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100测评网2009届高三数学第一轮复习资料——三角函数



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三角函数 第 1 章 三角函数 §1.1 任意角的概念、弧度制 重难点:理解任意角的概念,掌握角的概念的推广方法,能在直角坐标系讨论任意角,判断 象限角、轴线角,掌握终边相同角的集合.掌握弧长公式、扇形面积公式并能灵活运用. 考纲要求:①了解任意角的概念. ②了解弧度制概念,

能进行弧度与角度的互化. 0 0 经典例题:写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-360 ≤β <720 的 元素β 写出来: 0 0 0 , (1)60 ; (2)-21 ; (3)363 14 当堂练习: 1.已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的角},那么 A、B、C 关系是( ) A.B=A∩C B.B∪C=C C.A ? C D.A=B=C ≠ 2 下列各组角中,终边相同的角是 ( ) A. 必修 4

k ? ? 与 k? ? 2 2

(k ? Z )

B. k? ? D. k? ?

?
?

k 与 ? 3 3 与k? ?

(k ? Z )

C. (2k ? 1)?与(4k ? 1)? (k ? Z )

?
6

6

(k ? Z )
( )

3.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是 A.2

2 B. sin 1

C. 2 sin 1

D. sin 2 ( )

4.设 ? 角的终边上一点 P 的坐标是 (cos A.

?

? 5
3 ? 10 (k ? Z )

, sin ) ,则 ? 等于 5 5
B. cot

?

?

5 9 ? 5 (k ? Z )


C. 2k? ?

D. 2k? ?

5.将分针拨慢 10 分钟,则分钟转过的弧度数是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( A.

6.设角 ? 和 ? 的终边关于 y 轴对称,则有 A. ? ?

? 3

B.-

? 3

C.

? 6

D.-

? 6
( )

1 )? ? ? (k ? Z ) 2 2 C. ? ? 2? ? ? D. ? ? (2k ? 1)? ? ? (k ? Z ) (k ? Z ) n? 2 , n ? Z } ? {? | ? ? 2n? ? ? , n ? Z} , 7.集合 A={ ? | ? ? 2 3 2n? 1 , n ? Z } ? {? | ? ? n? ? ? , n ? Z} , B={ ? | ? ? 3 2 ?? (k ? Z )
B. ? ? ( 2 k ? 则 A、B 之间关系为 A. B ? A ( ) C.B ? A D.A ? B ≠ 2 ≠ 8.某扇形的面积为 1 cm ,它的周长为 4 cm ,那么该扇形圆心角的度数为 B. A ? B

?





A.2° B.2 C.4° D.4 9.下列说法正确的是 ( ) A.1 弧度角的大小与圆的半径无关 B.大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大 C.圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 10.中心角为 60°的扇形,它的弧长为 2 ? ,则它的内切圆半径为 ( )

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A.2 B. 3 C.1 D.

3 2
( )

11.一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4R,则这个扇形所含弓形的面积为

1 2 A. (2 ? sin ? 1 cos 1) R 2 1 2 C. R 2
12.若 ? 角的终边落在第三或第四象限,则 A.第一或第三象限 C.第一或第四象限 13. cos

1 2 B. R sin? 1 cos 1 2
D. R ? sin? 1cos1 ? R
2 2

? 的终边落在 2
B.第二或第四象限 D.第三或第四象限





?
2

? sin

?
2

? 1 ? sin ? ,且 ? 是第二象限角,则

4 ? ? ,?? ? ? ? ? ? ? , 则2? - ? 的取值范围是 3 3 15.已知 ? 是第二象限角,且 | ? ? 2 |? 4, 则 ? 的范围是 .
14.已知 ? ? ? ? ? ?

? 是第 2

象限角. .

16.已知扇形的半径为 R,所对圆心角为 ? ,该扇形的周长为定值 c,则该扇形最大面积为 . 17.写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(这括边界)

(1)

(2)

(3

18.一个视力正常的人,欲看清一定距离的文字,其视角不得小于 5′. 试问: (1)离人 10 米处能阅读的方形文字的大小如何? (2)欲看清长、宽约 0.4 米的方形文字,人离开字牌的最大距离为多少?

19.一扇形周长为 20cm,当扇形的圆心角 ? 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?并求 此扇形的最大面积?

20.绳子绕在半径为 50cm 的轮圈上,绳子的下端 B 处悬挂着物体 W,如果轮子按逆时针方 向每分钟匀速旋转 4 圈,那么需要多少秒钟才能把物体 W 的位置向上提升 100cm?

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21.已知集合 A={ ? | ? ? k ? 135? k ? Z}, 求与 A∩B 中角终边相同角的集合 S.

B ? {? | ? ? k ?150?,?10 ? k ? 8}

必修 4

第 1 章 三角函数

考纲总要求:①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ? ②能利用单位圆中的三角函数线推导出 ? ? , ? ? ? 的正弦、余弦、正切的诱导公式,能 画出 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的图像,了解三角函数的周期性. ③理解正弦函数、余弦函数在区间 ?0, 2? ? 的性质(单调性、最大和最小值与 x 轴交点等) , 理解正切函数在区间 ? ?
2

? ? ,? ? ? ? 2 2?

的单调性.
2 2

? tan x . cos x ⑤了解函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的物理意义; 能画出 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像, 了解参数 A, ? , ? 对

④理解同角三角函数的基本关系式 sin x ? cos x ? 1,

sin x

函数图像变化的影响. ⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型, 会用三角函数解决一些简单实际 问题. §1.2.1-2 任意角的三角函数值、同角三角函数的关系 重难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象 限的符号) ,以及这三种函数的第一组诱导公式;能利用与单位圆有关的有向线段,将任意 角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来;掌握同角三角函数的基本 关系式, 三角函数值的符号的确定, 同角三角函数的基本关系式的变式应用以及对三角式进 行化简和证明. 经典例题:已知 ? 为第三象限角,问是否存在这样的实数 m,使得 sin ? 、cos? 是关于 x 的 方程 8 x ? 6mx ? 2m ? 1 ? 0 的两个根,若存在,求出实数 m,若不存在,请说明理由.
2

当堂练习: 1.已知 ? (0 ? ? ? 2? ) 的正弦线与余弦线相等,且符号相同,那么 ? 的值为(



5? 7 ? 5 或 ? C. 或 ? 4 4 4 4 2.若 ? 为第二象限角,那么 sin(cos2? ) ? cos(sin2? ) 的值为
A.

?

3 或 ? 4 4

B.

D.

?

7 或 ? 4 4

A.正值

B.负值

C.零 (

( ) D.为能确定 ) D.-

sin ? ? 2 cos ? ? ?5, 那么 tan ? 的值为 3.已知 3 sin ? ? 5 cos ?
A.-2 B.2 C.

23 16

23 16

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4.函数 f ( x) ?

cos x 1 ? sin 2 x

?

1 ? cos 2 x tan x ? 的值域是 sin x sec 2 x ? 1
D.{-3,1} ) D.





A.{-1,1,3} B.{-1,1,-3} C.{-1,3} 5.已知锐角 ? 终边上一点的坐标为( 2 sin 3,?2 cos3), 则 ? =(

? 2 6.已知角 ? 的终边在函数 y ? ? | x | 的图象上,则 cos? 的值为
A. ? ? 3 B.3 C.3-

? -3 2
( )

2 2 2 2 B.- C. 或- 2 2 2 2 7.若 2 sin ? ? ?3 cos? , 那么 2 ? 的终边所在象限为( )
A. A.第一象限 B.第二象限 8. sin 1 、 cos 1 、 tan 1 的大小关系为 A. sin 1 ? cos 1 ? tan 1 C. tan 1 ? sin 1 ? cos 1 C.第三象限

D.

1 2

D.第四象限 ( )

B. sin 1 ? tan 1 ? cos 1 D. tan 1 ? cos 1 ? sin 1

9.已知 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ? A.锐角三角形 B.钝角三角形

2 ,那么这个三角形的形状为( 3



C.不等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形

10. 若 ? 是第一象限角, 则 sin 2? , sin A.0 个 11.化简 A.0 B.1 个

?
2

, cos

?
2

, tan

?
2

, cos 2? 中能确定为正值的有 (
D.2 个以上 )



C.2 个

sec? 1 ? tan2 ?

?

1 ? csc? csc 2 ? ? 2 csc? ? 1
B.-1

( ? 是第三象限角)的值等于( D.-2 )

C.2

3 3 3 12.已知 sin ? ? cos ? ? ,那么 sin ? ? cos ? 的值为( 4 25 25 23 23 A. B.- 128 128 25 25 23 或- 23 C. D.以上全错 128 128 1 ? ? 13.已知 sin ? ? cos ? ? , 且 ? ? ? , 则 cos ? ? sin ? ? 8 4 2
14.函数 y ? 36 ? x 2 ? lg cos x 的定义域是_________. 15.已知 tan x ? ?

.

1 2 ,则 sin x ? 3 sin x cos x ? 1 =______. 2 6 6 2 2 16.化简 sin ? ? cos ? ? 3 sin ? ? cos ? ? . 2 x y x y x y2 cos ? ? sin ? ? 1 , sin ? ? cos ? ? 1 . 17.已知 求证: 2 ? 2 ? 2 . a b a b a b

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18.若

1 ? cos x 1 ? cos x 2 ,求角 x 的取值范围. ? ?? 1 ? cos x 1 ? cos x tan x

19.角 ? 的终边上的点 P 和点 A( a , b )关于 x 轴对称( ab ? 0 )角 ? 的终边上的点 Q 与 A 关于直线 y ? x 对称. 求 sin ? ? sec ? ? tan? ? cot ? ? sec? ? csc ? 的值.

20.已知 2 cos ? ? 5 cos ? ? 7 ? a sin ? ? b sin ? ? c 是恒等式. 求 a、b、c 的值.
4 2 4 2

21.已知 sin ? 、 sin ? 是方程 8x ? 6kx ? 2k ? 1 ? 0 的两根,且 ? 、 ? 终边互相垂直. 求
2

k 的值.

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第 1 章 三角函数 §1.2.3 三角函数的诱导公式 重难点:能借助于单位圆,推导出正弦、余弦的诱导公式;能正确运用诱导公式将任意角的 三角函数化为锐角的三角函数,并解决求值、化简和恒等式证明问题;能通过公式的运用, 了解未知到已知、复杂到简单的转化过程. 经典例题:已知数列 {an } 的通项公式为 a n ? n ? cos( ? ? 求 S 2002 .

必修 4

n 2

?
3

), 记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an .

当堂练习: 1.若 f (cosx) ? cos3x, 那么 f (sin 30?) 的值为 A.0 2.已知 tan( ? A. B.1 C.-1

( D. (



3 2


14 ? ) ? a, 那么 sin 1992 ? ? 15 |a| a
2

1? a 1? a 1? a 1? a2 3.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b tan x ? 1 ,满足 f (5) ? 7. 则 f (?5) 的值为( )
2 2

B.

