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湖北省七市(州)2015届高三3月联合考试理数



机密★启用前

试卷类型:A

湖北省七市(州)2015 届高三 3 月联合考试 数学(理工类)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 ) 1.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,i 为虚数单位,则在复平面内 z 对应的点的坐标是 A. (4

,2) B. (4,-2) C. (2,4) D. (2,-4)

2.设集合 A ? {x |

x?2 ? 0} , B ? {x | log2 ( x ? 1) ? 0} ,那么“x∈A”是“x∈B”的 x ?1
B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.以下四个命题中:

①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1; ③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的; ④若某项测量结果 ? 服从正态分布 N(1,? ) ,且 P( ? ≤4)=0.9,则 P( ? ≤-2)=0.1.
2

其中真命题的个数为 A.1 B.2 C 3 D.4

4.已知菱形 ABCD 的对角线 AC 长为 2,则 AD · AC = A.4 B.2 C.1 D.

1 2

5.若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积是 A.

22 3

B.

20 3

C.7

D.6

6.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,?? ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示,为了得到

g ( x) ? 3 sin 2x 的图像,只需将 f ( x) 的图像

A.向左平移

2? 个单位长度 3

B.向左平移

? 个单位长度 3
2? 个单位长度 3

C.向右平移

D.向右平移

? 个单位长度 3
1 , 2

7. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) , 若数列 {an } 满足 a1 ? 且 an ?1 ? A.6

1 ,则 f (a11 ) = 1 ? an
B.-6 C.2 D.-2

8.甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面,并约定谁先到后必须等 10 分钟,若等待 10 分钟后另一人还没有来就离开.如果甲是 8:30 分到达的,假设乙在 8 点到 9 点内到达,且乙在 8 点到 9 点之间何时到达是等可能的,则他们见面的概率是 A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

9. 过曲线 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线, 设切点为 M, a 2 b2

延长 FM 交曲线 C3 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦点,若点 M 为线 段 FN 的中点,则曲线 C1 的离心率为 A. 5 B.

5 2

C. 5 +1 D.

5 ?1 2

10.设函数 f ( x) 在[-1,t]上的最小值为 N(t) ,最大值为 M(t) ,若存在最小正整数 k,使得 M (t)- N(t)≤k(t+1)对任意 tt∈(-1,b]成立,则称函数 f ( x) 为区间(-1,b]上的“k 阶 ? 函 数” ,若函数 f ( x) =x 为区间(-1,4]上的“k 阶 ? 函数” ,则 k 的值为
2

A.4

B.3

C.2

D.1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 25 分。将答案填在答题卡相应位置上。 ) (一)必考题(11-14 题)

11.已知角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点 P(-3,4) ,则 sin( ? ?

?
4

)=





? 1 2 ? x ,0 ? x ? 1 12.若函数 f ( x) ? ? 的图象与 x 轴所 3 5 5 ?? x ? ,1 ? x ? 2 3 ? 2 a 6 围成的封闭图形的面积为 a,则 ( x ? 2 ) 的展开式 x
中的常数项为 ▲ (用数字作答) . 13.执行如右图所示的程序框图,若输出结果是 i=3, 则正整数 a0 的最大值为 ▲ .

14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题 时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,?, 其中从第三个数起, 每一个数都等于它前面两个数的和, 人们把这样的一列数所组成的数列 {an } 称
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 为“斐波那契数列” .那么 是斐波那契数到中的第 a2015



项.

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目 序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分。 ) 15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在 圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E. 若 AB=6,ED=2,则 BC= ▲ .

16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线 ? cos ? ? 与曲线 ? ? 2 cos? 相交于 A、B 两点,O 为极点,则∠AOB= ▲

1 2


三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a、b、c,设 m=(a-b,c) ,n=(a-c,a+b) , 且 m∥n. (1)求∠B;

(2)若 a=1,b= 3 ,求△ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 设 {an } 为公比不为 1 的等比数列, a4 =16,其前 n 项和为 Sn ,且 5 S1 、2 S2 、 S3 成等差数列. (l)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?
*

1 ,Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在正整数 k,使得对于任意 log 2 an · log 2 an ?1
2 3
k

n∈N 不等式 Tn > ( ) 恒成立?若存在,求出 k 的最小值;若不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 如图,正四棱锥 S-ABCD 中,SA=AB,E、F、G 分别为 BC、SC、DC 的中点,设 P 为线段 FG 上任意一点. (l)求证:EP⊥AC; (2)当直线 BP 与平面 EFG 所成的角取得最大值时,求二面角 P-BD-C 的大小.

20. (本小题满分 12 分) 十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设” ,为响应号召,某市红星路小区的 环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹” .为此,红星路小区的环保人士对

该小区年龄在[15,75)的市民进行问卷调查,随机抽查了 50 人,并将调查情况进行整理后制成 下表: 年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数 赞成人数 6 3 10 6 12 10 12 6 5 4 5 3

(1)请估计红星路小区年龄在[15,75)的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者 的年龄平均值; (2)若从年龄在[55,65) 、[65,75)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记被选 4 人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

21. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ,F1、F2 为椭圆的左、右焦点,A、B 为椭圆的左、右顶点,点 P 为 a2 4
1 . 2

椭圆上异于 A、B 的动点,且直线 PA、PB 的斜率之积为(1)求椭圆 C 的方程;

(2)若动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两个定点,使得这两 个定点到直线 l 的距离之积为 4?若存在,求出两个定点的坐标;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1 (a∈R) .
x

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 F ( x) ? f ( x) ?

