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几何证明选讲、极坐标与参数方程(知识点+题型+真题)



几何证明选讲、极坐标与参数方程
一、极坐标与参数方程
题型一:极坐标与直角坐标互化 题型二:极坐标方程转化为直角坐标方程 题型三:参数方程转化为普通方程(消去参数)

练习: 1.曲线的参数方程为 ? A.直线

? x ? 3t ? 2 (t 是参数),则曲线是( ?y ? t ?1
C.圆 D.射线

/>


B.双曲线的一支

2.已知极坐标系中点 A( 2 ,
A.(-1,-1)

3? ) ,则点 A 的普通直角坐标是( ) 4
C.(-1,1) D.(1,-1) ) C.1 D.

B.(1,1)

3.圆 ? ? sin? 的半径是( A.2 B. 2

4.直线:3x-4y-9=0 与圆: ? A.相切 B.相离

? x ? 2 cos? ,(θ 为参数)的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心

1 2

)

5.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B 的坐标是 ? y ? 2 ? 4t

6.在极坐标系中,点 A ? 2 ,

? ?

??

? 到直线 ? sin ? ? ?2 的距离是 4?
? x ? 2 cos ? ( ? 为参数,且 ? ? R )的曲 ? y ? 1 ? cos 2?

7、若 P 是极坐标方程为 ? ?

?
3

? ? ? R ? 的直线与参数方程为 ?
.

线的交点,则 P 点的直角坐标为

二、几何证明选讲
1、相似三角形性质 2、射影定理 3、切割线定理 4、相交弦定理

直角三角形的射影定理 射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射 影与斜边的比例中项。

相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 练习: 1.半径为 5cm 的圆内一条弦 AB,其长为 8cm,则圆心到弦的距离为( A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
2



2.如图,已知 DE∥BC,△ADE 的面积是 2cm ,梯形 DBCE 的面积为 6cm ,则

2

DE : BC 的值是(
A.2 B.

)

2 3

C.1

D.

1 2

3.如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,

CD ? 4, BD ? 8 ,则圆 O 的半径等于(
A.3 B.4 C.5

) D .6
?

4.如图, AB 是半圆 O 直径, ?BAC ? 30 ,

BC 为半圆的切线,且 BC ? 4 3 ,则点 O 到 AC 的距离 ) OD ? (
A.3 B.4 C.5
0

C D A O
第 10 题图

D .6

5 . 在 Rt ?ABC 中 ,

?ACB ? 90 , CD ? AB 于 点 D ,
) C.

B

CD ? 2, BD ? 4 ,则 AC =(
A. 2 5 B. 5

3 5 2

D.

2 5 3

6.如图,△ABC 中, DE∥BC,DF∥AC,AE:AC=3:5,DE=6,则 BF=_______ 7.如图,已知⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于 A,B 两点,割线 PCD 经 过圆心,若 PA=6,,AB= 7 ,,PO=12.则⊙O 的半径为_______________

1 3

真题演练: 2007 年文科 第 14 题 . ( 坐 标 系 与 参数方 程 选 做 题 ) 在 极坐 标系 中 , 直 线 l 的 方 程 为

? ? sin? ? 3,则点 (2, ) 到直线 l 的距离为
6



第15题. (几何证明选讲选做题)如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一

点, BC ? 3 过 C 作圆的切线 l ,过A作 l 的垂线AD,垂足为D, 则∠DAC= 2008 年文科



第 14 题 .( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 曲 线 C1 , C2 的 极 坐 标 方 程 分 别 为

? ? cos ? ? 3, ? ? 4cos ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ) ,则曲线 C1 C2 交点的极坐标为 2
O 交于 B 点,PB=1,则圆 O 的半径 R= 2009 年文科 第 14 题. (坐标系与参数方程选做题)若直线 ? .



第 15 题. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切点,切点为 A,PA=2.AC 是圆 O 的直径,PC 与圆

? x ? 1 ? 2t ( t 为参数)与直线 ? y ? 2 ? 3t

4 x ? ky ? 1 垂直,则常数 k =________.
第 15 题. (几何证明选讲选做题)如图 3,点 A,B,C 是圆 O 上的点,且 AB ? 4 ,

?ACB ? 30o ,则圆 O 的面积等于



2010 年文科 第 14 题. (几何证明选讲选做题) 如图 3, 在直角梯形 ABCD 中, DC∥AB, CB⊥AB, AB=AD=a,CD=

a ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF= 2



第 15 题. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ, ? )( 0 ? ?<2? )中,曲线

? ? cos ? ? sin ? ? ? 1 与 ? ? sin ? ? cos ? ? ? 1 的交点的极坐标为
2011 年文科



第 14 题 . (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ?

