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2.3.1圆的标准方程


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大连市第十一中学 高一数学备课组

2008年12月16日

?

创设情境

引入新课

乐在其中

一石激起千层浪

福建土楼

奥运五环 小憩片刻

基础知识:

1、圆的定义: 平面内到一定点的距离等于定长的点

的轨迹是



.

你看看我 怎么形成的!

2、圆上点组成的集合: P = { M(x,y) | |MC| = r }

M(x,y)是圆上动点, C是圆心, r是半径 。

知识应用:

圆的标准方程

求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程
解:设M(x,y)是圆上任意一点, 根据圆 y M

的定义,点M到圆心C的 距离等于r,
所以圆C就是集合

r
C x

P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式, O 说明: 1、特点:明确给出了圆心 坐标和半径。 2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。

点M适合的条件可表示为:

(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得: (x-a) 2 + (y-b) 2

= r2

知识点拨:

圆的标准方程

圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程
y

圆的标准方程

M r

(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
圆心坐标C(a,b) 圆的半径 r
O 说明:

C
x

1、特点:明确给出了圆心 坐标和半径。 2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。

圆的标准方程 例题1、根据下列条件,求圆的方程。 (1)圆心在点C(-2,1),并过点A(2,-2); (2)圆心在点C(1,3),并与直线3x-4y-6=0相切; (3)过点 (0,1) 和点 (2,1) , 半径为 5 。

(1) (x+2)2+(y-1)2 = 25

(2) (x-1)2+(y-3)2 = 9
(3) (x-1)2+(y+1)2 = 5 或 (x-1)2+(y-3)2 = 5

圆的标准方程

练习1、(课本P96-B组1#)
求满足下列条件的圆的方程:

(1)已知点A(2,3),B(4,9), 圆以线段AB为直径;
(2)圆心为(0,-3),过(3,1);

(3) 圆心为坐标原点,且与直线4x+2y-1=0相切;
(4)圆过点(0,1)和(0,3),半径等于1;
1 20

(1)

(x-3)2+(y-6)2=10

(3)x2+y2 =

(2)x2+(y+3)2=25

(4) x2+(y-2)2 = 1

例题2、求过点A(6,0),B(1,5), 且圆心 在直线L : 2x-7y+8=0上的圆的方程。

答案: (x-3)2+(y-2)2 = 13

练习2、回答下列圆的圆心坐标和半径:

C1 : x ? y ? 5
2 2

(0,0)

5

C 2 : ( x ? 3) ? y ? 4 (3,0) r = 2 2 2 C 3 : x ? ( y ? 1) ? 2 (0,-1) , r = 2 2 2 C 4 : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

(-2,1) , r =

3

M ( x0 , y0 )与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 探究:点
的关系的判断方法: (1) 点在圆外: ( x0 ? a) ? ( y0 ? b)
2 2

?r
?r

2

点在圆上: ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 (2)

2

(3) 点在圆内: ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2?

r

2

[点与圆的位置关系]
例题3、设圆 C : x ? y ? 2ax ? 2 y ? (a ? 1) ? 0 (a ? 0, 且a ? 1), 则坐标原点的位置是( A)。
2 2 2

(A) 在圆外 (B) 在圆上 (C)在圆内 (D) 与a的取值有关而无法确定.

练习3、点(5a+1, 12a)在圆 ( x ? 1) 的内部,则实数a的取值范围是( D ) (A) | a |? 1

2

? y ?1
2

1 (B) a ? 13

1 (C) | a |? 5

1 (D) | a |? 13

圆的标准方程 例题4、由圆 x2+y2=4 外一点P(3,2)向圆引割线PAB,
y 求弦AB中点M的轨迹方程? 解:点M是AB弦的中点,也就垂直平分AB. M B A OM⊥PM,即:∠PMO=90°, 所以,点 M 在以 PO 为直径的圆上, O P

x

设所求圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2 弦中点一定在圆x2+y2=4内部,

3 13 圆心(a,b)是PO中 ( ,1) 半径r是PO长的一半 r ? 2 2 点 , 3 2 13 2 因此,所求圆的方程是 : ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 2 4
(且x 2 ? y 2 ? 4)

练习4、(课本P104-B组4#) 已知:圆的直径端点坐标是 A( x1 , y1 )、B( x 2 , y 2 ) , 求证:圆的方程是 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
证明:
B( x2 , y2 )

A( x1 , y1 )

圆的标准方程

三、圆 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 在坐标系中,各种位置时方程特征:
2 2 2

位 置 圆心在原点

圆心在 x 轴上

圆心在 y 轴上

图 形
方程

x ?y ?r
2 2

2

(x ? a) ? y ? r
2 2

2

x ? ( y ? b) ? r
2 2

2

位置
图形

圆切 x 轴 ]

圆切 y 轴

圆切两坐标轴

方程 (x ? a)2 ? y ? b)2 ? b2 (x ? a)2 ? y ? b)2 ? a 2 (x ? a)2 ? y ? a)2 ? a 2 ( ( (

例题5、(课本P95—例题3)

赵州桥的跨度约为37.02 m,圆拱高约7.2m, 选 择“优秀”坐标系,写出 圆拱所在的圆的方程? 分析:写出圆的方程,就是要建立优秀 的直角坐标系,并写出圆上任意 一点P(x,y)所满足的关系式.

(要求:学生只说设圆方程为?)

(-18.7,0) A

第一步 以圆拱所对的 C (0,7.2) 弦所在的直线为x轴, B(18.7,0) x 弦的垂直平分线为y轴 O 建立直角坐标系. O1(0,b)
根据圆的定义,设出圆的方程为 (x-0)2+(y-b)2=r2.

y

第二步

第三步

根据已知条件求出b,r,得到圆的方 程.
2

答案: x

? ( y ? 20.19) ? 750.21
2

圆的标准方程

练习5:求过点 A(-1,1 ), B(1,3), 且圆心在x轴 上的圆方程。 设圆的方程为:( x ? a )2 ? y 2 ? r 2 把点 A(-1,1 ), B(1,3)坐标 代入的圆方程中为:

(?1 ? a) ? 1 ? r
2 2

2 2

(1 ? a) ? 3 ? r
2 2

a=2 , r2 = 10
2 2

( x ? 2) ? y ? 10

圆的标准方程

(1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 a=b=0,圆的标准方程为 x 2 + y 2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数,因此 必须具备三个独立的条件才能确定圆;对于由已 知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆 心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。 (3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程 解决实际问题。


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