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高二理科数学导数复习



高二理科数学导数复习

命题:张红

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1.曲线 f(x)=xlnx 在点 x=1 处的切线方程为( ) A.y=2x+2 B.y=2x-2 C.y=x-1 C.y=x+1 2.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ( x) ? (e x ? 1)( x ? 1) k (k ? 1,2) ,则 A.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 C.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 B.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 D.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 ( )

3 .如果 f ?( x ) 是二次函数 , 且 f ?( x ) 的图象开口向上 , 顶点坐标为( 1, 3 ) , 那么曲线

y ? f ( x) 上任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是
A. (0,





?
3

]

B. [

? ?

, ) 3 2

C. (

? 2?
2 , 3

]

D. [

?
3

,? )

4.已知 a 为常数,函数

f ( x ) ? x ? ln x ? ax ?

有两个极值点

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则(
1 2 1 2



1 f ( x ) ? 0, f ( x ) ? ? 1 2 A. 2
C.

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2

D.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

5. 由曲线 y ? sin x, y ? cos x 与直线 x ? 0, x ? 面积是( )

?
2

所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的

A.1

B.

? 4

C.

2 2 3

D. 2 2 ? 2

6. 已知函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? a 2 ? 7a 在 x ? 1 处取得极大值 10,则 A. ?

a 的值为( b
D. 不存在



2 3
2

B. ? 2

C. ? 2 或 ?

2 3

7. 设 P 为曲线 C : y ? x ? 2 x ? 3 上的点 , 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为

1

? ?? ,则点 P 横坐标的取值范围为 0, ? ? 4? ?
A. ? ?1, ? ? 2





? ?

1? ?

B. ? ?1, 0?

C. ? 0,1?

D. ? ,1? ) y

?1 ? ?2 ?

8. 已知函数 y ? f ? x ? 的图象如图 1 所示,则其导函数 y ? f ? ? x ? 的图象可能是( y y y y

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

O 图1 (

x

9. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是 A. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 B 函数 y ? f ( x ) 的图像是中心对称图形 .



C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 10. 已知函数

f ( x) ? xn?1 (n ? N*) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线


与 x 轴交点的横坐标为 x n ,则 log2013 x1 + log2013 x2 +…+ log2013 x2012 的值为( A.-1 B. 1-log20132012 C.-log20132012 D.1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 11. 曲线 y= x 3 -x + 3 在点(1 ,3 )处的切线方程为_______ 12.若曲线 y ? kx ? ln x 在点 ?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ______. 13. 设函数 f ( x) 在 (0, ??) 内可导,且 f (e x ) ? x ? e x ,则 f x (1) ? _________ 14.函数 f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =
3



三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 3 15. 设函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x- 6y-7=0 垂直,导函数 f′(x)的最小值为-12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值

2

16. 设 f ? x ? ? a ? x ? 5 ? ? 6 ln x , 其中 a ? R , 曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与 y
2

?

?

轴相交于点 ? 0, 6 ? .(1)确定 a 的值;

(2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值.

17.

已知函数

f ( x) ?

e ax . x ?1

(I) 当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

18. 第八届中国花博会将于 2013 年 9 月在常州举办, 展览园指挥中心所用地块的形状是大 小一定的矩形 ABCD, BC ? a ,CD ? b .a,b 为常数且满足 b ? a .组委会决定从该矩形地块 中划出一个直角三角形地块 AEF 建游客休息区(点 E,F 分别在线段 AB,AD 上) ,且该直角 三角形 AEF 的周长为( l ? 2b ) ,如图.设 AE ? x ,△ AEF 的面积为 S . (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)试确定点 E 的位置,使得直角三角形地块 AEF 的面积 S 最大,并求出 S 的最大值.

3

19. 已知函数 f ( x ) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1). (1) 求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2) 求函数 f ( x ) 单调区间; (3) 若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围.

