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黑龙江省哈尔滨市第六中学学高二数学下学期期中试题理-精



哈尔滨市第六中学 2015—2016 学年度下学期期中考试 高二(理科)数学试题
考试时间:120 分钟 一、选择题: (每题 5 分共 60 分) 1.设 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( ) 满分:150 分

A. e2

B. e

C.
<

br />ln 2 2


D. ln 2

2.函数 y ? 2x ln x 的图像在 x ? 1 处切线的斜率为(

A. 0

B. 1

C. 2
?x ?0

D. 2 ln 2


3.已知函数 f ( x) ? 2ln 3x ? 8x ,则 lim

f (1 ? 2?x) ? f (1) 的值为( ?x

A. ?20

B. ?10

C. 10

D. 20

4. 函数 f ? x ? 的定义域为开区间 ? a, b ? ,导函数 f ? ? x ? 在 ? a, b ? 内的图象如下图所示,则函数 f ? x ? 在开区间

? a, b ? 内有极大值有(

)个

。 。 。 。
A. 1 个 B. 2 个
2

C. 3 个

D. 4 个

5.已知函数 f ? x ? ? x ? 范围是( )

1 3 ln x ? 在其定义域内的一个子区间 ? a ?1, a ?1? 内不是单调函数,则实数 a 的取值 2 2

?1 3? A. ? , ? ?2 2?
3

? 5? B. ?1, ? ? 4?

? 3? C. ?1, ? ? 2?

? 3? D. ?1, ? ? 2?


6.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1在闭区间 ? ?3,0? 上的最大值、最小值分别(

A. 1, ?1

B. 1, ?17

C. 3, ?17

D. 3, ?35


7.过点 (0, 2) 且与直线 ?

? ?x ? 2 ? t ( t 为参数)互相垂直的直线方程为( y ? 1 ? 3 t ? ?

1

? ? x ? ? 3t A. ? ? ?y ? 2?t

? ? x ? 3t B. ? ? ?y ? 2?t

? ? x ? ? 3t C. ? ? ?y ? 2?t

? ? x ? 2 ? 3t D. ? ? ?y ? t


8.由曲线 y ? x3 与直线 y ? 4 x 所围成的平面图形的面积为(

A. 4

B. 8

C. 12

D. 16

9.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin?? ?

? ?

??

2 ? 3? ,则点 A? 2, ?? 4? 2 ? 4
2 2
D. 2 ?

? ? 到直线 l 的距离为( ? 2 2



A.

2 2

B.

2

C. 2 ?

10. 设函数 f ?( x ) 是函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (0) ? 1 ,且 3 f ( x ) ? f ?( x ) ? 3 ,则 4 f ( x) ? f ?( x) 的解集是 ( )

? ln 4 ? , ?? ? A. ? ? 3 ?

? ln 2 ? , ?? ? B. ? ? 3 ?

? 3 ? , ?? ? C. ? ? 2 ? ? ?

? e ? , ?? ? D. ? ? 3 ? ? ?


11.若曲线 C1 : y ? ax2 (a ? 0) 与曲线 C2 : y ? e x 存在公切线,则 a 有(

A. 最大值

e2 8

B. 最大值

e2 4

C. 最小值

e2 8

D. 最小值

e2 4

12.已知函数 f ( x) ? ( )

ln x ? ( x ? b) 2 1 (b ? R) .若存在 x ? [ ,2] ,使得 f ( x) ? ? x ? f ?( x) ,则实数 b 的取值范围是 x 2

A. ??, 2

?

?

3? ? B. ? ??, ? 2? ?

9? ? C. ? ??, ? 4? ?

D. ? ??,3?

二、填空题(每题 5 分共 20 分) 13 . 在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,设点 A, B 分别在曲线

? x ? 3 ? cos ? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 AB 的最小值为 C1 : ? ? y ? 4 ? sin ?
14.函数 f ( x) ? x ? ln x 的单调减区间为 15.函数 f ( x ) ? ; ;



1 3 1 4 x ? x 在区间 ? ?3,3? 上的极值点为 3 4

16.设函数 g ( x) ? e x ? 2 x ? a ( a ? R ,e 为自然对数底数) ,定义在 R 上函数 f ( x) 满足: f (? x) ? f ( x) ? x 2 ,

2

? 且当 x ? 0 时, f ?( x) ? x ,若存在 x0 ? ? x | f ( x) ? ?
使 g ? g ( x0 ) ? ? x0 ,则实数 a 的取值范围为 三、解答题

1 ? ? f (1 ? x) ? x ? , 2 ?


? 2 t ? x ? 3? ? 2 17. 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? 。 在极坐标系 (与直角坐标系 xOy , ( t 为参数) ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (1)求圆 C 的直角坐标方程; (4 分) (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B 若点 P 的坐标为 3, 5

?

?

,求 PA ? PB .(6 分)

18.在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ? 2 ?

3 ?? ? ,点 R ? 2 2, ? . 2 1 ? 2sin ? 4? ?