C. ?

a

D. ?

1

A.5 4.设角 ? ? ? A.

B.-5

C.6

D.-6 )

35 2 sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ,则 的值等于( 6 1 ? sin 2 ? ? sin(? ? ? ) ? cos2 (? ? ? )
B.-

3 C. 3 D.- 3 3 5.在△ABC 中,若 sin( A ? B ? C ) ? sin( A ? B ? C ) ,则△ABC 必是
A.等腰三角形 C.等腰或直角三角形 6.当 k ? Z 时, B.直角三角形 D.等腰直角三角形 ( )

3 3





A.-1 B.1 C.±1 D.与 ? 取值有关 (a, b,? , ? 为常数) ) ? 5, 7.设 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ? 4 ,且 f (2000

sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? ) 的值为 sin[(k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ]

)? 那么 f (2004 A.1 B.3 C.5 8.如果 | cos x |? cos(? x ? ? ).则 x 的取值范围是
A. [? C. [

( ) D.7 ( )

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]

( k ? Z ) B. (

?

?

3 ? 2k? , ? ? 2k? ) 2 2

(k ? Z )
(k ? Z )


3 ? 2k? , ? ? 2k? ] 2 2

(k ? Z ) D. (?? ? 2k? , ? ? 2k? )


9.在△ABC 中,下列各表达式中为常数的是

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A. sin(A ? B) ? sin C C. tan B. cos(B ? C ) ? cos A D. cos

A? B C ? tan 2 2

B?C A ? sec 2 2
( )

10.下列不等式上正确的是

5 4 15 ? ? ? tan( ? ) A. sin ? ? sin ? B. tan 7 7 8 7 5 ? 3 9 C. sin( ? ? ) ? sin( ? ) D. cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) 7 6 5 4 11.设 tan1234 ( ) ? ? a, 那么 sin(?206?) ? cos(?206?) 的值为 1? a 1? a a ?1 1? a

1? a2 1? a2 1? a2 1? a2 ? 12.若 sin( ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ,则 ? 的取值集合为 ( ) 2 ? ? k ? Z} k ? Z} A. {? | ? ? 2k? ? B. {? | ? ? 2k? ? 4 4 ? k ? Z} C. {? | ? ? k? D. {? | ? ? k? ? k ? Z} 2 sin ? ? cos ? ? 13.已知 sin ? ? 3 cos? ? 2, 则 . sin ? ? cos ? 14.已知 sin(? ? ? ) ? 1, 则 sin(2? ? ? ) ? sin(2? ? 3? ) ? . 1 ? tan ? (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 3 ? 2 2, 则 ? 15.若 . 1 ? tan ? cot ? ? sin ? ? cos ? 16.设 f ( x) ? m sin(?x ? ?1 ) ? n cos(?x ? ? 2 ) ,其中 m、n、 ?1 、 ? 2 都是非零实数,若 f (2001 ) ? 1, 则 f (2002 )? .
1 ? cos ? x, (x ? ) ? ( x ? 0) ?sin ? x, ? 2 17.设 f ( x) ? ? 和 g ( x) ? ? 1 ( x ? 0) ? f ( x ? 1) ? 1, ? g ( x ? 1) ? 1, (x ? ) ? ? 2 1 1 5 3 求 g ( ) ? f ( ) ? g ( ) ? f ( ) 的值. 4 3 6 4

A.

B.-

C.

D.

2 x ? y) ? tan y ? 0. 18.已知 sin(x ? y ) ? 1, 求证: tan(

2 2 19.已知 tan ? 、cot ? 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两实根,且 3? ? ? ?

7 ?,求 2

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cos(3? ? ? ) ? sin(? ? ? ) 的值.

20.已知 f (tanx) ? cot 3x ? cos3x, (1)求 f (cot x) 的表达式; (2)求 f ( ?

3 ) 的值. 3

21.设 f ( x) 满足 f (? sin x) ? 3 f (sin x) ? 4 sin x ? cos x (1)求 f ( x) 的表达式; (2)求 f ( x) 的最大值.

(| x |?

?
2

),

必修 4

第 1 章 三角函数 §1.3.1-2 三角函数的周期性、三角函数的图象和性质

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重难点:理解周期函数的概念.能利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象;对正、余弦函 数奇、偶性和单调性的理解与应用,能灵活应用正切函数的性质解决相关问题. 经典例题:设 P ? sin 2? ? sin ? ? cos? (0 ? ? ? ? ) (1)令 t ? sin ? ? cos? , 用t 表示 P; (2)求 t 的取值范围,并分别求出 P 的最大值、最小值.

当堂练习: 1.若 ? , ? ? (? , ? ), 且 tan ? ? tan ? ,则
2 2

3 2

( D.α +β <2π



A.α <β

B.α >β

2.函数 y ? log 1 sin(2 x ?
2

?

C.α +β >3π

4

) 的单调减区间为





A. (k? ?

?

4 3 ? C. (k? ? ? , k? ? ] 8 8
3.已知有意义的角 x 等于

, k? ]

(k ? Z ) (k ? Z )

B. (k? ?

] (k ? Z ) 8 ? 3 (k ? Z ) D. (k? ? , k? ? ? ] 8 8 8
( )

?

, k? ?

?

2 1 A. 2k? ? ? ( k ? Z ) B. 2k? ? ? ( k ? Z ) 3 3 2 2 C. 2k? ? ? ( k ? Z ) D. 2k? ? ? ( k ? Z ) 3 3 5 4.函数 y ? sin( 2 x ? ? ) 的图象的一条对称轴方程是 ( 2
A. x ? ?



?

2

B. x ? ?

?

4

C. x ?

?

8

D. x ?

5 ? 4
( )

5. 直线 y=a(a 为常数)与 y=tanω x(ω >0)的相邻两支的交点距离为 A.π B.

? ?

C.

? 2?

D.与 a 有关的值 ( )

6.下列函数中,以π 为周期的偶函数是 A. y ?| sin x | 7.在区间(- B. y ? sin | x | C. y ? sin( 2 x ?

?
3

) D. y ? sin( x ?

?
2

)


3 3 ? , ? )内,函数 y=tanx 与函数 y=sinx 图象交点的个数为( 2 2
C.3 B. y ? 3x
?

A.1 B.2 8.下列四个函数中为周期函数的是 A.y=3 C. y ? sin | x |

D.4 ( )

x?R

D. y ? sin

1 x

x ? R且x ? 0
( )

9.在△ABC 中,A>B 是 tanA>tanB 的 A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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10.函数 y ? ( ) ? cos x ? cot x 的定义域是 3 3 A. [k? ? ? , k? ? ? ] B. [2k? ? ? ,2k? ? ? ] 2 2 3 ? 3 C. (2k? ? ? ,2k? ? ? ]或x ? 2k? ? D. (2k? ? ? ,2k? ? ? ] 2 2 2 11.方程 tan x ? ? 3(?? ? x ? ? ) 的解集为 ( ? 5 2 2 ? 2 2 5 A. {? , ? } B. {? ? , ? } C. {? , ? } D. { ? , ? } 6 6 3 3 3 3 3 3



12.函数 f ( x) ? M sin(?x ? ? )(? ? 0)在区间 [a, b] 上为减函数,则函数 g ( x) ? M cos(?x ? ? )在[a, b] 上 ( ) A.可以取得最大值 M B.是减函数 C.是增函数 D.可以取得最小值-M 13. arctan

14.若 f (n) ? sin n? , 则f (1), f (3), f (5) ?? f (101) = 6 15.函数 y=2arccos(x-2)的反函数是 16.函数 y ? lg sin x ? 16 ? x 2 的定义域为 17.求函数 y ? 2 sin

1 1 ? arctan ? 2 3

. . . .

18.如图,某地一天从 6 时到 11 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b (1) 求这段时间最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式.

x 在x ? [?2? ,?? ] 上的反函数. 2

19.若 x ? [ ?

? ?

, ] ,求函数 y ? sec2 x ? 2 tan x ? 1 的最值及相应的 x 值. 3 4

20.已知函数 y ? a cos x ? b 的最大值为 1,最小值为-3,试确定 f ( x) ? b sin( ax ? 单调区间.

?
3

)的

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21.设函数 y ? 10 tan[( 2k ? 1) ? ], k ? N 当 x 在任意两个连续整数间(包括整数本身)变 化时至少有两次失去意义,求 k 的最小正整数值.

x 5

?

第 1 章 三角函数 §1.3.3 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象和性质 重难点:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像的画法和设图像与函数 y=sinx 图像的关系,以及对各 种变换内在联系的揭示. 经典例题:如图,表示电流强度 I 与时间 t 的关系式 I ? A sin(?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0), 在一 个周期内的图象. (1)试根据图象写出 I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式;

必修 4

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(2)为了使 I ? A sin(?t ? ? ) 中 t 在任意一段

1 秒 100

的时间内 I 能同时取最大值|A|和最小值-|A|,那么正整数 ? 的最小值为多少?

当堂练习: 1.函数 y ? 2 sin( 2 x ? A.关于原点对称 C.关于 y 轴对称 2.要得到 y ? 3 sin( 2 x ? A.向左平移

?
3

) 的图象
B.关于点(-





?
4

? ,0)对称 6 ? D.关于直线 x= 对称 6
) 的图象只需将 y=3sin2x 的图象
B.向右平移 ( )

? 个单位 4 ? C.向左平移 个单位 8

? 个单位 4 ? D.向右平移 个单位 8
( )

3.如图,曲线对应的函数是 A.y=|sinx| B.y=sin|x| C.y=-sin|x| D.y=-|sinx|

4.已知 f(1+cosx)=cos x,则 f(x)的图象是下图中的(

2



5.如果函数 y=sin2x+α cos2x 的图象关于直线 x=- A. 2 B.- 2 C.1

? 对称,那么α 的值为 8
D.-1 时取得最大值





6.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在同一周期内, x ?

?
9

1 4 , x ? ? 时取得最 2 9
( )

1 小值- ,则该函数解析式为 2 x ? A. y ? 2 sin( ? ) 3 6 1 ? C. y ? sin( 3 x ? ) 2 6

1 ? sin( 3 x ? ) 2 6 1 x ? D. y ? sin( ? ) 2 3 6
B. y ?

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7.方程 lg x ? cos( x ? A.0

?
4

) 的解的个数为
B.无数个 C.不超过 3





D.大于 3 )

8.已知函数 y1 ? 3 sin( 2 x ? A.5

?
3

)

y 2 ? 4 sin( 2 x ?

