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3.1.1数系的扩充与复数的概念


陇 东 学 院 附 中 导 学 案
3.2.2 复数代数形式的 乘除法运算 签 批 科目:数学 年级:高二 教务主任: 学生所在班级: 备课时间: 月 10 日 4 授课教师: 学生姓名: 编号:10

主备人:李亚涛 教研组长: 教务主任:

授课日期: 月 日

【教学目标】 教学目标】 知识目标:1)理解复数的基本概念 2)理解复数相等的充要条件 3)了解复数的代数表示方法 知识目标:1) 过程与方法目标: 过程与方法目标:在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求 根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系 情感目标:转化思想(通过两个复数相等的充要条件把复数问题转化为实数问题)的应用,培养良好的思维品质。 情感目标 【重点难点】 重点难点】 重点:引进虚数单位 i 的必要性、对 i 的规定、复数的有关概念 难点:实数系扩充到复数系的过程的理解,复数概念的理解. 过程与方法】 【过程与方法】 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2, 教学目标: 教学目标: a3,b1,b2,b3∈R). R 掌握复数的乘法的运算 ∵ (z1z2)z3= [ (a1+b1i)(a2+b2i) ] (a3+b3i)= 教学重点: 教学重点: [(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i) 掌握复数的乘法的运算 = [ (a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3 ] + 教学过程 [(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i 掌握复数的除法的运算 =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1 教学重点: 教学重点: b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i, 掌握复数的除法的运算 同理可证: 教学过程 z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+ 一、复习:复数的加减法及其几何意义,复数的乘 a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i, 法 ∴(z1z2)z3=z1(z2z3). 一、复习:复数的加减法及其几何意义 (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 二、引入新课: 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2, 1.乘法运算规则: a3,b1,b2,b3∈R). R 规定复数的乘法按照以下的法则进行: ∵ z1(z2+z3)=(a1+b1i) [ (a2+b2i)+(a3+b3i) ] 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个 R =(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i] 复 数 , 那 么 它 们 的 积 (a+bi)(c+di)=(ac - = [ a1(a2+a3)-b1(b2+b3) ] + bd)+(bc+ad)i. [b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i 其实就是把两个复数相乘, 类似两个多项式相乘, =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2 2 在所得的结果中把 i 换成-1, 并且把实部与虚部分别 +a1b3)i. 合并.两个复数的积仍然是一个复数. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) 2.乘法运算律: =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3) (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 +(b1a3+a1b3)i 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2, =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3 a3,b1,b2,b3∈R). R + a 1b 3) i ∵ =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2 z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i, + a 1b 3) i z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a ∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 2b 1) i . 又 a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. (4) ∴z1z2=z2z1. 课堂练习: 课堂练习:第 106 页练习 (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 课后作业: 课后作业:第 108 页习题 A:5,6,7

3.2.3 复数的除法

教学目标: 教学目标: 二、引入新课: 1.复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数 a+bi 除以复数 c+di 的商,记

为:(a+bi) (c+di)或者 2.除法运算规则: ①设复数 a+bi(a,b∈R),除以 c+di(c,d∈R), R R 其商为 x+yi(x,y∈R), R 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i. ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.

由复数相等定义可知

解这个方程组,得

于是有:(a+bi)÷(c+di)=

i.

2

2

②利用(c+di)(c - di)=c +d .于是将 母有理化得: 原 =

的分



.

∴(a+bi)÷(c+di)= 课堂练习: 课堂练习:第 108 页练习 课后作业: 课后作业:第 108 页习题 A:8

.



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