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高三第一次段考数学文科试题



登封实验高中 2015-2016 学年高三上学期 第一次段考数学文科试题 命题人:刘广明
一.选择题:(本题共 l2 小题,每题 5 分,共 60 分)
1.已知集合 A={x|x=3n+2,n ? N},B={6,8,12,14},则集合 A ? B 中元素的个数为( A.5 B.4 C.3 D.2 ) B. ?x0 ? Z ,5x0 ? 1 ? 0 D.

?x ? R, x2 ?1 ? 0 ) 2.下列四个命题中是真命题的为( A. ?x0 ? Z ,1 ? 4x0 ? 3 C. ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 )

A .1

B.

7 8

C.

3 4

D.

1 2

? ax , x ?1 ? 9.若 f ( x) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( a ?(4 ? ) x ? 2, x ? 1 ? 2
A. ?1, ?? ? B. [4,8) C. ? 4,8? D. ?1,8?



10.已知偶函数 f ( x) 在区间 [0, ??) 上单调递增,则满足 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 的取值范围是 ( )
1 2? A. ? ? , ? ?3 3?

1 3

B. [ 1 , 2 )
3 3

1 2? C. ? ? , ? ?2 3?

D. [ 1 , 2 )
2 3

3.已知集合 A ? ?2,3? , B ? ?x | mx ? 6 ? 0? ,若 B ? A ,则实数 m 的值为( A. 3 B.2, C.2 或 3 D.0 或 2 或 3 ) 4.命题“ ?x0 ? (0,??), ln x0 A. ?x ? (0,??), ln x ?

11.设函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ?
1 1 A. (? , ) 3 3

? x0 ?1 的否定是(

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围( 1? x2 1 1 1 1 B. ( ?? , ) ? (1,?? ) C. ( ,1) D. (?? ,? ) ? ( ,?? ) 3 3 3 3



x ?1

B. ?x ? (0,??), ln x ?

x ?1

? a, a ? b ? 1 12.对实数 a 和 b , 定义运算 “? ” :a ? b ? ? 设函数 f ( x) ? ( x2 ? 2) ? ( x ? x2 ), x ? R 若 ?b, a ? b ? 1
函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是(
3 A. ( ??, ?2] ? ( ?1, ) 2

C. ?x0 ? (0,??), ln x0 ? x0 ?1 5.“x<-1”是“x2-1>0”的( A.充要条件 C.充分而不必要条件

D. ?x0 ? (0,??), ln x0 ? x0 ?1 )



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3 B. ( ??, ?2] ? ( ?1, ? ) 4

C. (?1, ) ? ( , ??)

6.已知 f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3 是偶函数,则 f(x)的最大值是( A.1


1 4

1 4

D. ( ?1, ? ) ? [ , ??)

3 4

1 4

B.3

C.0


D.-3

二.填空题:(本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)
13.函数 f ( x) ?

ex+e x 7.函数 y= x -x的图象大致为( e -e

3x 2 ? lg(3x ? 1) 的定义域是 1? x

_______

1 2 x? x2 y ? ( ) 14.函数 的值域是________ 2
15.已知函数 f(x)是偶函数,并且对于定义域内任意的 x,满足 f(x+2)=-f(x),若当 0<x<2 时,f(x)=x, 8.设 函 数
则 f(2015.8)=________ 1

5 ?3x ? b, x ? 1 f ( x) ? ? x 若 f ( f ( )) ? 4 ,则 b ? ( 6 , x ?1 ?2

16.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数.若方 ) 程 f(x)=m(m>0)在区间[-8, 8]上有四个不同的根 x1, x2, x3, x4, 则 x1+x2+x3+x4=________

三.解答题(本题共 6 小题共 70 分,解答应写出文字、证明过程或演算步骤)
17.已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}. (1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围; (2)若 A ? B ? A 求 a 的取值范围; x2+2x+a 20.已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a=2时,求函数 f(x)的最小值; (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? 18.设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a≠0,q:实数 x 满足 ? 2 ? ? x ? 2x ? 8 ? 0.
2 2

21. 已 知 函 数 f ( x) 对 于 任 意 x, y ? R , 总 有 f ( x) ? f ( y)? f ( x? y) , 且 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? 0且
f (1) ? ? 2 3

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

(1)求证: f ( x) 在 R 上是减函数

(2)求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值和最小值.

22.已知函数 f(x)=2a·4 -2 -1. 19.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对于任意实数 x ,恒有 f ( x ? 2) ? ? f ( x).

x

x

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)在 x∈[-3,0]的值域.
当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? 2 x ? x 。
2

(2)若关于 x 的方程 f(x)=0 有解,求 a 的取值范围.