?
3

) 那么函数 y=y1+y2 振幅的值为(

B.7

9.已知 f1 ( x) ? cos x, f 2 ( x) ? cos?x(? 所 有点的横坐标压缩到原来的 1/3 倍 (纵坐标不变)得到的,则 ? =

D. 13 ? 0)且f 2 ( x) 的图象可以看做是把 f 1 ( x) 的图象上 C.13 ( )

1 A. 2

B.2

C.3

1 D. 3
( )

10.函数 y=-x?cosx 的部分图象是

11.函数 y ? log 1 sin(2 x ? A. (k? ?

?
4

) 的单调减区间是
B. ( k? ?





?

2

4 3 ? C. (k? ? ? , k? ? ]( k ? Z ) 8 8
12.函数 y ?| 5 sin( 2 x ? A.π

, k? ]( k ? Z )

?

]( k ? Z ) 8 ? 3 D. (k? ? , k? ? ? ]( k ? Z ) 8 8 8
( D.4π )

?

, k? ?

?

3

) | 的最小正周期为

B.

13 . 若 函 数 f ( x) ? 2 sin( 是 .

k ? 2 3 x ? ) 的周期在 ( , ) 内,则 k 的一切可取的正整数值 3 4 3 4


? 2

C.2π

14.函数 y ? cos( x ? 15 . 振 动 量 y ? 是 .

?

? 2 )( x ? [ , ? ]) 的最小值是 8 6 3

2 sin(?x ? ? )(? ? 0) 的 初 相 和 频 率 分 别 为 ? ?和

3 ,则它的相位 2


16.函数 y ? cos 2 x ? cos( 2 x ?

?
6

).(0 ? x ?

?
4

) 的最大值为
2

17.已知函数 f ( x) ? 5 sin x ? cos x ? 5 3 cos x ?

5 3 ( x ? R) 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期;(2)求 f ( x) 的单调区间; (3)求 f ( x) 图象的对称轴,对称中心.

18. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的最小值为-2,其图象相邻的最高点

与最低点横坐标差是 3π ,又图象过点(0,1)求这个函数的解析式.

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19.已知函数 f ( x) =sin2x+acos2x 在下列条件下分别求 a 的值. (1)函数图象关于原点对称;(2)函数图象关于 x ? ?

?
8

对称.

20.已知函数 f ( x) ? ?a cos2x ? 2 3a sin x ? cos x ? 2a ? b 的定义域为 [0, 5,1]求常数 a、b 的值.

?
2

] ,值域为[-

21 . 已 知 α 、 β 为 关 于 x 的 二 次 方 程 x ? 2(sin? ? 1) x ? sin
2

2

? ?0 的实根,且

| ? ? ? |? 2 2 ,求θ 的范围.

必修 4

第 1 章 三角函数 §1.3.4 三角函数的应用

重难点:掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图 象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型; 利用收集到的数据作出散点图, 并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型. 经典例题: 已知某海滨浴场的海浪高度 y ?m ? 是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:小时)的函数,记作

y ? f ?t ? .下表是某日各时的浪高数据: t 3 9 0 6 12 15 y 1 .5 1 .0 0 .5 1 .0 1 .5 1 .0

18 0 .5

21

24

0.99

1 .5

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经长期观察, y ? f ?t ? 的曲线可近似地看成是函数 y ? A sin? ?t ? (1)根据以上数据,求出函数 y ? A sin? ?t ?

? ?

??

? ? b 的图象. 2?

? ?

??

? ? b 的最小正周期 T ,振幅 A 及函数表达 2?

式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1m 时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的 上午 8 : 00 到晚上 20 : 00 之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?

当堂练习: 1.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.(2004 北京西城一模)设 0<|α |<

) D.第四象限 ) D.cot2α < )

? ,则下列不等式中一定成立的是( 4

A.sin2α >sinα B.cos2α <cosα C.tan2α >tanα cotα 2 2 2 2 3.已知实数 x、y、m、n 满足 m +n =a,x +y =b(a≠b),则 mx+ny 的最大值为( A.

a?b 2

B. ab

C.

a2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2


4. 初速度 v0,发射角为 ? ,则炮弹上升的高度 y 与 v0 之间的关系式为( A. y ? v0t

1 B. y ? v 0 ? sin ? ? t ? g ? t 2 2

C. y ? v0 ? sin ? ? t

D. y ? v0 ? cos? ? t )

5. 当两人提重为 G 的书包时,夹角为? ,用力为 F ,则 ? 为____时, F 最小( A.

? 2

B. 0

C. ?
?

D. ?

2 3

6.某人向正东方向走 x 千米后向右转 150 ,然后朝新的方向走 3 千米,结果他离出发点恰 好 3 千米,那么 x 的值为 A. 3 B. 2 3 C. 2 3或 3
0



) D. 3
?

7. 甲、乙两楼相距 60 米,从乙楼底望甲楼顶仰角为 45 ,从甲楼顶望乙楼顶俯角为 30 , 则甲、乙两楼的高度分别为____________________. 8.一树干被台风吹断折成 60 角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,树干原来的高度是 ________. 9.(2006 北京海淀模拟)在△ABC 中,∠A=60°,BC=2,则△ABC 的面积的最大值为_________. 10.在高出地面 30 m 的小山顶上建造一座电视塔 CD(如右图),今在距离 B 点 60 m 的地面上
?

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取一点 A,若测得 C、D 所张的角为 45°,则这个电视塔的高度为_______________.

11.已知函数 y ? A sin ??x ? ? ? 图象经过点 ?

? ,最小值为 ? 2 , ?A ? 0,? ? 0, ? ? ? ? 的最小正周期为 23

? 5? ? ,0 ? ,求该函数的解析式. ? 9 ?

12. 如图, 某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin??t ? ? ? ? b ,(I) 求这段时间的最大温差;(II)写出这段曲线 的函数解析式.

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13.若 x 满足 2 cos?

? 3? ? ? x? ? m ? 4 ?

?? ? ? x ? ? ? ,为使满足条件的 x 的值(1)存在;(2)有

且只有一个;(3)有两个不同的值;(4)有三个不同的值,分别求 m 的取值范围.

14.如图,化工厂的主控制表盘高 1 米,表盘底边距地面 2 米,问值班人员坐在什么位置上表盘 看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面 1.2 米)

必修 4 1. 化简

第 1 章 三角函数 §1.4 三角函数单元测试 ) B.
3 2

1 ? tan150 等于 ( 1 ? tan150
A.

3

C. 3

D. 1 )

2. 在

ABCD 中, 设 AB ? a , AD ? b ,AC ? c , BD ? d ,则下列等式中不正确的是 ( A. a ? b ? c B. a ? b ? d C. b ? a ? d D. c ? d ? 2a

A? B C; 3. 在 ?ABC 中, ①sin(A+B)+sinC; ②cos(B+C)+cosA; ③ ta ④ cos B ? C sec n ta n 2 2 2

A, 2

其中恒为定值的是( A、① ②

) B、② ③ C、② ④ D、③ ④

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4. 已知函数 f(x)=sin(x+

? ? ),g(x)=cos(x- ),则下列结论中正确的是( 2 2 A.函数 y=f(x)?g(x)的最小正周期为 2 ?
B.函数 y=f(x)?g(x)的最大值为 1 C.将函数 y=f(x)的图象向左平移 ? 单位后得 g(x)的图象 2 D.将函数 y=f(x)的图象向右平移



? 单位后得 g(x)的图象 2

5. 下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin( 2 x ?

?
3

对称的是(



?
3

)

B. y ? sin( 2 x ? ? )
6

C. y ? sin( 2 x ? ? )
6

D. y ? sin( x ? ? ) 2 6

6. 函数 y ? cos2 x ? sin x 的值域是 ( A、 ?? 1,1? B、 ?1, 5 ?
? 4? ? ?

) C、 ?0,2? D、 ?? 1, 5 ?
? ? 4? ?

7. 设 a ?

1 3 2 tan130 1 ? cos 500 则有( cos 60 ? sin 60 , b ? , c ? , 2 2 1 ? tan 2 130 2
B. a ? b ? c C. b ? c ? a



A. a ? b ? c 8. 已知 sin ? ? A.-7

D. a ? c ? b )

3 , ? 是第二象限的角,且 tan( ? ? ? )=1,则 tan ? 的值为( 5 3 3 B.7 C.- D. 4 4

9. 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且当
x ? [0,

? 时, f ( x) ? sin x ,则 f ( 5? ) 的值为( ]
2

3


3 2

A. ? 1

B

2

3 2

C ) C. 2?

?

D

1 2

10. 函数 y ? A.

? 2

1 ? cos x 的周期是( sin x
B. ?

D. 4?

11. 2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三 角形与中间的小正方形拼成的一大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为 ? , 大正方形的面 积是 1,小正方形的面积是 A.1

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于( 25
24 25


7 25

B. ?

C.

7 25

D. ?

12. 使函数 f(x)=sin(2x+ ? )+ 3 cos(2x ? ? ) 是奇函数,且在[0, ( ) A.

? ] 上是减函数的 ? 的一 4
5? 3

? 3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

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13、函数 y ? a sin x ?1 的最大值是 3,则它的最小值______________________ 14、若 a ? b ? a ? b ,则 a 、 b 的关系是____________________ 15、若函数 f(χ )是偶函数,且当χ <0 时, 有 f(χ )=cos3χ +sin2χ , 则当χ >0 时,f(χ ) 的表达式为 . 16、给出下列命题:(1)存在实数 x,使 sinx+cosx= 角,则 sin ? > cos ? ; 向右平移 (3)函数 y=sin(

? ? 个单位,得到 y=sin(2x+ )的图象.其中正确的命题的序号是 4 4
2 sin 500 ? sin 800 (1 ? 3 tan100 ) 1 ? cos100

2 7? x)是偶函数; (4)函数 y=sin2x 的图象 3 2
.

? ; (2)若 ?,? 是锐角△ ABC 的内 3

17、求值:

π π 3 5 18、已知 <α <π ,0<β < ,tanα =- ,cos(β -α )= ,求 sinβ 的值. 2 2 4 13

? 19、已知函数 y ? log1 ? ? sin 2 x ?. (1)求它的定义域、值域以及在什么区间上是增函数; 1 2 2? ?
(2)判断它的奇偶性; (3)判断它的周期性。

20、求 f ( x) ?

? x 1 ? sin x ? 2 sin 2 ( ? ) 4 2 ? 3 sin x 的最大值及取最大值时相应的 x 的集合. x 2 4 sin 2

21、已知定义在 R 上的函数 f(x)= a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期为 ? ,且对一切 x ? R, 都有 f(x) ? f ( ? ) ? 4 ; (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若 g(x)=f(
12

?
6

? x ),求函数

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g(x)的单调增区间;

22、 函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选择适当的 探究顺序,研究函数 f(x)= 1 ? sin x ? 1 ? sin x 的性质,并在此基础上,作出其在

[?? , ? ]上的图象。

第 3 章 三角恒等变换 §3.1 两角和与差的三角函数 重难点:掌握余弦的差角公式的推导并能灵活应用;能利用两角和与差的余弦公式推导 两角和与差的正弦公式,学会推导两角和差的正切公式. 考纲要求:①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦,正切公式. 经典例题:已知△ABC 的三个内角满足:A+C=2B,
1 cos A ? 1 cos C ?? 2 cos B

必修 4

求 cos

A?C 2

的值.