? x ? 5 cos ? ? (0≤? <? ) 和 ? ? y ? sin ?

5 2 ? ?x ? t 4 (t ? R) ,它们的交点坐标为 ? ? ?y ? t



第 15 题. (几何证明选讲选做题)如图 4,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E、F 分别为 AD、 BC 上点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 D E A . C F B

2012 年文科 第 14 题. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为

? 2 t ?x ? 1? ? x ? 5 cos ? ? ? ? 2 (t 是参数) C2 : ? (? 是参数, 0 ?? ? ) 和 C2 : ? , 它们的交点坐标为 2 ? ?y ? ? 2 t ? y ? 5 sin ? ? ? 2
第 15 题. (几何证明选讲选做题) 如图 3 所示, 直线 PB 与圆 O 想切于点 B ,D 是 弦 AC 上 的 点 , ?PBA ? ?DBA , 若 A D ? 则 ,m A ? C, n



AB ?



2013 年文科 第14题. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? . 以极点为原点, 极轴为 x 轴 的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为 .

第 15 题. (几何证明选讲选做题)如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E , 则 ED ? .
B C

E A 图 3 D

小节训练卷(27)参考答案
1.A ∴选 A 2.C 3.B 4.D 5.C

? x ? 3t ? 2 ? ?y ? t ?1

将 2 式乘以 3 后减去 1 式得 3 y ? x ? ?5,即x ? 3 y ? 5 ? 0 ,此方程表示的是直线,

? ? 2 ,? ?

3? , x ? ? cos ? ? ?1, y ? ? sin ? ? 1 ,∴选 C 4

CD 2 ? AD ? BD,? AD ? 1, AC ? AD 2 ? CD 2 ? 5 ,∴选 B
将 ? ? sin? 两边平方得 ? ? ? sin ? ,? x ? y ? y ,整理得 x 2 ? ( y ? ) 2 ?
2 2 2

1 2

1 ,∴选 D 4

过圆心 O 作 OD⊥AB,则 OD 为所求。DB=4,OB=5, ∴OD=3 ∴选 C 点 (2,

6.B

?
2

,?c o s ? 1 ? 的普通直角 ) 的普通直角坐标为(0,2)

坐标方程是 x=1,则(0,2)关于 x=1 对称的点为(2,2) ,化为 极坐标是 (2 2,

?
4

) ,∴选 B
DE 2 S? ADE 2 1 DE 1 ? ? ? ,? ? ,∴选 D BC 2 S? ABC 8 4 BC 2

7.D S? ADE ? 2, S? ABC ? 8,?

8. D 圆: ?

? x ? 2 cos? 2 2 化成普通直角坐标方程是 x ? y ? 4 , 圆心是 (0, 0) , 半径 r=2,圆心到直线 3x-4y-9=0 y ? 2 sin ? ?

的距离为 d ?
2

?9 5

?

9 ? r ,所以直线和圆相交。∴选 D 5

9.C CD ? AD ? BD,? AD ? 2,? 直径AB ? 10,? r ? 5 ∴选 C
0 10.A ? ?BAC ? 30 , BC ? AB, BC ? 4 3,? AC ? 8 3 , AB ? AC ? COS 30 ? 12
0

? OA ? 6, 又OD ? AC ,?? ADO ?? ABC ,?
11. l1 : ?

OD OA ? ,? OD ? 3 ,∴选 A BC AC

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 化为普通直角坐标方程为 4 x ? 3 y ? 10 ,联立方程 2 x ? 4 y ? 5 ? y ? 2 ? 4t

5 ? 5 ?x ? 解得 ? 2 ,∴答案为 ( , 0) 2 ? ?y ? 0
12.极坐标点 A ? 2 ,

? ?

??

,直线 ? sin ? ? ?2 的直角坐标方程是 ? 的直角坐标是(1,1) 4?

y ? ?2 ,所以点到直线的距离是 3

13.由题知 ? ADE ?? ABC ,∴DE:BC=AE:AC=3:5,又 DE=6, ∴BC=10 又 CF=BE=6, ∴BF=4 14.由割线定理知 PA ? PB ? PC ? PD,? 6 ? (6 ? 7 ) ? (12 ? r ) ? (12 ? r ) ∴r=8

1 3



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