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华师大二附中2013届高三数学周练(六)



华师大二附中 2013 届高三数学周练(六)
一、填空题(56 分) 1. 2 log 4 3 的值等于____ . .

2. ( x ? 2) 7 的展开式中, x 3 项的系数是

3.函数 f(x)= 1 ? 2x 的定义域是_______________.
1 ( x ? R ) 的值域是________. 2 ?1 5.函数 f(x)=1+log2x(x>0)的反函数 f-1(x)=____________.

4.奇函数 f(x)= a ?

x

6 . 夹 在两个平面间的三条平行线段相等,则这两个平面间的位置关系是 ___________________. 7.“ab<0”是“方程 ax2+by2=1 表示双曲线”的 条件.

8.复数 4 ? 3a ? a 2i 与复数 a 2 ? 4ai 相等,则实数 a 的值为_________. 9.甲组有 3 名男生,2 名女生;乙组有 2 名男生,3 名女生,今从甲、乙两组各 抽 1 名同学参加活动,两组都抽得男生的概率是______________. 10.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数

x 成立,则 a 的取值范围为________.
11. 已知数列 {a n } 是公差为 d 的等差数列, 其前 n 项和为 sn, 则有 sm+n=sm+sn+mnd, 类似的, 对于公比为 q 的等比数列 {b n} 来说,设其前 n 项积为 Tn,则关于 Tm+n、 Tm、Tn 及 q 的一个关系式为______________. 12.如图,已知 A(-2,0) ,B(2,0) ,是椭圆
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

的长轴上的两定点,C,D 分别为椭圆的短轴和长轴的端点, ??? ??? ? ? 31 P 是 CD 上的动点,若 AP ? BP 的最小值与最大值分别为 ? , 5 , 10 则椭圆方程是______________.
? a x ?5 ( x ? 6) 13.已知函数 f ( x) ? ? ,数列 an ? f (n) 是单调递 ?(4 ? 0.5a) x ? 4( x ? 6)
A

C P D B

增数列, 则实 数 a 的取值范围为______________.
1

14.对于任意实数 x,[ x] 表示不超过 x 的最大整数,则
[log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ? ? ? [log3 2012] ? ______________.

二、选择题(20 分) 15. f x 3 3? x8? 设 () ? x , 用二分法求方程 3x ? 3x ? 8 ? 0在x ? (1,2) 内近似解的过程中, )

计算得到 f (1) ? 0, f (1.5) ? 0, f (1.25) ? 0, 则方程的根落在区间(

A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 16.下列说法中,正确的是( ) A.数据 5,4,4,3,5,2 的众数是 4 B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方 C.数据 2,3,4,5 的标准差是数据 4,6,8,10 的标准差的一半 D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数 17.已知数列{an}中,a1=3,a2=5,且对大于 2 的正整数 n,总有 an=an-1-an-2,则 a2012 等 于( )A.5 B.-2 C.2 D.3

18.若定义在 R 上的减函数 y ? f ( x) ,若不等式 f ( x2 ? 3x) ? ? f (?3 y ? y 2 ) 成立.且 函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,则当 1 ? x ? 4 时,
A. ? ?1, ? 4

y 的取值范围是( x
D. ?? 2, ? 4



? ?

1? ?

B. ? ?1, ? 4

? ?

1? ?

C. ?? 2,1?

? ?

1? ?

三、解答题(74 分) 19. 分)已知函数 f(x)=Asin(x+ ? )(A>0,0< ? < ? ),x ? R 的最 (12
?? 1? 大值是 1, 其图像经过点 M ? , ? . ? 3 2?

(1)求 f(x)的解析式; (2)

3 12 ? ?? 已知 α,β ? ? 0, ? ,且 f(α)= ,f(β)= ,求 f(α-β)的值. 5 13 ? 2?

2

? 20. 分)已知三棱锥 A ? BCD 中, BCD ? 90? ,BC ? CD ? 1 ,AB ⊥平面 BCD , (14 ?ADB ? 60? , E , F 分别是 AC , AD 上的动点,且
AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) ,当 ? 为 AC AD

何值时, BE ? AD ?

21 . (14 分 ) 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R) , 当 x ? [?1,1] 时 ,
| f ( x) |? 1 .

(1)求证: | b |? 1 ; (2)若 f (0) ? ?1, f (1) ? 1 ,求 f (x) 的表达式.