当堂练习: 1.给出如下四个命题 ①对于任意的实数α 和β ,等式 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 恒成立;

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②存在实数α ,β ,使等式 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 能成立;

? ? ?) ? ③公式 tan(

tan? ? an? 成立的条件是 ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 且 ? ? k? ? (k ? Z ) ; 2 2 1 ? tan? ? tan ?

④不存在无穷多个α 和β ,使 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; 其中假命题是 A.①② B.②③ C.③④ ( )

D.②③④ ( )

2.函数 y ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的最大值是 A. 1 ? 2 3.当 x ? [ ? B. 2 ? 1 C. 2

D. 2 ( )

? ?

, ] 时,函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的 2 2

A.最大值为 1,最小值为-1 C.最大值为 2,最小值为-2 4.已知 tan(? ? ? ) ? 7, tan ? ? tan ? ?

B.最大值为 1,最小值为 ?

1 2

D.最大值为 2,最小值为-1

2 , 则 cos(? ? ? ) 的值 3
C. ?





A.

1 2

B.

2 2

2 2

D. ?

2 2


5.已知

3 12 3 ? ? ? ? ? ? , cos( ? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 则 sin 2? ? ( 2 4 13 5 56 56 65 65 A. B.- C. D.- 65 65 56 56
? ? ?

?

6. sin 15 ? sin 30 ? sin 75 的值等于





A.

3 4

B.

3 8

C.

1 8

D.

1 4

7 . 函 数 f ( x) ? tan( x ? ( ) A. f ( x)与g ( x)

?
4

), g ( x) ?

1 ? t anx ? , h( x) ? co t ( ? x) 其 中 为 相 同 函 数 的 是 1 ? t anx 4

B. g ( x)与h( x)
1 2 , tan ? ? 1 5

C. h( x)与f ( x)
, tan ? ? 1 8

D. f ( x)与g ( x)及h( x) )

8.α 、β 、 ? 都是锐角, tan ? ? A.

, 则? ? ? ? ? 等于(

? 3

B.

9.设 tan ?和 tan(

?
4

? 4

C. ?

5 6

D. ? )

5 4

? ? )是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个根,则 p、q 之间的关系是(

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A.p+q+1=0 B.p-q+1=0 C.p+q-1=0 D.p-q-1=0 )

10.已知 cos ? ? a, sin ? ? 4 sin(? ? ? ),则 tan( ? ? ? ) 的值是 (
2 A. 1 ? a

a?4

B.-

1? a 2 a?4

C. ? a ? 4

1? a2

2 D. ? 1 ? a a?4

11.在△ABC 中, C ? 90 ,则 tan A ? tan B 与 1 的关系为 A. tan A ? tan B ? 1 C. tan A ? tan B ? 1 12. sin 20 cos70 ? sin 10 sin 50 的值是
? ? ? ?





B. tan A ? tan B ? 1 D.不能确定 ( C. 1 )

A. 1

4

B. 3
2

2

D. 3
4

13.已知 sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? m ,则 cos2 ? ? cos2
2

? 的值为

. .

14.在△ABC 中, tan A ? tan B ? tanC ? 3 3 , tan B ? tan A ? tanC 则∠B= 15.若 sin(? ? 24? ) ? cos(24? ? ? ), 则 tan( ? ? 60? ) = 16.若 sin x ? sin y ? 17.化简求值: sin( .

2 , 则 cos x ? cos y 的取值范围是 2
? 3 x) ? cos(

.

?
4

?
3

? 3x) ? cos(

?
6

? 3x) ? sin(

?
4

? 3x) .

? ? 18 .已知 0 ? ? ? ? ? 90 , 且 cos? , cos? 是方程 x ? 2 sin 50 x ? sin 50 ?
2 ? 2 ?

1 ?0的 2

两根,求 tan(? ? 2? ) 的值.

19.求证: tan(x ? y ) ? tan(x ? y ) ?

sin 2 x . cos x ? sin 2 y
2

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20.已知α ,β ∈(0,π )且 tan(? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? ,求 2? ? ? 的值. 2 7

21.证明: tan

3 x 2 sin x x ? tan ? . 2 2 cos x ? cos 2 x

第 3 章 三角恒等变换 §3.2 二倍角的三角函数 重难点:理解二倍角公式的推导,并能运用二倍角公式灵活地进行化简、求值、证明. 考纲要求:①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦,余弦,正切公式,导出二倍角的 正弦,余弦,正切公式,了解它们的内在联系示. 经典例题:已知 f ( x ) ? (I)化简 f(x) ;
x 1 ? tan
2

必修 4

1 ? cos x ? sin x 1 ? sin x ? cos x

?

1 ? cos x ? sin x 1 ? sin x ? cos x



x 2 相等?若存在,求 x 的值,若不存在,请说

(II) 是否存在 x,使得 tan ? f ( x)与 2 明理由.

sin x

当堂练习: 1. cos 75 ? cos 15 ? cos75 ? cos15 的值是
2 ? 2 ? ? ?





A.

5 4
sin ? 1 ? cos ? ? 1 2

B.

6 2

C.

3 2


D. 1 ?

3 4

2.如果 A.

, 那么 sin ? ? cos ? 的值是 (

7 5

B.

8 5

C.1

D.

29 15


3.已知 ? 为第Ⅲ象限角,则

1 1 1 1 ? ? cos ? 等于 2 2 2 2



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? ? B. cos 4 4 cos 3x ? cos x 4.函数 y ? 的值域是 cos x
A. sin A. [?4,0) 5. 2 cos B. [?4,4)

C. ? sin

? 4

D. ? cos ( )

?
4

C. (?4,0]

D.[-4,0] ( D.2 ( ) )

9 ? 5 3 ? cos ? cos ? ? cos ? 的值是 13 13 13 13
B.0
? ? ?

A.-1
?

C.1

6. sin 20 ? sin 40 ? sin 60 ? sin 80 的值为 A.

1 16
? ?

B. ?
?

1 16
?

C.

3 16

D. ? (

3 16


7. sin 6 cos24 ? sin 78 cos48 的值为 A.

1 16

B. ?

1 16

C.

1 32

D. (

1 8


8. tan ? ? sin ? 成立的条件是 2 1 ? cos ? A. ? 是第 I 第限角
2

B



? ? (2k? , ? ? 2k? )(k ? Z )

C. sin ? ? cos ? ? 0 D.以上都不对

4 , 则 tan 2 x ? ( ) 2 5 7 7 24 24 A. B.- C. D.- 24 24 7 7 5 4 4 10.已知θ 为第Ⅲ象限角, sin ? ? cos ? ? , 那么 sin 2? 等于 ( ) 9 2 2 2 2 2 A. ? B. C. D. ? 2 3 3 3 3
9.已知 x ? (?

?

,0), cos x ?

11.已知θ 为第Ⅱ象限角, 25sin A. ?

2

? ? ? sin? ? 24 ? 0, 则 cos 的值为
2
C.





3 5

B. ?

3 5

2 2

D. ?

4 5
( )

12.设 (2 cos x ? sin x)(sin x ? cos x ? 3) ? 0, 则 A.

2 cos2 x ? sin 2 x 的值为 1 ? tan x
C.

8 5

B.

5 8

2 5

D.

5 2
.

13. cos20? ? cos40? ? cos60? ? cos100? 的值等于 . ? ? ? ) 的值为 14.已知 sin ? ? sin ? ? 1 , cos ? ? cos ? ? 1 ,则 tan( 4 3 15.已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,? ? (0, ? ), 则 cot ? 的值是 5

.

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16.化简
?

cos100? cos5 ? 1 ? sin 100
?

的结果是

.

17.已知 cos( ? ?

?

1 ? 2 ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? , 求 cos( ? ? ? ) 的值. 2 9 2 3 2

18.设 x ? [0,

?

], 求函数 y ? cos( 2 x ? ) ? 2 sin( x ? ) 的最值. 3 3 6

?

?

19.求证: sin 3x ? sin x ? cos3x ? cos x ? cos 2 x .
3 3 3

20.不查表求值: cos40 ? cos80 ? cos80 ? cos160 ? cos160 ? cos40 .
? ? ? ? ? ?

5 sin ? 1 2 (0 ? ? ? ? ), 将f (? ) 表示成关于 cos ? 的多项式. 21.已知函数 f (? ) ? ? ? 2 2sin ? 2

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第 3 章 三角恒等变换 §3.3 几个三角恒等式 重难点:了解和差化积公式和积化和差公式的推导并能简单运用. 考纲要求:①能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差,和差化积,半角公 式,但对这三组公式不要求记忆. 经典例题:证明:内切圆半径为定值 r 的直角三角形中,以等腰直角三角形的周长最小.

必修 4

当堂练习: 1.求值:cos

2? 4? 6? +cos +cos 7 7 7

2.证明:tan

3x x 2 sin x -tan = 2 cos x ? cos 2 x 2

3.已知

2 sin ? ? cos ? ? ?5 ,求 3cos 2? + 4sin 2? 的值。 sin ? ? 3 cos ?

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4.证明:

sin ? ? 1 1 ? 1 ? tan ? 1 ? sin ? ? cos ? 2 2 2

5.已知: tan ? ?

b ,求证: a cos 2? ? b sin 2? ? a a

6.已知: x ? 2 tan

?
2
2

? x tan 2
2

?
2

? 0, y ? 1 ? tan 2
2

?
2

? y tan 2

?
2

?0

求证: cos 2? ? x ? y ? 2sin

?

必修 4 1、已知 tan(? ? ? ) ?

第 3 章 三角恒等变换 §3.4 三角恒等变换单元测试

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值等于 ( 5 4 4 4



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(A)

13 18

(B)

3 22

(C)

13 22

(D)

3 18


2、已知 sin ? ? sin ? ? (A) ?

7 12

1 1 , cos ? ? cos ? ? , 则 cos(? ? ? ) 值等于( 2 3 17 59 109 ( B) ? (C) ? (D) ? 18 72 72


3、 1 ? cos2 ? 1 ? cos2 等于(

(A) 2(cos1 ? sin 1) (B) 2 (cos1 ? sin 1) (C)2cos1 (D) 2 (cos1 ? sin 1) 4、已知

1 ? sin ? ? cos ? 1 ? , 则 cosθ 的值等于( 1 ? sin ? ? cos ? 2
3 5
(B) ?



(A)

3 5

(C) ?