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 20. 已知函数 f ( x) ? ? , 其中 a 是实数 . 设 A( x1 , f ( x1 )) , B ( x2 , f ( x2 )) 为 ?ln x, x ? 0 该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
(1)指出函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (3)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

4

导数复习答案
一.CCBDD AAACA 12.-1 13.2 14.4
3 3

二.11. 2 x ? y ? 1

三.15. 解 (1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),-ax -bx+c=-ax -bx-c, 1 2 ∴c=0,∵f′(x)=3ax +b 的最小值为-12,∴b=-12,又直线 x-6y-7=0 的斜率为 , 6 因此,f′(1)=3a+b=-6,∴a=2,b=-12,c=0. (2)单调递增区间是(-∞,- 2)和( 2,+∞). f(x)在[-1,3]上的最大值是 18,最小值是-8 2. 6 2 16. 解:(1)因 f(x)=a(x-5) +6ln x,故 f′(x)=2a(x-5)+ .

x

令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-16a=(6-8a)(x-1), 1 由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6,故 a= . 2 1 6 (x-2)(x-3) 2 (2)由(1)知,f(x)= (x-5) +6ln x(x>0),f′(x)=x-5+ = , 2 x x 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数.由此可知,f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2) 9 = +6ln 2,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3. 2 17. 解:当 a ? 1 时, f ( x ) ?

e x ( x ? 2) e ax , f '( x ) ? ( x ? 1)2 x ?1

又 f (0) ? ?1 , f '(0) ? ?2 ,所以 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? ?2 x ? 1

?1 eax [ax ? (a ? 1)] f '( x ) ? ?0 a ? 0 (2) f '( x ) ? 当 时, ( x ? 1)2 ( x ? 1)2
又函数的定义域为 {x | x ? 1} 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ??,1),(1, ??)

x ?a ( ?1 ) ?0 ,解得 x ? 当 a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 , 即a
所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表

a ?1 a ?1 ? 1, 当 a ? 0 时,x ? a a

x

( ??,1)
?

1
无定义

(1,

a ?1 ) a
?

a ?1 a
0

(

a ?1 , ??) a
?

f '( x)

5

f ( x)
所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( ??,1) , (1,

极小值

a ?1 a ?1 ) ,单调递增区间为 ( , ??) a a

当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ?1 a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

( ??,

a ?1 ) a

a ?1 a
0 极大值

(

a ?1 ,1) a
?

1
无定义

(

a ?1 , ??) a
?

f '( x) f ( x)

?

所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??,

a ?1 a ?1 ) , 单调递减区间为 ( ,1) , (1, ??) a a
x 2 ? y 2 ? l ,整理,得 y ?
l 2 ? 2lx . 2(l ? x)

18. 解: (1)设 AF ? y ,则 x ? y ?
S?

1 x(l 2 ? 2lx) , x ? (0, b ? . xy ? 2 4(l ? x)

(2) S ' ?

? l 2 x 2 ? 4lx ? l 2 2l 2? 2 ? ? 2? 2 ? ? ? x ? l ? x ? l? ? ? 2 2 ? ? ? ? , x ? (0, b ? 4 2 2 4? x ? l ? ? ?x ? l? ? ? ? ?

?当 b ?

bl ? 2b ? l ? 2? 2 ; l 时, S ' ? 0 , S 在 (0, b ? 递增,故当 x ? b 时, Smax ? 4 ?b ? l ? 2

当b ?

? 2? 2 ? ?2? 2 ? 2? 2 0, l? l, b ? 上, S ' ? 0 , S 递增,在 x ? ? l 时,在 x ? ? ? ? ? ? 上, 2 2 ? ? ? 2 ?
2? 2 3?2 2 2 l 时, Smax ? l . 2 4

S ' ? 0 , S 递减,故当 x ?

19. ⑴函数 f ( x) ? a x + x2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) ,所以 f ?( x) ? a x ln a + 2x ? ln a , f ?(0) ? 0 又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 . ⑵由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a x ? 1)ln a .因当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ?( x) 在 R 上 是增函数,又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) . ⑶因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立,
6

当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x) max ? f ( x) min , 只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1即可. 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x
f ?( x)

(??,0)

0 0

(0, +?)