(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程, (6 分) R 点的极坐标化为直角坐标; (2)设 P 为曲线 C 上一动点,以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴,求矩形 PQRS 周长的最小值, 及此时 P 点的直角坐标.(6 分)

3

19.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 0 处的切线为 l : 4 x ? y ? 5 ? 0 若 x ? ?2 时,

y ? f ( x) 有极值.
(1)求 a, b, c 的值; (6 分) (2)求 y ? f ( x) 在 ? ?3,1? 上的最大值和最小值. (6 分)

20.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) . (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (4 分) (2)设函数 h( x) ? f ( x) ?

1? a ,求函数 h( x) 的单调区间; (8 分) x

21. 已知函数 f ( x) ? x2 ? (?1)k 2a ln x(k ? N, a ? R且a ? 0) . (1)求 f ( x) 的极值; (4 分) (2)若 k ? 2016 ,关于 x 的方程 f ( x ) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值. (8 分)

4

22.

? x ? a? 已知函数 f ( x) ?
ln x

2

(其中 a 为常数).

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数的单调区间; (4 分) (Ⅱ)当 0 ? a ? 1 时,设函数 f ( x) 的 3 个极值点为 x1 , x2 , x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 . 证明: x1 ? x3 ?

2 . (8 分) e

5

理数答案: 一、选择题 BCDBD CABAB 二、填空题

DC

13. 3 ; 14.
三、解答题

? 0,1?

; 15. x ? 1 ; 16. ? ??, e ? ? 2

? ?

1? ?

17. (1)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0, 即 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5. ---------4 分 (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 , 2 2

即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0, 由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根, 所以 ? 1

? ?t ? t2 ? 3 2 , 又直线l过点P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得: t t ? 4 ? ?12

PA ? PB ? |t1|+|t 2 |=t1 ? t2 ? 3 2 .----------------------------------10 分
18. ( 1 ) 由 于 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 则 曲 线 C 的 方 程 为 ? 2 ?

3 , 转 化 成 1 ? 2 s i2n ?

x2 ? y 2 ? 1----------------4 分 3
点 R 的极坐标转化成直角坐标为: R ? 2, 2 ? ;----------------6 分 (2)设 P

?

3 cos ? ,sin ? 根据题意,得到 Q ? 2,sin ? ? 。则:

?

?? ? PQ ? 2 ? 3 cos ? , QR ? 2 ? sin ? ,所以 PQ ? QR ? 4 ? 2sin ? ? ? ? 3? ?
当? ?

? ?3 1? , ? PQ ? QR ? ? 2 ,矩形的最小周长为 4,点 P ? , ? .----------12 分 min 6 ?2 2?
3 2

19. (1)由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c , 得: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ,
2

当 x ? 0 时,切线 l 的斜率为 ?4 ,可得 b ? ?4 ①, 当 x ? ?2 时, y ? f ( x) 有极值,得 f ?(?2) ? 0 , ∴ 12 ? 4a ? b ? 0 ②, 由①②得: a ? 2, b ? ?4 , 由于切点的横坐标为 x ? 0 , ∴ f (0) ? 5 ,∴ c ? 5 ,

6

∴ a ? 2, b ? ?4, c ? 5 .-------------------6 分 (2)由(1)得 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 5 , ∴ f ?( x) ? 3x2 ? 4x ? 4 , 令 f ?( x) ? 0 ,解得: x ? ?2 或 x ?

2 , 3

当 x 变化时, y?, y 的值及变化如下表:

x

?3

? ?3, ?2?
?

?2

2? ? ? ?2, ? 3? ?

2 3

?2 ? ? ,1? ?3 ?

1

y?

0
极大值

?

0
极小值

?

y

8

递增

13

递减

95 27

递增

4

∴由表可得 y ? f ( x) 在 ? ?3,1? 上当 x ? ?2 时有最大值 13 , x ? 20. (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2ln x , f (1) ? 1 ,切点 ?1,1? ,

2 95 时有最小值 .--------12 分 3 27

? f ?( x) ? 1 ?

2 ∴ k ? f ?(1) ? 1 ? 2 ? ?1 , x

∴曲线 f ( x ) 在点( ?1,1? 处的切线方程为: y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 .-----4 分 (Ⅱ) h( x) ? x ? a ln x ?

1? a ,定义域为 ? 0, ?? ? , x

a 1 ? a ? x ? 1? ? ? x ? ?1 ? a ?? ? , h?( x) ? 1 ? ? 2 ? x x x2
①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,令 h?( x) ? 0 , ∵ x ? 0,? x ? a ? 1 令 h?( x) ? 0 ,∵ x ? 0,? 0 ? x ? a ? 1 . ②当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, h?( x) ? 0 恒成立, 综上:当 a ? ?1 时, h( x) 在 ? 0, a ? 1? 上单调递减,在 ? a ? 1, ?? ? 上单调递增. 当 a ? ?1 时, h( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. -----------------12 分

21. (1) f ?( x) ? 2 x ? (?1) k 2a ?