5 5


(D)

4 5

60 ? ? ( ? A ? ), 则 tan A 的值等于( 169 4 2 3 4 5 (A) (B) (C) 4 3 12 ? 5 ? cos2 x , 且 0 ? x ? ,则 6、 cos( ? x) ? 等于( ? 4 13 4 sin( ? x) 4 13 12 24 (A) (B) (C) 24 13 13
5、若 sin A ? cos A ? 7、已知 tan? ? 2, tan ? ? 3,? , ? 为锐角,则 ? ? ? 值是(

(D) )

12 5

(D) ) (D)

13 12

3? 2? (C) 4 3 1 1 2 8、已知 tan ? ? ,则 cos ? ? sin 2? ? ( ) 3 2 6 4 4 (A) ? (B) ? (C) 5 5 5
(A) (B) 9、设 ? , ? , ? ? ? 0, 于( )

? 4

5? 6

(D)

6 5

? ?

??

? ,且 sin ? ?sin ? ?sin ? , cos ? ? cos ? ? cos ? ,则 ? ? ? 等 2?

(A) ?

?
3

(B)

? 6

(C)

? ? 或? 3 3

(D)

? 3

10 、 设

2 0 a ? c o 0s 5 0 ? c o s 10 2 7, 0 bc ssin4 0? cos56 c o 0 ?s , 3 7 ? o ? 560 2

c?

1 1 ? tan 2 390 0 2 0 , d ? ? cos80 ? 2 cos 50 ? 1? ,则 a , b , c , d 的大小关系为( ) 2 0 2 1 ? tan 39

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(A) a ? b ? d ? c
2

(B) b ? a ? d ? c

(C) a ? c ? b ? d

(D) c ? a ? b ? d

11、函数 f ( x) ? cos ( x ?

?
12

) ? sin 2 ( x ?

?
12

) ? 1 是(



(A)周期为 2? 的奇函数 (C) 周期为 ? 的奇函数
2

(B)周期为 2? 的偶函数 (D)周期为 ? 的偶函数

12 、已知函数 f(x)=2asin x - 2 5,1],则 a、b 的值为 ( A.a=2, b=-5 D.a=1,b=-2 13、函数 y ? sin( x ? )

3 sinxcosx+a+b(a<0) 的定义域是 [0,

? ], 值域为 [ - 2
b=1

B.a=-2,b=2

C . a= - 2,

?
6

) cos x 的最小值 ________ 。 1 ,则 cos 4? = ________ 。 3

14、已知 sin ? ? cos ? ?

15、函数 y ? sin( x ? 150 ) ? 2 cos( x ? 600 ) 的最大值 ________ 。 16、已知 y ? sin x ? cos x ,给出以下四个命题: ① 若 x ??0, ? ? ,则 y ? ?1, 2 ? ;

?

?

② 直线 x ?

?
4

是函数 y ? sin x ? cos x 图象的一条对称轴;

③ 在区间 ? , 上函数 y ? sin x ? cos x 是增函数; ?4 4 ? ? ④ 函数 y ? sin x ? cos x 的图象可由 y ? 其中正确命题的序号为 ____________ 。

? ? 5? ?

2 cos x 的图象向右平移

? 个单位而得到, 4

17 若

1 ? cos x 1 ? cos x 2 , ? ?? 1 ? cos x 1 ? cos x tan x

求角 x 的取值范围.

18 已知 cos(x+

sin 2 x ? 2 sin 2 x ? 3 5 7 )= , ? <x< ? ,求 的值。 4 5 4 4 1 ? tan x

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19 将一块圆心角为 60°,半径为 20cm 的扇形铁电裁成一个矩形,求裁得矩形的最大面积.

20.已知 0 ? x ? (Ⅰ)若 tg

?
2

? y ? ?且 sin(x ? y) ?

5 13

x 1 ? , 分别求 cos x及 cos y 的值; 2 2

(Ⅱ)试比较 sin y与sin(x ? y) 的大小,并说明理由.

21 、 已 知 sin

x x 2 、 cos 是 y 的 方 程 y ? p y? q? 0 的两个实根,设函数 4 4 x f ( x) ? p 2 ? 2( 3 ? 1)q ? 2 cos 2 ,试问(1)求 f ( x) 的最值; (2) f ( x ) 的图象可由正弦 4

曲线 y ? sin x 经过怎样的变换而得到; (3)求 f ( x ) 的单增区间。

必修 4 1. cos600 的值是 A.
?

必修 4 综合检测 ( B.- )

1 3 3 C. D.- 2 2 2 2.如图, 向量 OA =a, AB =b, | AC | = | AB | ,则向量 OC
( ) A. a+b C. b-a B. a-b D. 不确定

1 2

等于

? 3.把函数 y=sin(2x+ ? )的图像上各点的横坐标变为原来的 1 , 再把所得图像向右平移 , 8 3 3 则所得图像的周期和初相分别为 ( )
A.3π , 4. sin(

3? ??) ? ( ) 2 A. cos? B. sin ? C. ? sin ? 5.对于 ? ? R ,下列等式中恒成立的是

? 4

B.

? 13? , 3 12

C.

? 5? ,? 3 12
D. ? cos?

D.3π ,

5? 12

(

)

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A. sin(2? ? ? ) ? sin ? C. cos(? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) 6.函数 y ? 2 sin( A. [0, B. cos(?? ) ? ? cos?

? ? ? ) ? tan(2? ? ? ) D. tan(
( D. [ )

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是
B. [

?
3

]

?
12

,

7.函数 y ? tan(

且x ? 0) 的值域是 ( ) 4 4 A. [?1, 1] B. (??, ? 1] ? [1,??) C. (??, 1) D. [?1, ? ?) 1 ? sin x 1 cos x ? ? ,则 8.已知 的值是 ( ) cos x 2 sin x ? 1 1 1 A. B.- C.2 D.-2 2 2 2? 2? , cos 9.已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin ) ,则角 ? 的最小正值为( 3 3 5? 2? 5? 11? A、 B、 C、 D、 6 3 3 6 2
10.设 cos100 =k,则 tan80 是 A、
0 0

?

? x) (?

?

7? ] 12 ?x?

C. [

?
3

,

?

5? ] 6

5? , ?] 6

).

( C、 ?

) D、 ?

1? k2 k

B、

? 1? k2 k

1? k2 k

k 1? k2


11.若函数 f ( x) ? A sin(x ? ? ) (A>0,ω >0)在 x ? A. f ( x ? C. f ( x ?

?
4

处取最大值,则 (

?
2

) 一定是奇函数 ) 一定是奇函数

B. f ( x ? D. f ( x ?

? ?
4 4

) 一定是偶函数 ) 一定是偶函数

?
2

12.O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP ? OA ? ? (

AB | AB |

?

AC | AC |

), ? ? [0,?? ) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 (
(D)垂心

)

(A)外心 (B)内心 (C)重心 13.已知 tan? ? 2, 则 sin ? (cos? ? sin ? ) ? _______. 14.若 cos ? ? ?

1 ,则角 ? 的取值集合为____________. 2 15.已知函数 f ( x) ?| sin 2 x | ,则使 f ( x ? 2c) ? f ( x) 恒成立的最小正数 c 为
16.函数 f ( x) ? ? tan( x ?

.

?
3

) ? 1 的定义域为____________.

17.若 tan? ? ? tan? ,则角 ? 的终边的位置在_______________. 18.若 f ( x) ? sin( x ?

?

? 3? 3? ) ? 2 sin( x ? ) ? 4 cos 2 x ? 3 sin( x ? ) ,则 f ( ) ? ___ 4 4 4 4

19.求函数 y ? 16 ? x 2 ? sin x 的定义域.

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20.已知 sin( x ?

5? 1 7? ? ) ? ,求 sin( ? x) ? sin 2 ( ? x) 的值. 12 4 12 12

21.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的位移 s (厘米)与摆动时间 t (秒)的函数关系 为: s ? 6 sin( 2?t ?

?

6

)

(I)作出它的图像(一个周期区间); (II)单摆开始摆动 (t ? 0) 时,离开平衡位置多少厘米? (III)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少厘米?

22.已知: 函数 y=Asin( ? x+ ? )+c(A>0,

? >0, ? <

? )在同一周期中最高点坐标为 (2, 2) , 2

最低点的坐标为(8,—4) ,求函数解析式.

参考答案 第 1 章 三角函数 §1.1 任意角的概念、弧度制 0 0 0 0 经典例题:解: (1)S={β |β =60 +k?360 ,k∈Z}S 中适合-360 ≤β <720 的元素是 60 +(-1)?360 =-300 60 +0?360 =60 60 +1?360 =420 . 0 0 0 0 (2)S={β |β =-21 +k?360 ,k∈Z} S 中适合-360 ≤β <720 的元素是 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -21 +0?360 =-21 -21 +1?360 =339 -21 +2?360 =699 0 , 0 0 0 (3)S={β |β =363 14 +k?360 ,k∈Z} S 中适合-360 ≤β <720 的元素是 0 , 0 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 0 , 363 14 + (-2) ?360 =-356 46 363 14 + (-1) ?360 =3 14 363 14 +0?360 =363 14 当堂练习: 1.B; 2.C; 3.B; 4.D; 5.A; 6.D; 7.C; 8.B; 9.A; 10.A; 11.D; 12.B; 13. 三; 14. (?? , ? ) ;
2 15. (? 3 ? ,?? ) ? ( ? ,2] ; 16. C ; 2 2 16 17. (1) {? | 45? ? k ?135? ? ? ? 90? ? k ?135?

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6

k ? Z} ; (2) {? | k ? 90? ? ? ? 45? ? k ? 90? ; k ? Z} ; (3) {? | ?120? ? k ? 360? ? ? ? 150? ? k ? 360? k ? Z} .

18. (1)设文字长、宽为 l 米,则 l ? 10? ? 10 ? 0.001454? 0.01454 (m) ; (2)设人离开字牌 x 米,则 x ? l ?
2 0.4 ? 275 (m) . 0.001454

19. ? ? 20 ? 2, r

S?

1 ? ? ? r 2 ? 10 r ? r 2 ,当 r ? 5,? ? 2 时, S max ? 25(cm2 ) . 2

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x 15 ? 4 ? 2? ? 50 ? 100 ,? x ? (秒) . 60 ? 21. S ? {? | ? ? k ? 360? ? 1350 ?或? ? k ? 360? k ? Z} .
20.设需 x 秒上升 100cm .则 §1.2.1-2 任意角的三角函数值、同角三角函数的关系 经典例题:假设存在这样的实数 m,.则

? ?? ? 36m 2 ? 32(2m ? 1) ? 0, ? 10 3 ? 又 (? 3 m) 2 ? 2 ? 2m ? 1 ? 1 ,解之 m=2 或 m= ? . ?sin ? ? cos? ? ? m, 9 4 8 4 ? 2m ? 1 ? sin ? ? cos? ? ? 0, ? 8 ?
而 2 和?