?
减函数

+
增函数

f ( x)

极小值

所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, f ? x ? 的最 小值 f ? x ?min ? f ? 0? ? 1, f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.

1 ? 2ln a , a 1 1 2 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? )2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数. a
因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? 而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) .

1 a

e ? 1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥e ?1 ,即 a ? ln a ≥
上是增函数,解得 a ≥ e ;当 0 ? a ? 1 时, f (?1) ? f (0) ≥e ?1 ,即

1 ? ln a ≥e ?1 ,函 a

1 1 ? ln a 在 a ? (0,1) 上是减函数,解得 0 ? a ≤ . a e 1 综上可知,所求 a 的取值范围为 a ? (0, ] [e, +?) . e
数y? 20 解: ? ? ? 函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ?1? ,单调递增区间为 ? ?1,0 ? , ? 0, ?? ?

? ?? ? 由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为 f ? ? x1 ? ,点 B 处的切线斜率为 f ? ? x2 ? ,
故当点 A 处的切线与点 B 处的切垂直时,有 f ? ? x1 ? f ? ? x2 ? ? ?1 . 当 x ? 0 时,对函数 f ? x ? 求导,得 f ? ? x ? ? 2 x ? 2 . 因为 x1 ? x2 ? 0 ,所以 ? 2 x1 ? 2 ?? 2 x2 ? 2 ? ? ?1 , 所以 ? 2 x1 ? 2 ? ? 0, ? 2 x2 ? 2 ? ? 0 .

7

1 ? ? ? 2 x1 ? 2 ? ? ? 2 x2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? 2 x2 ? 2 ? ? 1 2? 3 1 当且仅当 ? ? 2 x1 ? 2 ? = ? 2 x2 ? 2 ? =1,即 x1 ? ? 且x2 ? 时等号成立. 2 2
因此 x2 ? x1 ? 所以函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直时, x2 ? x1 的最小值为 1

? ??? ? 当 x1 ? x2 ? 0 或 x2 ? x1 ? 0 时, f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ,故 x1 ? 0 ? x2 .
当 x1 ? 0 时,函数 f ( x) 的图象在点 x1 , f ? x1 ? 处的切线方程为

?

?

y ? ? x12 ? 2 x1 ? a ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? x ? x1 ? ,即 y ? ? 2 x1 ? 2 ? x ? x12 ? a
当 x2 ? 0 时,函数 f ( x) 的图象在点 x2 , f ? x2 ? 处的切线方程为

?

?

y ? ln x2 ?

1 1 ? x ? x2 ? ,即 y ? ? x ? ln x2 ? 1 . x2 x2

? 1 ? ? 2 x1 ? 2 两切线重合的充要条件是 ? x2 ?ln x ? 1 ? ? x 2 ? a ? 2 1
由①及 x1 ? 0 ? x2 知, ?1 ? x1 ? 0 . 由①②得, a ? x12 ? ln
2

① ②

1 ? 1 ? x12 ? ln ? 2 x1 ? 2 ? ? 1 . 2 x1 ? 2

设 h ? x1 ? ? x1 ? ln ? 2 x1 ? 2 ? ? 1(?1 ? x1 ? 0) , 则 h? ? x1 ? ? 2 x1 ?

1 ?0. x1 ? 1

所以 h ? x1 ?? ?1 ? x1 ? 0 ? 是减函数. 则 h ? x1 ? ? h ? 0 ? ? ? ln 2 ? 1 , 所以 a ? ? ln 2 ? 1 . 又 当 x1 ? (?1,0) 且 趋 近 于 ?1 时 , h ? x1 ? 无 限 增 大 , 所 以 a 的 取 值 范 围 是

? ? ln 2 ? 1, ?? ? .
故当函数 f ( x) 的图像在点 A, B 处的切线重合时, a 的取值范围是 ? ? ln 2 ? 1, ?? ?

8



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