒效应,在测定B星发出的光的波长时发现,当B星位于P点时比 位于A点时短0.68×10-10 m,位于Q点时则比A点长同样的值.若位于A点时的 波长测量值为4861.33×10-10 m,光速c=3.0×108 m/s.求⑴B星公转的方向; ⑵ B星的公转速度是多少km/s? ⑶圆周轨道的半径.

这是测定宇宙中双星的一种方法
(1) 由于B星发出的光波波长在P点位比 Q点位短,可知在P点位光源是朝着地球 运动的,故B星公转的方向为沿图中逆时 针方向 ⑵

P

A B B A

Q

? 0 ?? ? vT ? v ? 可得v=42 km/s c
P

Q



R?

vt

?

? 8 ? 40 ? 10 km
8

某人造地球卫星发出频率为10 8 Hz的无线电讯号, 地面接收站接收到的讯号频率增大了2400 Hz.已知无线电讯号在 真空中的传播速度为c=3.0×108 m/s,试估算人造卫星朝地面接 收站方向的运动速度.

设人造卫星朝地面接收站方向运动的速度为u, 此即波源移动速度,由于波源向着观察者运 动,接收到的频率变大,由

可得

c f ? ?f ? f c?u

cf 2400 8 u?c? ? 8 ? 3.0 ? 10 m/s f ? ?f 10 ? 2400

? 7200m/s

在单行道上,交通川流不息,有一支乐队沿同一方 向前进.乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近,这时,乐 队正同时奏出频率为440 Hz的音调.在乐队前面街上有一固定广 播设施做现场转播.旅行者发现从前面乐队直接听到的声音和从 广播中听到的声音相结合产生拍,并测出三秒钟有四拍.利用测 速计可测出车速为18 km/h.试计算乐队行进的速度.已知在这个 寒冷的天气下,声速为330 m/s.

330 ? u 330 ? 5 来自广播声的频率 f 2 ? f0 330 335 335 4 則( ? ) ? 440 ? 330 330 ? u 3

接收到来自乐队的频率 f ? 330 ? 5 f 1 0

U≈1 m/s

一波源振动频率为2040 Hz,以速度vs向墙壁接近, 如图,观测者在A点所得的拍频 ?? =3 Hz,设声速为340m/s,求波 源移动的速度vs.如波源没有运动,而以一反射面代替墙壁,以 速度=0.2 m/s向观察者A接近,所得到的拍频为 =4 Hz,求波源的 ?? ? 频率. ⑴A点从声源直接接收到的声波频率

V 经墙反射后的声波频率 f 2 ? f0 V ? vs

V f1 ? f0 V ? vs

A

S

观测者 波源

V V 则 ?? ? f0 ? f0 V ? vs V ? vs
续解

代入题给数据

3?

2 ? 340v s
2 3402 ? v s

? 2040

2 vs ? 6802 vs ? 3402 ? 0,

⑵若反射面移动,则A点从声源直接接收到的声波频率 f1? ? f 反射面接收到的波频率 反射到A接收到的波频率

v s =0.25m/s

V ? v ? f 2?? ? f V

V ? v? V f 2? ? f 2?? ? f V ? v? V ? v?

V ? v? 2 ? 0.2 则?? ? ? f ? f ?4? f ? V ? v? 340 ? 0.2

f ? 3398Hz

如图,音叉P沿着半径r=8m的圆以角速度ω=4rad/s 做匀速圆周运动.音叉发出频率为f0=500 Hz的声波,声波的速度 为v=330 m/s.观察者M与圆周共面,与圆心O的距离为d=2r. 试问当角θ为多大时,观察到的频率为最高或最低,并求其数值.

声源移动速度为Rω,相对观察 者接近或背离速度设为u,

u

V 有 f?? f0 V ? R? sin(? ? ? )

θ



r 2r 又 ? sin ? sin(? ? ? )

φ

当 (? ? ? ) ? 90? 时 f ? 有最值, 此时θ=60°或θ=300°

f最大 ? 554Hz f最小 ? 456Hz

专题13-例7

到了晚上,地面辐射降温使空气层中产生温度梯度, 温度随高度递增,这导致声速v随高度y变化,假定变化规律 为: .式中v0是地面(y=0处)的声速,a为比例系 v ? v0 (1 ? a 2 y 2 ) 数.今远方地面上某声源发出一束声波,发射方向与竖直成θ 角.假定在声波传播范围内 <<1,试求该声波在空间传播的轨 ay 迹,并求地面上听得最清晰的地点与声源的距离S . y

声波波线即声传播轨迹!
寂静区

? i ?y 第i层
v0
?x
2 白天 1

?