10 不满足上式. 故这样的 m 不存在. 9

当堂练习: 1.C; 2.B; 3.D; 4.D; 5.C; 6.C; 7.C; 8.C; 9.B; 10.C; 11.A; 12.C; 13. ?

2 3? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? 6,? ? ? ? ? , ? ? ? ,6? ; 15. ; 16. 1; ? 5 2 ? ? 2 2? ? 2 ? ?
? 17.由已知 ? ? a ? sin ? ? cos? , x ? ? x ? sin ? ? cos? , ?b ?

3 ; 14. 2



x x ( )2 ? ( )2 ? 2 . a b

18.左 ? | 1 ? cos x | ? | 1 ? cos x | ? 2 cos x =右, | sin x | | sin x | | sin x |
? 2 cos x 2 cos x ?? , sin x ? 0,2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2? | sin x | sin x (k ? Z ).

19.由已知 P( a,?b), Q(b, a) , sin ? ?
a2 ? b2 a2 ? b2 , , csc ? ? a a
2 2

?b a2 ? b2

, sec ? ?

a2 ? b2 b b , tan ? ? ? , cot ? ? , b a a

sec ? ?
4

2 2 2 故原式=-1- b ? a ? b ? 0 . 2 2

a

a

20. 2 cos ? ? 5 cos ? ? 7 ? 2 ? 4 sin ? ? 2 sin ? ? 5 ? 5sin ? ? 7 ? 2 sin ? ? 9 sin ? ,
4 2 4 2

故 a ? 2, b ? ?9, c ? 0 . 21.设 ? ? ? ?

?
2

? 2k? ,

k ? Z , 则 sin ? ? cos? ,

?? ? (?6k ) 2 ? 4 ? 8(2k ? 1) ? 0, ? 3 ? 由 ? x1 ? x 2 ? sin ? ? cos? ? 4 k , ? ? x ? x ? sin ? ? cos? ? 2k ? 1 , ? 1 2 8 ? 2 2 2 2 ? x1 ? x 2 ? sin ? ? cos ? ? 1,

解知 k ? ?

10 , 9

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§1.2.3 三角函数的诱导公式 经典例题: S 2002 ? (a1 ? a5 ? ? ? a2001 ) ? (a2 ? a6 ? ? ? a2002 ) ? (a3 ? a7 ? ? ? a1999 ) ? (a4 ? a8 ? ? ? a2000 ) = (? 3 )(1 ? 5 ?
2 1 ? 2001) ? (? )(2 ? 6 ? 2 ? 2002) ? ( 3 2 )(3 ? 7 ? 1 ? 1999) ? ( )(4 ? 8 ? 2 ? 2000)

1 = ? (1002 ? 1001 3). 2 当堂练习:
1.C; 2.B; 3.B; 4.C; 5.C; 6.A; 7.C; 8.C; 9.C; 10.B; 11.B; 12.C; 13. ? 2 ? 6 ; 14. 0; 15. 1; 16. -1; 17. g ( ) ?

1 4

2 , 2

5 3 1 2 g( ) ? ? 1, f ( ) ? sin(? ? ) ? 1, 6 2 3 3

3 ? f ( ) ? sin( ? ) ? 1, 故原式=3. 4 4
18.由已知 x ? y ?

?

2

? 2k? (k ? Z ) ,

tan(2 x ? y) ? tan y ? tan( ? ? y) ? tan y ? ? tan y ? tan y ? 0 .
19.由 ?

? tan ? ? cot ? ? k ,
2 ? tan ? ? cot ? ? k ? 3,

知原式= 2 .

20. (1)? f (tanx) ? cot 3x ? cos3x ,

? f (cot x) ? f (tan(
(2) f (?

?
2

? x) ? tan 3x ? sin 3x .

3 ? ? ? ) ? f [tan( ? )] ? cot(? ) ? cos(? ) ? 0 . 3 6 2 2

21. (1)由已知等式

f (? sin x) ? 3 f (sin x) ? 4sin x cos x


① ②

f (sin x) ? 3 f (? sin x) ? ?4 sin x cos x

由3 ? ①-②,得 8 f (sin x) ? 16sin x ? cos x , 故 f ( x) ? 2 x 1 ? x 2 . (2)对 0 ? x ? 1 ,将函数 f ( x) ? 2 x 1 ? x 2 的解析式变形,得

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f ( x) ? 2 x 2 (1 ? x 2 ) ? 2 ? x4 ? x2
1 2 1 , 4

= 2 ?( x ? ) ?
2 2

当x?

2 时, f max ? 1. 2

§1.3.1-2 三角函数的周期性、三角函数的图象和性质 经典例题: (1) p ? ?t 2 ?t ? 1 ; (2) t ? [?1, 2), 当t ? ?1时, Pmin ? ?1, t ? 当堂练习: 1.B; 2.B; 3.D; 4.C; 5.B; 6.A; 7.C; 8.A; 9.B; 10.C; 11.C; 12.A; 13. π /4; 14. ( ) ;

1 5 时,Pmax ? . 2 4
1 2

34

x ? 2(0 ? x ? 2? ) ; 16. [?4,?? ) ? (0, ? ) ; 2 x 17. y ? ?2? ? 2 arcsin (?2 ? x ? 0) . 2
15. f
?1

( x) ? cos

18. (1)20°; (2) y ? 10 sin(

?
8
2

x ? ? ) ? 20 .

19. y ? (tan x ? 1) ? 1.当x ? ?

?
4

时y min ? 1, 当x ?
3

?
4

时, y max ? 5 .

20. (1)当 a>0 时, f ( x) ? ? sin( 2 x ? ? ) (2)当 a<0 时, f ( x ) ? sin( 2 x ?

在[k? ?

5 ? ? 7 ? , k? ? ] ?, 在[k? ? , k? ? ? ] ? ; 12 12 12 12

?

3 12 2k ? 1 ? 2? , 即2k ? 1 ? 10? ,2k ? 10? ? 1 , 21.由题设 5 10? ? 1 ?k ? ,又k ? N . ? K min ? 17 . 2

) 在[k? ? ? ? , k? ? 5 ] ?, 在[ k? ? 5 , k? ? 11 ? ] ? .
12 12 12

§1.3.3 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象和性质 经典例题: (1) I ? 300 sin(100?t ? (2) ? ? 629 .

?
3

).

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当堂练习: 1.B; 2.C; 3.C; 4.C; 5.D; 6.B; 7.C; 8.D; 9.C; 10.D; 11.B; 12.B; 13. 26、27、28; 14. 1/2; 15. 2π x-π ; 16. 17. (1)T=π ; (2) [k? ? 区间;

3 ; 2
5 5 11 ? ]为f ( x) 的单增区间, [k? ? ? , k? ? ? ]为f ( x) 的单减 12 12 12

?
12

, k? ?

k? ? ? , k ? Z. 2 6 x ? k? ? ? , 0), (k ? Z ). 18. y ? 2 sin( ? ) ,对称中心为 ( 2 6 2 6
(3)对称轴为 x ? 19. (1)a=0; (2)a=-1. 20. f ( x) ? ?2a cos( 2 x ?

?
3

) ? 2a ? b .

?3a ? b ? 1, 当a ? 0时,? ?b ? ?5, ?3a ? b ? ?5, 当a ? 0时,? ?b ? 1,
故 a、b 的值为 ? 21. k? ?

?a ? 2, 解之 ? ?b ? ?5; ?a ? ?2, 解之 ? ?b ? 1.

?a ? 2, ?a ? ?2, 或? ?b ? ?5, ?b ? 1.
6 , k ? Z.
§1.3.4 三角函数的应用

?
6

? ? ? k? ?

?

经典例题:

2? 2? ? ? ? .由 t ? 0, y ? 1.5 ,得 A ? b ? 1.5 T 12 6 1 1 ①,由 t ? 3, y ? 1.0 ,得 b ? 1.0 ②.由①②联立解得 A ? , b ? 1 ,∴振幅为 ,函数表达式 2 2 1 ?? ?? 为 y ? sin ? t ? ? ? 1 . 2 ?6 2?
解:(1)由表中数据,知周期 T ? 12 . ∴ ? ? (2)由题意知,当 y>1 时才可对冲浪者开放.由 ∴ 2k? ?

1 ?? ?? ?? ? sin? t ? ? ? 1 ? 1 得 cos? t ? ? 0 , 2 ?6 2? ?6 ?

?
2

?

?
6

t ? 2k? ?

?
2

,即 12k ? 3 ? t ? 12k ? 3?k ? Z ? ③.∵ 0 ? t ? 24 ,∴可令③

中 k 分别为 0,1,2 ,得 0 ? t ? 3 或 9 ? t ? 15 或 21 ? t ? 24 .∴在规定时间上午 8 : 00 到晚上

20 : 00 之间,有 6 个小时可供冲浪者运动,即上午 9 : 00 到下午 15 : 00 .
当堂练习:

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1.B; 2.B; 3.B; 4.C; 5.B; 6.C; 7.60, 60 ? 20 3 ; 8. 20 3 ; 9. 11. 解:∵ A ? 2 , T ?

3 ; 10.150m;

2?

?

?

? ? k? ?

5? ? ,∵ ? ? ? , ∴ ? ? . 3 3 5? 2? 若 k ? 2n ? 1, n ? Z ,则 ? ? 2n? ? ? ? ,∵ ? ? ? , ∴ ? ? ? . 3 3 2? ? ?? ? ? 故所求解析式为 y ? 2 sin? 3x ? ? 或 y ? 2 sin ? 3x ? ?. 3 ? 3? ? ? 0 12. 解:( I)如图示, 这段时间的最大温差是 30 ? 20 ? 10 ( C); (II)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y ? A sin??t ? ? ? ? b 的半个周期的图象. 1 2? ? 1 1 ? ? 14 ? 6 ,解得 ? ? ,如图示, A ? ?30 ? 10 ? ? 10 , b ? ?30 ? 10 ? ? 20 .这时 2 ? 8 2 2 3? ?? ? 函数解析式为 y ? 10sin ? t ? ? ? ? 20 .将 t ? 6 , y ? 10 代入上式,可取 ? ? ,综上,所 4 ?8 ? 3? ? ?? 求的解析式为: y ? 10sin? t ? ? ? 20 ?x ? ?6,14??. 4 ? ?8
若 k ? 2n, n ? Z ,则 ? ? 2n? ? 13. 解:题中条件可化为 2 sin ? x ?

5? ,k ? Z . 9

2? ? 5? ? ,∴ ? ? 3 ,又 sin ? 3 ? ? ? ? ? 0 ,∴ 3 9 ? ?

? ?

??

??m 4?

?? ? ? x ? ? ? ,作出函数

?? ? f ?x ? ? 2 sin? x ? ? ?? ? ? x ? ? ? 及函数 4? ? y ? m 的图象.
(1)当 ? 2 ? m ? 2 时,直线 y ? m 与 f ?x ? 的 图象有交点,即满足条件的 x 的值存在.