22.(16 分) 已知数列{xn}中,x1=a, xn+1=

2 xn . 2 1 ? xn

4 ?? ? (1)设 a=tanθ ? 0 ? ? ? ? ,若 x 3 ? ,求 θ 的取值范围; 5 2? ?

? x? y ? (2)定义在(-1,1)内的函数 f(x),对任意 x,y∈(-1,1),有 f(x)-f(y)= f ? ? 1 ? xy ? , ? ? ?
若 f (a) ?
1 ,试求数列{f(xn)}的通项公式. 2

3

23. (18 分 ) 如 图 , 椭 圆 C1:

x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0) 满 足 a 2 b2

a ? 2b ,x 轴被曲线 C2:y=x2-b 截得的线段长等于 C1 的
长半轴长. (1)求 C1,C2 的方程; (2)设 C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相 交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与点 D,E. (i)证明:MD?ME; (ii)记?MAB,?MDE 的面积分别为 S1,S2.问: 是否存在直线 l ,使得

S1 17 = ?请说明理由. S 2 32

4

华师大二附中 2013 届高三数学周练(六)
一.填空题
1.

3;

2. 560;

3. (??, 0] ; 7.充要; 13. (4,8) ;

1 1 4. ( ? , ) ; 2 2

5. f-1(x)= 2x?1 ( x ? R) ;
1 3 10. [? , ] 2 2

6. 相交或平行; 12.
x2 ? y 2 ? 1; 9

8. -4;

9. 6/25;

11. Tm?n ? TmTn qmn ;

14. 10986.

二.选择题 15.B; 16.C; 三.解答题

17.A; 18.D.

? ? 1 ? 19.解: (1)由已知得 A ? 1, 又f ( ) ? sin( ? ? ) ? , 0 ? ? ? ? ,?? ? , f ( x) ? cos x .
3 3 2 2

3 12 ? 4 5 (2)? cos ? ? , cos ? ? , ? , ? ? (0, ),? sin ? ? ,sin ? ? , 5 13 2 5 13 56 ? f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? . 65

20.解: 先来证明:当且仅当 BE ? AC时, 则BE ? AD.(*)

事实上,

??BCD ? 90? , AB ? 面BCD,? DC ? AB, 故DC ? 面ABC .又
? AE AF ? ,? DC ? EF , 故EF ? 面ABC.? AD在平面ABC的射影为AC , AC AD 又 BE ? AC ,故由三垂线定理得: BE ? AD. 反之由三垂线定理的逆定理知,由

BE ? AD, 则 BE ? AC. 故 (*) 成立

再由 BE ? AD, 我们来计算 ? 的值.由 BC ? CD ? 1, 得BD ? 2, 又?ADB ? 60? ,

? AB ? 6, AD ? 2 2, AC ? AB2 ? BC 2 ? 7,? AB2 ? AE ? AC ? AE ? 6 / 7,

??

AE 6 ? . AC 7

21.解: (1)由已知得 | f (?1) |?| a ? b ? c |? 1, | f (1) |?| a ? b ? c |? 1 ∴ | 2b |?| f (1) ? f (?1) |?| f (1) | ? | f (?1) |? 2 ∴ | b |? 1 (2)若 ?
b ? ?1 ,则 f (x) 在 [?1,1] 为增函数,∴ f (?1) ? f (0), 又f (0) ? ?1 2a

∴ | f (?1) |? 1 ,这与 | f (?1) |? 1矛盾; 若 ? b ? 1 ,则 f (x) 在 [?1,1] 为减函数,∴ f (1) ? f (0) ,这与已知矛盾.
2a
5

??

b ? [?1,1] . 2a

? ? ?a ? 2 ? f (0) ? ?1 ? c ? ?1 ? ? ? 从而有 ? f (1) ? 1 , 即? a ? b ? c ? 1 ,解得 ?b ? 0 . 2 ?c ? ?1 ? ? 4ac ? b b ? | |? 1 ?| f (? ) |? 1 ? 4a ? 2a ?
22. (1)因 x1=a>0,故所有 xn>0.又 x n ?1 ?

∴ f ( x) ? 2x 2 ? 1 .