寂静区

vi sin ? i v1 sin ?1 v2 sin ? 2 ? , ? ,??, ? v0 sin ? 0 v1 sin ?1 vi ?1 sin ? i ?1 vi 可得 sin ? i ? sin ? 0 v0

夜间 根据折射定律:

0 ?1
?0

x

由于声速沿y轴 ,递增,折射角θi 逐渐增大,开始 一段声传播的径 迹大致如图! 续解

第i层声波波线视为直线,有

?y 1 ? cot ? i ? ?1 2 查阅 ?x sin ?i
?
2 v0 ? ? 1 vi2 sin 2 ? 0

?1 ? a y ?
2 2

1

2

sin ? 0
2

?1

1 1 2 ? ? sin ?0 2 2 sin?0 1 ? 2a y

2 1 2 2 2 sin ?x ? 1 ? 2a y ? sin ?0 sin ? 0 2 2 2 a cos ? 0 2 2a 2 ? cot ? 1 ? y ? 1? y 0 2 2 cos ?0 sin ? 0 cos ? 0

2a 由 2 y 2 ? sin2 ? x可得波线方程为 y ? cos ? 0 sin 续 ?x 解 cos ? 0 2a

2

对待定方程 y ?

cos ? 0

2a 比较 cot ?0 cos ? x ? ? ?? cos ? x ? sin ? 0 2a ? 2a ? 于是得声传播轨迹方程: cos ? 0 y? ? sin ? ? x? 0 ? ? sin ? 2a 0 ? ? 2a ? sin ? 0 可知地面上听得最清点距声源 x? ?x ? ? ? S1 2a sin?0
0

2a sin ? ? x ? ?x ? ? sin ? x ?y cos ? 0 lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 2 a ?y ? 0 x ? ?x ? x ??x 2cos ? sin ? cos ? 0 2 2 ? lim ? ?x 2a ? x ? 0 2 cos ?

sin ? x 求斜率

在海洋中声速随深度、温度和含盐量变化.已知声速 随深度变化规律如图,最小声速出现在海洋表面与海底之间.坐 标原点取在声速最小处,za、zb分别表示海面和海底的坐标.则声 速v与z的关系为
? v0 ? bz ? v ? ? v0 ? v ? bz ? 0 ( z ? 0) ( z ? 0) ( z ? 0)

其中b为常量.今在x=0,z=0处放臵一声源S,在xz平面内,从S发出 的声波的传播方向用初始发射角θ0表示.声速的不均匀将导致波 射线的弯曲.试证明在zx平面内声波的初始轨迹为圆,并求出其 半径. z 在xz平面将海水分成与x轴平行的 z a n薄层(n→∞),各层的波速可视为不变, 波在各层传播时遵循折射定律,第i层 的波速为vi,波在该薄层两界面上的折 O v vo 射角为θi,在下一层的折射角为θi+1, 每经过一薄层,声波传播方向改变 zb 续解 Δθ=θi+1-θi

对第i薄层海水有

vi sin ? i sin ? i 由折射定律: ? ? vi ? v0 v0 sin ? 0 sin ? 0

v0 sin ? i ?1 ? sin ? i ? ? b ? ?s ? cos ? i ? sin ? 0
i

vi ?1 ? vi ? b?z ? b ? ?s ? cos ? i
? i ?1 ? i ?1

v0 ? i ? ? i ?1 ? ?i ? i ?1 △s ?i ? (2cos cos ? i sin ) ??b ? ?s ? cos ?i ? △ z sin ? 0 2 22

v0 ?s ? ?R ?? i b sin ? 0

?? i

走在岸边,总可以看到水波平行于岸边滚滚而来.设 水波的速率与水深成正比,岸的斜度为常数,计算水波的轨迹.

设岸的坡度为m,水深h,下限水深度为h0,此 处水波速率v0并平行于岸,y为离岸距离,又 v=kh,波线设为如图 v sin ? i ?? 根据折射定律: i ? ? cos 由几何关系: ?y ? ?S cos i i v0 sin ? 0 v0 ?v v i ? v i ? 1 ?y ? ? ? sin ? i ? sin ? i ? 1 ? ? km km km sin ? 0 y v0 ?? ? ? v0 ? 2cos ? i ? sin km sin ? 0 2 2
Δy
?i

v0 ?S ? ?R ?? km sin ? 0

?? i

0





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