(2)当 m ? ? 2 时,直线 y ? m 与 f ?x ? 的图象有 且只有一个交点,即满足条件的 x 的值有且只有 一个. (3)当 ? 2 ? m ? 1 或 1 ? m ? 2 时,直线 y ? m 与 f ?x ? 的图象有二个交点,即满足条件的 x 有两个不同的值. (4)当 m ? 1 时,直线 y ? m 与 f ?x ? 的图象有三个交点,即满足条件的 x 有三个不同的值.; 14. 剖析:欲使表盘看得最清楚,人眼 A 距表盘的水平距离 AD 应使视角φ 最大. 解:CD=2-1.2=0.8, 设 AD=x, 则 tanα =

BD 1 ? 0.8 1 .8 CD 0 .8 = = ,tanβ = = . AD x x AD x

因为 tanφ =tan(α -β )=

tan? ? tan ? , 1 ? tan? tan ?

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1.8 0.8 ? 1 x = 所以 tanφ = x 1.44 1.8 0.8 x? 1? ? x x x


1 2 x? 1.44 x

=

1 , 2 .4

所以当 x=

1.44 1 ,即 x=1.2 时,tanφ 达到最大值 . x 2 .4

因为φ 是锐角,所以 tanφ 最大,φ 也最大. 所以值班人员看表盘最清楚的位置为 AD=1.2 m. §1.4 三角函数单元测试 1.A; 2.B; 3.B; 4.D; 5.B; 6.D; 7.D; 8.B; 9.B; 10.C; 11.D; 12.B; 13. -1; 14. a ⊥ b ; 15. cos 3 x ? sin 2 x ; 16. (1) 、 (2) 、 (3);
0 0 0 0 0 2sin 500 ? 2cos500 17、解: 原式= 2sin 50 ? cos10 ? 3 sin10 ? 2sin 50 ? 2sin 40 ? 2 cos50 2 cos50 2 cos50

?

2 2 sin ? 500 ? 450 ? 2 cos 50

?

2 2 sin 950 2 2 cos 50 ? ?2 2 cos 50 2 cos 50
∴ sin ? ?

3 ? ?且 18、 解: ∵? ?? ? ,? ? tan ? ? ? 4 ?2 ?


3 4 ? ?, ? ? ? , cos ? ? ? ; ∵? ?? ? ,? ? ? ? ? 0, ? 5 5 ?2 ? ? 2?
又 ∵
c o? ? s? ( ? 5 13 )

?? ? ?? ? ? ??, ? ? 2? ?
2



? ? ? ? ? ??,0?



12 ?5? sin( ? ? ? ) ? 1 ? ? ? ? ? 13 ? 13 ?

4 ? 5 3 63 ∴ sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin( ? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? ? 12 ? ? ?? ?? ? ? ? ? 13 ? 5 ? 13 5 65 1 19、解: (1)①∵ sin 2 x ? ? 0, 2? , 2x ??2k?,? ? 2k? ?? k ? Z ? 1? ∴ sin 2x ? ? 0, 2

?? ?? ∴ f ? x ? 定义域为 ? ②∵ x ? ? , ? ? k? , k? ? ? , ? k ? Z ? 时, sin 2x ? ? 01 ? k? , k? ? ? , ? k ? Z ? 2? 2? ? ? 1? ?1 ? ∴ 1 sin 2 x ? ? 即 f ? x ? 值 域 为 ?1, ?? ? ③ 设 ? ?? ? 0, ? ∴ log 1 ? sin 2 x ? ? ?1, 2 2 ? 2? ? ? 2

1 1? , t ?? t ? s i n x2 0, ? 则 y ? log 1 t ;∵ y ? log 1 t 单减 ∴为使 f ? x ? 单增,则只需取 ? 2 ? 2? 2 2
1 1? ?? ? t ? sin 2 x , t ? ? ? ? Z ? 0, ? 的 单 减 区 间 , ∴ 2 x ? ? ? 2k?, ? ? 2k?? ? k 2 ?2 ? ? 2?
故 f ? x? 在

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? ?? ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? 上是增函数。 ? 4 2? ?
?? (2)∵ f ? x ? 定义域为 ? 不关于原点对称,∴ f ? x ? 既不是奇函数也 ? k? , k? ? ? , ? k ? Z ?
? 2?

不是偶函数。 (3)∵ log ? 1 sin 2 ? x ? ? ?? ? log ? 1 sin 2 x ? ∴ f ? x ? 是周期函数,周期 T ? ? . 1 ? 1 ? ? ?
2

?2

?

2

?2

?

20、解:∵

? ? x ? ?? ? sin x ? cos ?2( ? ) ? sin x ? cos ? ? x ? x 4 2 ? 2 ? ? ? ? 3 sin x ? 2sin x ? 3 sin x f ( x) ? ? 3 sin ? x x 2 2 4sin x 2 4sin 4sin 2 2 2

x x x ? 4sin cos x x x ? 2 sin( ? ) 2 2 ? ? 3 sin ? cos ? 3 sin 2 6 x 2 2 2 4sin 2

x ? ? 2? x ? ∴由 sin( ? ) max ? 1 得 ? ? 2k? ? 即 x ? 4k? ? (k ? Z ) 时, f ( x) max ? 2 . 2 6 2 3 2 6
故 f ( x ) 取得最大值时 x 的集合为: ?x x ? 4k? ?

2? (k ? Z )} 3

21、 解: (1)∵ f ? x ? ? a sin ? x ? b cos ? x ? a 2 ? b 2 sin(? x ? ? ) , 又周期 T ? 2? ? ? ∴ ? ? 2 ? ∵对一切 x ? R,都有 f(x) ? f ( ? ) ? 4
12

∴?

?

a 2 ? b2 ? 4

? ? ? ?a sin ? b cos ? 2 6 6 ?

? 解得: ? ?

a?2

?b ? 2 3 ?

∴ f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? 2sin ? x ? 2 3 cos ? x (2) ∵
g ? x? ? f (

?
6

?? 2? 2? ? ? ? x) ? 4sin ? 2( ? x) ? ? ? 4sin(?2 x ? ) ? ?4sin(2 x ? ) 3? 3 3 ? 6

2? ) 的减区间 ∴由 2k? ? ? ? 2 x ? 2? ? 2k? ? 3? 3 2 3 2 7? 13? 5 ? ? 得 g(x)的增区间为 [k? ? , k? ? ] (k ? Z ) (等价于 [k? ? , k? ? ].
∴g(x)的增区间是函数 y=sin ( 2 x ?
12 12
12 12

22 、 解 : ①

∵ ?

?1 ? sin x ? 0 ∴ ?1 ? sin x ? 0

f ? x? 的 定 义 域 为 R ②



f ? ? x ? ? 1 ? sin ? ? x ? ? 1 ? sin ? ? x ? ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ? f ? x ? ∴f(x)为偶函数;
③ ∵f(x+ ? )=f(x), ∴f(x)是周期为 ? 的周期函数; ④
x x? x x? x x x x ∴ 当 ? ∵ f ( x) ? ? ? sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ?| sin ? cos | ? | sin ? cos | 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ?
2 2

? ? x x x ? [ 0 , 时 ]f ? x ? ? 2 cos ;当 x ? [ ,? ] 时 f ? x ? ? 2sin 2 2 2 2

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? x (或当 x ? [0, ] 时 f(x)= ( 1 ? sin x ? 1 ? sin x ) 2 ? 2 ? 2 | cos x | ? 2 cos ) 2 2
∴当 x ? [0, ] 时 f ? x ? 单减;当 x ? [ ,? ] 时 f ? x ? 单增; 2 2 函数 ∴f(x)的单调性为:在 [k? ?

?

?

又∵ f ? x ? 是周期为 ? 的偶

?
2

? , k? ? ? ] 上单增,在 [ k? , k? ? ] 上单减。
2

? ? x ⑤ ∵当 x ? [0, ] 时 f ? x ? ? 2 cos x ? ? 2, ;当 x ? [ ,? ] 时 f ? x ? ? 2sin ? ? 2, ∴ 2? 2? ? ? 2 2 2 ? 2 ?
f ? x ? 的值域为: [

2 ,2]

⑥由以上性质可得: f ? x ? 在 ? ??,? ? 上的图象如上图所示:

第 3 章 三角恒等变换 §3.1 两角和与差的三角函数 经典例题: 由题设 B=60°,A+C=120°,设 ? ?
1 1 ? ? cos A cos C cos? cos2 ? ? 3 4

A?C 知 A=60°+α , C=60°-α , 2
2 故 cos A ? C ? 2 . 2 2 2

? ?2 2 , 即 cos? ?

当堂练习: 1.C; 2.A; 3.D; 4.D; 5.B; 6.C; 7.C; 8.B; 9.B; 10.D; 11.B; 12.A; 13. m; 14.

? ; 15. 3

? 2 ? 3 ; 16.
4

[?

14 14 ; , ] 2 2

17.原式= sin( ? ? 3x) cos( ? ? 3x) ? sin( ? ? 3x) cos( ? ? 3x) = 2 ? 6 .
3 3 4
4

18. x ?

1 2 sin 50? ? (? 2 sin 50? ) 2 ? 4(sin 2 50? ? ) 2 ? sin(50? ? 45? ) , 2

? x1 ? sin95 ? cos5 ,

x2 ? sin5 ? cos85 ,

tan(? ? 2? ) ? tan75? ? 2 ? 3 .
19.证: 左 ?

sin(x ? y) sin(x ? y) sin[(x ? y) ? ( x ? y)] ? ? 2 cos(x ? y) cos(x ? y) cos x ? cos2 y ? sin 2 x ? sin 2 y sin 2 x sin 2 x ? ? ? 右. 2 2 2 2 2 cos x ? (cos x ? sin x) sin y cos x ? sin 2 y

1 3 20. tan ? ? , tan(2? ? ? ) ? 1, 2? ? ? ? ? ? . 3 4 3 x 3 x sin x cos ? cos x sin sin x 2 sin x 2 2 2 2? 21.左= ? ? 右. 3 x 3 x cos x ? cos 2 x cos x ? cos cos x ? cos 2 2 2 2

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§3.2 二倍角的三角函数 经典例题: (I) f ( x) ? ?2 csc x, 且x ? 2k? ? (II)存在,此时 x ? 2k? ? 当堂练习: 1.A; 2.A; 3.A; 4.C; 5.B; 6.C; 7.A; 8.D; 9.D; 10.B; 11.B; 12.C; 13.

?
2

(k ? Z ) ;

3 ? (k ? Z ) . 2 1 3 ; 14. ; 15. 2 7

?