2 1 ? xn xn

? 1 ,所以 xn∈(0,1]

2 x2 4 1 4 2 因为 x3< ,所以 ? ,即 2x2 ? 3x2 ? 2 ? 0. 解得 x 2 ? 或 x2>2. 2 5 2 1 ? x2 5 2 x1 1 1 2 tan? 又 x2∈(0,1],则 0<x2< . 而 x2 ? ? ? sin 2? ,故 0 ? sin 2? ? . 2 2 2 2 1 ? x1 1 ? tan ?
5? ? ?? ? . 12 12 2 (2)令 x=y=0,得 f(0)=0.令 x=0,得 f(0)-f(y)=f(-y),即 f(-y)=-f(y).故 f(x)为奇函

因为 2 ? ? (0, ? ) ,所以 0 ? ? ?

?



? 2 xn ? 数.注意到 f(xn+1)= f ? ?1? x2 ? ? ? n ? ?


? x ? (? x n ) ? f? n ? 1 ? x (? x ) ? ? f ( xn ) ? f (? xn ) ? 2 f ( xn ), ? n n ? ?

f ( x n ?1 ) ? 2, 所以,数列{f(xn)}是等比数列。故 f(xn)=f(x1)?2n-1=f(a)?2n-1=2n-2. f ( xn )
a 2 ) -b, 2

23. (1)由已知可得椭圆的 a,b,c 满足 a ? 2b ,0=(

x2 2 解得 b=1,a =4,所以,椭圆 C1 的方程是 +y =1,曲线 C2 的方程是 y=x2-1. 4
2

?y ? x 2 ? 1 (2)由 ? 得 x2-kx-1=0,则 xA+xB=k,xAxB=-1. ? y ? kx

x 2 ? 1 ? (?1) 由点 A(xA, x -1)及 M(0,-1)得直线 MA 的方程是 y+1= A x, xA
2 A

?x2 2 ? 即 y=xAx-1,由 ? 4 ? y ? 1 得 x2+4(xAx-1)2=4, ?y ? x A x ? 1 ?

得点 D 的坐标是(

8x A 8x B 4x 2 ? 1 4x 2 ? 1 , A 2 ),同理可得点 E 的坐标是( , B 2 ), 1 ? 4x 2 1 ? 4x A 1 ? 4x 2 1 ? 4x B A B
6

???? ? ???? 8x A 8x B 8x 2 8x 2 B A 则 MD =( , ), ME =( , ), 2 2 2 1 ? 4x A 1 ? 4x A 1 ? 4x B 1 ? 4x 2 B ???? ???? ? ???? ???? ? 8x A 8x B 8x 2 8x 2 B A MD ? ME = ? + ? ,由 xAxB=-1 得 MD ? ME =0, 1 ? 4x 2 1 ? 4x 2 1 ? 4x 2 1 ? 4x 2 A B B A

所以,MD?ME. |MD|2=(

8x A 8x 2 A )2+( )2, 2 2 1 ? 4x A 1 ? 4x A
8 | xA | 1? x2 A 1 ? 4x 2 A

于是,|MD|=

,同理,|ME|=

8 | xB | 1? x2 B 1 ? 4x 2 B

,

?MDE 的面积 S?MDE=

2 2 1 8 | xA | 1? xA 8 | xB | 1? xB ? ? 2 1 ? 4x 2 1 ? 4x 2 B A

=

32 | x A x B | 1 ? x 2 ? x 2 ? x 2 x 2 A B A B 1 ? 4( x 2 ? x 2 ) ? 16x 2 x 2 A B A B

=

32 | x A x B | 1 ? ( x A ? x B ) 2 ? 2x A x B ? x 2 x 2 A B 1 ? 4( x A ? x B ) 2 ? 8x A x B ? 16x 2 x 2 A B

,

由 xA+xB=k,xAxB=-1 得 S?MDE= ?ABM 的面积 S?ABM=

32 4 ? k 2 , 25 ? 4k 2

1 1 1 ?1?(|xA|+|xB|)= (xA-xB)= 2 2 2

(x A ? x B ) 2 ? 4x A x B =

1 2

k2 ? 4 .

1 k2 ? 4 17 3 由已知得 2 = ,解得 k=? ,所以,存在满足要求的直线 l,其方程是 2 2 32 32 k ? 4 25 ? 4k 2
3 3 y= x 或 y=- x. 2 2

7



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