(1)求证: f ( x) 是周期函数。 (2)当 x ? [2,4] 时,求 f ( x) 的解析式。
) 的值 (3)求 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2015

19.(1)? f ( x ? 2) ? ? f ( x),? f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x)

参考答案
一、选择题:DCDAC BADBA CD 1 二、填空题:13. ( ? ,1) 14. [1,??) 15.-0.2 16.-8 3 三、解答题: 17.由集合 A 得:A={x|1≤x≤2},由集合 B 得:当 a=1 时,B={1},
当 a<1 时,B={x|a≤x≤1 },当 a>1 时,B={x|1≤x≤a }, (1),? B ? A ,且 A={x|1≤x≤2}, ∴当 a≤1 时,显然不满足条件,当 a>1 时,∵B={x|1≤x≤a },∴a>2, ∴a 的取值范围是(2,+∞). (2)∵∵ A ? B ? A ,? B ? A ,且 A={x|1≤x≤2}, ∴当 a≤1 时,显然不满足条件,当 a>1 时,∵B={x|1≤x≤a },∴a≥2, ∴a 的取值范围是[2,+∞). 18.(1)由 ?

? f ( x) 是周期为 4 的周期函数。 (2)设 x ?[?2,0],则 ? x ?[0,2]

? f (? x) ? 2(? x) ? (? x)2 ? ?2x ? x 2 ,又 f ( x) 是奇函数 ? f ( x) ? ? f (? x) ? 2 x ? x 2 又设 x ?[2,4],则x ? 4 ?[?2,0],? f ( x ? 4) ? 2( x ? 4) ? ( x ? 4)2 ? x 2 ? 6x ? 8 有(1)知 f ( x) ? f ( x ? 4) ? x2 ? 6x ? 8 (3) f (0) ? 0, f (2) ? 0, f (1) ? 1, f (3) ? ?1 ,又 f ( x) 是周期为 4 的函数 ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? f (7) ? ? ? f (2012 ) ? f (2013 ) ? f (2014 ) ? f (2015 )?0 ) =0 所以 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2015
1 1 20.(1)解:当 a= 时,f(x)=x+ +2. 2 2x 1 1 x1+ +2?-?x2+ +2? 令 1≤x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=? 2x1 ? ? 2x2 ? ? x2-x1 2x1x2-1 =(x1-x2)+ =(x1-x2)· .∵1≤x1<x2<+∞,∴x1-x2<0,2x1x2>1. 2x1x2 2x1x2 ∴f(x1)-f(x2)<0.即 f(x1)<f(x2).∴f(x)在[1,+∞)上为增函数. 7 ∴f(x)在[1,+∞)上的最小值为 f(1)= . 2 (2)解法一:f(x)>0 对 x∈[1,+∞)恒成立,即 x2+2x+a>0 对 x∈[1,+∞)恒成立. 设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞), 则 y=(x+1)2+a-1 在[1,+∞)上是增函数,从而 ymin=3+a. 于是当且仅当 ymin=3+a>0,即 a>-3 时,f(x)>0 对 x∈[1,+∞)恒成立, 故实数 a 的取值范围是(-3,+∞). 解法二:f(x)>0 对 x∈[1,+∞)恒成立,即 x2+2x+a>0 对 x≥1 恒成立. 即 a>-x2-2x 对 x≥1 恒成立.由于 μ=-x2-2x=-(x+1)2+1 在[1,+∞)上是减函数, 则当 x=1 时,μmax=-3.因此 a>-3. 故实数 a 的取值范围是(-3,+∞). 22.(1)当 a=1 时,f(x)=2·4 -2 -1=2(2 ) -2 -1,令 t=2 ,x∈[-3,0],则 t∈[ 故 y=2t -t-1=2(t2 x x x 2 x x

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? 得 q:2<x≤3. 2 x ? 2x ? 8 ? 0. ? ?
2

当 a=1 时,由 x -4x+3<0,得 p:1<x<3, 因为 p∧q 为真,所以 p 真,q 真.由 ? 所以实数 x 的取值范围是(2,3). (2)由 x -4ax+3a <0,得(x-a)(x-3a)<0. ①当 a>0 时,p:a<x<3a, 由题意,得(2,3] (a,3a),所以 ?
2 2

?2 ? x ? 3, 得 2<x<3, ?1 ? x ? 3,

1 ,1]. 8

?a ? 2, 即 1<a≤2; ?3a ? 3,
(3a,a),

1 2 9 1 9 ) - ,t∈[ ,1],故值域为[- ,0]. 4 8 8 8
x 2 x 2

(2)关于 x 的方程 2a(2 ) -2 -1=0 有解,等价于方程 2am -m-1=0 在(0,+∞)上有解. 记 g(m)=2am -m-1,当 a=0 时,解为 m=-1<0,不成立.当 a<0 时,开口向下,对称轴 m=
2

②当 a<0 时,p:3a<x<a,由题意,得(2,3] 所以 ?

1 <0,过点(0,-1),不成 4a

?3a ? 2, 无解.综上,可得 a∈(1,2]. ?a ? 3

立.当 a>0 时,开口向上,对称轴 m= 本题还有以下解法: 方程 2am -m-1=0 可化为 a= ∞)上的值域,所以 a>0.
2

1 >0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以,a>0. 4a

m ?1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ,所以 a 的范围即为函数 g(m)= ( ? ) 2 ? 在(0,+ 2 2m 2 m 2 8 2 m 2 8



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