3 ; 16. ? 2 ; 4

17.由已知 ? ? ? ? ? ? ? , 又 cos(? ? ? ) ? ? 1 故 sin(? ? ? ) ? 4 5 , 4 2 2 9 2 9

? 1 ??? ? ? 7 5 同理 cos( ? ? ) ? , 5 , 故 cos ? cos[( ? ? ) ? ( ? ? )] ? 2 3 2 2 2 27 ??? 239 故 cos(? ? ? ) ? 2 cos 2 . ?1 ? ? 2 729
? 1 3 3 18. y ? ?2[sin( x ? ) ? ]2 ? , ? ymax ? , 6 2 2 2
19. 左 ?

ymin ? ?

1 . 2

1 1 1 cos 4 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? 2 cos 2 2 x ? cos 3 2 x ? 右. 2 2 2

20.原式= ? 3 ? 1 (2 cos 60 ? cos 20 ? ? cos 20 ? ) ? ? 3 . 4 2 4
2 21. f (? ) ? ? 1 ? 2 cos? ? 4 cos ? ? 1 ? 2 cos2 ? ? cos? ? 1 . 2 2

§3.3 几个三角恒等式 经典例题:

分 析 : 如 图 , 由 已 知 得

? OAB= ? , ? OBA= ? , ? ? ? = 45 ? ,周
长 l =2(x+y+z),本题目的是要证明,当 l 取最小值时 ? = ? ,故要找出变量 x,y 与已知 r ,以及角 ? 、 ? 的三角函数之 间的关系,并且利用 ? ? ? = 45 ? ,写出 角或角的三角函数表示 l 的函数式,再通过恒等变形,变换成能够求得最小的函数式。 解:如图,设 ? OAB= ? , ? OBA= ? ,AF=AD=x,BE=BD=y,

? ? C= 90 ? ,圆 O 为 ? ABC 内切圆圆心,? 2 ? = 90 ? ? 2? ,即

? ? ? = 45 ? , ? ? ? =2 ? - 45 ? .

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? x=rcot ? ,y=rcot ? ,设 ? ABC 周长为 l ,
则 l =2(x+y+z)=2r(cot ? ? cot ? ? 1)=2r(

sin(? ? ? ) cos ? cos ? + +1)=2r[ ? 1] sin ? sin ? sin ? sin ?

? ? ? ? sin 45 ? 2 ? ? =2r ? ? 1? =2r[ ?1 ] 1 2 ? ? ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? ? cos(2? ? 45?) ? ? ? ? 2 ? 2
若 l 取最小值,则 cos(2 ? ? 45? ) ? 当堂练习:

2 最大,即 2 ? = 45 ? , ? ABC 为等腰直角三角形。 2

sin
1. 解:原式=

?
7

(cos

2? 4? 6? ? cos ? cos ) 7 7 7 sin

?

sin
=

?
7

cos

2? ? 4? ? 6? ? sin cos ? sin cos 7 7 7 7 7 sin

7

?

1 3? ? 1 5? 3? 1 7? 5? (sin ? sin ) ? (sin ? sin ) ? (sin ? sin ) 7 7 2 7 7 2 7 7 =- 1 =2 ? 2 sin 7
2. 分析:等式左边是两个正切值,右边是余弦、正弦的分式,左边是半角

7

3x x 与 ,右边 2 2

2 x .若从右向左证,需进行单角变半角,而分母可进行和化积,关键是分子 是单角 x和倍角
的变化,仍从角入手,将 x 写成 同时还要考虑变半角为单角。

3x x - ,再用两角差公式,而从左向右证,需进行切变弦, 2 2

3x x 3x x 3x x 3x x sin sin cos ? cos sin sin( ? ) 2 2= 2 2 2 2= 2 2 证法一:左边= 3x x 1 3x x cos cos (cos2 x ? cos x) cos cos 2 2 2 2 2 2 sin x = =右边 ? 原等式成立。 cos x ? cos 2 x 3x x 3x x 3x x 3x x 2 sin( ? ) sin cos ? cos sin sin sin 2 2 = 2 2 2 2= 2 2 证法二:右边= 3x x 3x x 3x x cos cos 2 cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 3x x = tan -tan =右边。? 原等式成立。 2 2 sin

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点评:证法一是从左边到右边,通过化弦,运用两角差的公式及积化和差的公式直达目标;
而证法二从右边出发,将 x 写成 3. 解:∵

2 sin ? ? cos ? ? ?5 ∴cos ? ? 0 (否则 2 = ? 5 ) sin ? ? 3 cos ? 2 tan ? ? 1 ? ?5 ∴ 解之得:tan ? = 2 tan ? ? 3
∴原式 ?

3x x - ,再用两角差的公式,向左边推进. 2 2

3(1 ? tan2 ?) 4 ? 2 tan? 3(1 ? 2 2 ) 4 ? 2 ? 2 7 ? ? ? ? 5 1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ? 1 ? 22 1 ? 22
2sin

?
2

cos

?
2

? sin 2

?
2

? cos
2

2

?
2

4. 证明:∵左边=

1 ? 2sin

?
2

cos

?
2

? 2 cos

?
2

?1

?

2 tan

?
2

? tan 2

?
2

?1

2 tan


?
2

=?

(tan

?
2

? 1) 2 ? 1)

?2

2(tan

?
2

=?

1 ? 1 tan ? ? 右边 2 2 2

sin ? ? 1 1 ? 1 ? tan ? 1 ? sin ? ? cos ? 2 2 2

b 2b 1 ? ( )2 1 ? tan ? 2 tan ? a ?b a ?b ?a 5. 证明: ∵左边= a 2 b b 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? ( )2 1 ? ( )2 a a
2

=

a(a 2 ? b 2 ) ? b(2ab) a(a 2 ? b 2 ) ? a =右边 = a 2 ? b2 a 2 ? b2

∴ a cos 2? ? b sin 2? ? a 6. 证明:∵ x ? 2 tan

?
2

? x tan

2 ?

2

?0∴x?

2 tan 1 ? tan

?
2 ? sin ?
2

?

2

∵ y ? 1 ? tan

2

?
2

? y tan 2

?
2

? 0∴ y ?

1 ? tan 2 1 ? tan 2

? ?
2 = cos? 2

cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2sin 2 ? = x2 ? y 2 ? 2sin 2 ?
∴ cos 2? ? x ? y ? 2sin
2 2 2

?

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§3.4 三角恒等变换单元测试 1.B; 2.C; 3.B; 4.B; 5.D; 6.C; 7.B; 8.D; 9.A; 10.C; 11.C; 12.C; 13. ? 15. 1; 16. ②④; 17.左 ? | 1 ? cos x | ? | 1 ? cos x | ? 2 cos x =右, | sin x | | sin x | | sin x |
? 2 cos x 2 cos x ?? , sin x ? 0,2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2? | sin x | sin x (k ? Z ).

3 47 ; 14. ? ; 4 81

18 . ?

28 75

19 如图设 ?P0 N ? ? ,则 PN= 20sin ? , MN ? 20 cos? ?

20 3

sin ? ,

SMNPQ= 20sin ? (20 cos? ? 20 sin ? ) ,
3
Q P

当 ? ? 30? 时,

O M N

SMNPQ 取最大值

200 3 . 3
x 1 ? 2 2 且0 ? x ? ? 2 4

20.解: (Ⅰ)∵ 0 ? x ? ? ? y ? ?
2

tan

∴ cos ?

x 2

2 5

x 1 sin ? 2 5
13 2 2

cos x ? 2 cos2

x 3 ?1 ? 2 5
13

sin x ?

4 5

又 sin(x ? y) ? 5 , ? ? x ? y ? 3?

∴ cos(x ? y) ? ? 12

∴ cos y ? cos[(x ? y) ? x] ? cos(x ? y) cos x ? sin(x ? y) sin x ? ? 12 ? 3 ? 5 ? 4 ? ? 16
13 5 13 5

65

(Ⅱ)∵ 0 ? x ? ?

2

? y ??

,∴ ? ? x ? y ? 3?
2 2

?
2

? y?x? y?

3? 2

又 y ? sin x在[ ? , 3? ] 上为减函数,∴ sin y ? sin(x ? y)
2 2

21、 f ( x ) ? 2sin( ?

x ? 2? 2? ? ? )(1)ymax ? 2, ymin ? ?2(2) 略 (3)? 4k? ? , 4k? ? ,k ?Z 2 6 3 3 ? ? ?
必修 4 综合检测

1.B; 2.B; 3.C; 4.D; 5.D; 6.C; 7.B; 8.A; 9.D; 10.B; 11.D; 12.D; 13.

2 2 ? ? ? ? (2k? ? ? ,2k? ? ? ) ( k?Z ) ; 15. ; 16. ? x | x ? k? ? , k ? Z ? ; 3 3 4 6 ? ?
17. 二、四象限,或 x 轴;18. -1; 19. 解:由题意有

6 ; 14. 5

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?2k? ? x ? 2k? ? ? ? ?? 4 ? x ? 4
当 k ? ?1 时, ?2? ? x ? ?? ; 当 k ? 0 时, 0 ? x ? ? ; 当 k ? 1 时, 2? ? x ? 3? ?函数的定义域是

[ ?4, ? ? ]?[0,? ] 7? ? 5? ? 5? ? x) ? sin 2 ( ? x) ? sin[? ? ( x ? )] ? sin 2 [ ? ( x ? )] 20. 解 sin( 12 12 12 2 12 5? 5? 19 ? sin( x ? ) ? cos 2 ( x ? ) ? 12 12 16
21. 答案: (I)列表、描点、作图

t
2?t ?

?

?
6

1 12
0

2 12

6 sin( 2?t ?

?
6

? 2
6

5 12

?
0

8 12 3 ? 2
-6

11 12
2?
0

)

0

(II)当 t ? 0 时, s ? 6 sin (III) s ? 6 sin( 2?t ?

?
6

? 3 ,即单摆开始摆动时,离开平衡位置 3 厘米.

?
6

) 的振幅为 6,所以单摆摆动最右边时,离开平衡位置 6 厘米.

22. 解:依题意有 ?

? A?c ? 2 ? 得 A=3,c= —1.T=12, ? = 6 ?? A ? c ? ?4

?函数为 y ? 3 sin(

?
6

x ? ? ) ? 1.

? ?? ? 6 ? 2 ? ? ? 2k? ? 2 (k ? z ) ? 3? ?? (k ? z ) 又? 函数的图象过(2,2)及(8,—4)两点,? ? ? 8 ? ? ? 2k? ? 6 2 ? ? ? ? ? ? 2 ?
? 解析式为 y=3sin(
w.w.w.k.s.5.u.c.o.mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?
6

x?

?
6

) ? 1.

===================================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新 版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版

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适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小 四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教学 , 教学研究 , 在线教学 , 在 线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育, 在线教育,中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线 练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料, 课外辅导资料,在线辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析, 课题,复习资料,复习专题,专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库, 测评卷,小学学习资料, 中考学习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷, 期末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷 ===================================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.



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