1 2a ,当 k 为奇数时, f ?( x) ? 2 x ? ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0,??) 上单调递增, f ( x) x x
7

无极值, 当 k 为偶数时, f ?( x) ? 2 x ?

2a 2 x 2 ? 2a 2( x ? a )( x ? a ) , ? ? x x x

∴ f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减, ( a ,??) 上单调递增, ∴ f ( x) 有极小值, f ( x)极小值 ? f ( a ) ? a ? 2a ln a ? a ? a ln a ,无极大值------4 分 ( 2 ) ∵

k ?2016 ,



f ( x) ? x 2 ? 2a ln x





g ( x) ? x 2 ? 2a ln x ? 2a x ,

g ?( x) ? 2 x ?

2a 2 x 2 ? 2ax ? 2a 2 2 ? 2a ? ? ( x ? ax ? a) , x x x
a ? a 2 ? 4a , 2

令 g ?( x) ? 0 ,∴ x 2 ? ax ? a ? 0 ,∵ a ? 0 , x ? 0 ,∴ x0 ?

当 x ? (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x ) 在 (0, x0 ) 上单调递减, 当 x ? ( x0 ,??) 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x ) 在 ( x0 ,??) 上单调递增,
2 ? x0 ? 2a ln x0 ? 2ax0 ? 0 ? g ( x0 ) ? 0 又 g ( x) ? 0 有唯一解,∴ ? ,即 ? , 2 x0 ? ax0 ? a ? 0 ? g ?( x0 ) ? 0 ?

两式相减得: 2a ln x0 ? ax0 ? a ? 0 ? 2 ln x0 ? x0 ? 1 ? 0 ? x0 ? 1,∴ a ? 22.(Ⅰ)求导得: f ' ( x) ? 令 f ' ( x) ? 0 可得 x ?

1 .-----12 分 2

x(2 ln x ? 1) . ln 2 x

e .列表如下:

x
f ?? x ?
f ?x ?

?0,1?


?1, e ?


e
0 极小值

?

e ,??
+ 增

?

单调减区间为 ?0,1? , 1, e ;增区间为

?

?

?

e ,?? .

?

--------------------4 分

(Ⅱ)由题, f ' ( x) ?

( x ? a)(2 ln x ? ln 2 x

a ? 1) x

a 2x ? a ? 1 ,有 h' ( x ) ? x x2 a a ∴函数 h( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( ,?? ) 上单调递增 2 2
对于函数 h( x ) ? 2 ln x ? ∵函数 f ( x) 有 3 个极值点 x1 ? x2 ? x3 ,
8

从而 hmin ( x) ? h( ) ? 2 ln

a 2

a 2 ? 1 ? 0 ,所以 a ? , 2 e

当 0 ? a ? 1 时, h(a) ? 2 ln a ? 0 , h(1) ? a ? 1 ? 0 , ∴ 函数 f ( x) 的递增区间有 ( x1 , a) 和 ( x3 ,??) ,递减区间有 (0, x1 ) , (a,1) , (1, x3 ) , 此时,函数 f ( x) 有 3 个极值点,且 x2 ? a ; ∴当 0 ? a ? 1 时, x1 , x3 是函数 h( x ) ? 2 ln x ?

a ? 1 的两个零点,--------------6 分 x

? 2 ln x1 ? ? ? 即有 ? ?2 ln x3 ? ? ?

a ?1 ? 0 x1 ,消去 a 有 2 x1 ln x1 ? x1 ? 2 x3 ln x3 ? x3 a ?1 ? 0 x3
1 e
,且 x1 ?

令 g ( x) ? 2 x ln x ? x , g ' ( x) ? 2 ln x ? 1 有零点 x ?

1 e

? x3

∴函数 g ( x) ? 2 x ln x ? x 在 (0,

1 e

) 上递减,在 (

1 e

,??) 上递增

要证明

x1 ? x3 ?

2 e

? x3 ?

2 e 2

? x1 ? g ( x3 ) ? g (

2 e

? x1 )

? g ?x1 ? ? g ?x3 ? ? 即证 g ( x1 ) ? g (
构造函数 F ?x ? ? g ( x) ? g (

e

? x1 ) ? g ( x1 ) ? g (

2 e

? x1 ) ? 0

2

? 1 ? ? x) ,? F ? ? ? ? ? 0 ,所以 e ? e?
2 e
2( x( 2 e 2 e ? 2 x) ?0 ? x)

只 需 要 证 明 x ? (0,

1 e

] 单 调 递 减 即 可 . 而 F ??x ? ? 2 ln x ? 2 ln(

? x) ? 2 , F ' ' ? x ? ?

? F ??x? 在 (0,

1

? 1 ? ] 上单调递增, ? F ??x ? ? F ? ? ? ??0 e ? e?
2 . e
---------------------------12 分

∴当 0 ? a ? 1 时, x1 ? x3 ?

9



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