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1.3.1


1. 函数单调性的概念:
一般地,对于给定区间上的函数f(x): 如果对于属于这个区间的自变量的任意

两个值x,x 2 , 1 ? x 2时, 当x 都有f(x ) ? f(x2 ), 1 1
称函数 f(x)在这个区间上是增函数。 如果对于属于这个区间的自变量的任意

两个值x,x 2 , 1 ? x 2时, 当x 都有f(x ) ? f(x2 ), 1 1
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。

2.单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是 增函数或减函数,那么就说函数在这 一区间上具有严格单调性,区间D叫 做函数y=f(x)的单调区间。

练习:
例1 下图是定义在区间[-5,5]的函数y=f(x),根据图象 说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是 增函数还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中 y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是 增函数.

画出下列函数的草图,并根据图象解答下列问题: f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 1 (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (2)
1 说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的 单调性;

2 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现 函数的什么特征? y y 2
-1 o o x x

最大值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M

那么,称M是函数y=f(x)的最大值
几何意义:函数图象上最高点的纵坐标

最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M

那么,称M是函数y=f(x)的最小值
几何意义:函数图象上最低点的纵坐标

注意:
1、函数最大(小)值首先应该是某一个函数值, 即存在x0∈I,使得f(x0) = M; 2、函数最大(小)值应该是所有函数值中最大 (小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M (f(x)≥M). 3 、讨论函数的最大(小)值要坚持定义域优 先原则:函数图象上有最高(低)点,这个函 数才存在最大(小)值,最高(低)点必须是 函数图象上的点。

例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 , 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻?这时 距地面的高度是多少(精确 到1m)

解:作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然, 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面 的高度. 由于二次函数的知识,对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
14.7 当t ? ? ? 1.5时,函数有最大值 2 ? (?4.9) 4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 2 h? ? 29 4 ? (?4.9)

于是,烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这 时距地面的高度为29 m.

2 例2.求函数 y ? 在区间[2,6]上的最大值和 x ?1 最小值.
解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 2[(x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ? ( x2 ? 1)(x1 ? 1) 2( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? 1)(x1 ? 1)

由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是

2 所以,函数 y ? 是区间[2,6]上的减函数. x ?1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

点上分别取得最大值和最小值,即在点x=2时取 最大值,最大值是2,在x=6时取最小值,最小值 为0.4 .

2 y? 因此,函数 x ? 1 在区间[2,6]上的两个端

2 y? x ?1

利用函数单调性判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ;
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区 间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值 f(b);

例3 求函数 y ? x ?
2

1 ? x 的最大值。
2

1 2 5 令 解: t ? 1 ? x ? 0, 则x ? ? t ? 1, y ? ? t ? 1 ? t ? ?(t ? 2 ) ? 4 1 1 5 5 ? t ? 0 ? ?(t ? ) 2 ? 0 ? ?(t ? ) 2 ? ? 2 2 4 4 5 ? 原函数的最大值为 4

换元法

求函数最值的常用方法:
?
? ? ?

利用二次函数的性质(配方法); 换元法:通过变量代换式转换为二次函 数; 数形结合法:利用函数图像求; 利用函数的单调性。

归纳小结
1、函数的最大(小)值及其几何意义.

2、利用函数的单调性求函数的最大(小)值.

作业
?
? ?

P32页 5(作成计算题形式) P39页 A组 5,B组 1 预习:函数的奇偶性


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