1 2 x 在[1,2]上有且仅有一个零点,求 a 的取值范围; 2
n
* 2

( 3 ) 已 知 当 x>-1,n ≥ 1 时 , (1 ? x) ? 1 ? nx , 求 证 : 当 n ∈ N , x <n 时 , 不 等 式

x n ? n(1 ? ) n e x ? x 2 成立. n

2015 年 3 月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试 数学(理工类)参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准 的精神进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考 生的解答在某一步出现错误, 影响了后继部分, 但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半,如果有较 严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题: A 卷 DCBCB B 卷 BCCBB BCDBD BACDA

二.填空题: 11.
2 10

12.15

13.3

14.2016

15. 2 3

16.

2? 3

三.解答题: 17.(1)解:∵m∥ n,∴ (a ? c)c ? (a ? b)(a ? b) ? 0 ∴ a 2 ? c2 ? b2 ? ac 2分 3分

由余弦定理得: cos B ? 又 0 ? B ? ? ?B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? 2ac 2


5分 6分

?
3

(2)解:∵ a ? 1, b ? 3 ,由正弦定理得
1 3 1 ,∴ sin A ? ? ? sin A sin 2 3

8分

∵a < b,∴A < B,∴ A ?

?
6

10 分

故 C ? ? ? ( A ? B) ? ? ? ( ∴ S ?ABC ?

?
3

?

?
6

)?

?
2

11 分 12 分

1 1 3 ab ? ? 1 ? 3 ? . 2 2 2

18.(1)解:∵5S1、2S2、S3 成等差数列 ∴ 4S2 ? 5S1 ? S3 ,即 4(a1 ? a1q) ? 5a1 ? a1 ? a1q ? a1q 2 ∴ q2 ? 3q ? 2 ? 0 ∵ q ? 1 ,∴q = 2 又∵ a4 ? 16 ,即 a1q3 ? 8a1 ? 16 , a1 ? 2 ∴ an ? 2n . 5分 4分 2分

2 (2)解:假设存在正整数 k 使得对于任意 n∈N*不等式 Tn ? ( )k 都成立 3
2 则 (Tn )min ? ( )k 3
又 bn ?
1 1 1 1 ? ? ? log 2 2n ? log 2 2n ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

7分 9分

1 1 1 所以 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3

1 1 1 ?( ? ) ? 1? n n ?1 n ?1

10 分

显然 Tn 关于正整数 n 是单调递增的,所以 (Tn )min ? T1 ? ∴

1 2
11 分

1 2 ? ( )k ,解得 k≥2. 2 3

2 所以存在正整数 k,使得对于任意 n∈N*不等式 Tn ? ( )k 都成立 3
且正整数 k 的最小值为 2 . 12 分

19.(1)证:设 AC 交 BD 于 O, ∵S-ABCD 为正四棱锥,∴SO⊥ 底面 ABCD,∴SO⊥ AC 又∵BD⊥AC,
∴AC ? 面SBD ? AC ? SD ? ? ? AC ? GF ? SD FG ? ? AC ? 面GEF AC ? GE ? ?

1分 3分

又∵ PE ? 面GEF ,∴ PE ? AC . (2)解:设 AB = 2,如图建立空间直角坐标系, 则(0,1,0),E(1,0,0),C(1,1,0),S(0,0, 2 ),
2 1 1 , , ),B(1, ?1 ,0) 2 2 2

4分

F(

5分

1 1 2 ? , ) ∴ GF ? ( , 2 2 2

? ? 2 ? , ?) , 设 GP ? ? GF ? ( , 2 2 2
? ? 2 1? , ?) 故点 P ( , 2 2 2
∴ BP ? (

?
2

? 1, 2?

?
2



2 ?) 2

6分

设面 EFG 的法向量为 n = (abc) ∵ n ? EF , n ? GE

?a ? b ? ∴? a b ,令 a = 1 得 n = (1,1,0) 2 ? ? ? c?0 ? ? 2 2 2
设 BP 与平面 EFG 所成角为 ? ,则
|

7分

?
2

sin ? ?

?1? 2 ?
2

?
2

|

1 2 ? ( ? 1) ? (2 ? ) ? ? 2 2 2 2
2

?

?

=

2 2

1

? ? 3? ? 5
2

8分

∵点 P 在线段 FG 上,∴ 0 ≤ ? ≤ 1 ,即 ? =1 时 sin ? 取最大值 此时点 P 与点 F 重合 设二面角 P-BD-C 的大小为 ? ∵点 P 到平面 ABCD 的距离为
2 2 2 则 sin ? ? ? 1 2
2 ,点 P 到 BD 的距离为 1 2

9分

10 分

∴二面角 P-BD-C 的大小为 45 .

12 分

20.(1)解:赞成率为

32 ? 0.64 50

2分 4分

被调查者的平均年龄为 20× 0.12 + 30× 0.2 + 40× 0.24 + 50× 0.24 + 60× 0.1 + 70× 0.1 = 43 (2)解:由题意知: P(? ? 0) ?
P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?
2 2 C4 C3 9 ? C52C52 50

1 2 2 1 1 C4 C3 ? C4 C3C2 24 ? 2 2 C5 C5 50 1 1 1 2 2 C4 C3C2 ? C4 C2 15 ? 2 2 C5 C5 50 1 2 C4 C2 2 ? 2 2 C5 C5 50

8分

∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

9 50

24 50

15 50

2 50

10 分 12 分

∴ E? ? 1?

24 15 2 6 ? 2? ? 3? ? . 50 50 50 5

0), B(a, 0) ,设 P( x0 ,y0 ) ,则 21.(1)解: A(?a,

x0 2 y0 2 ? ?1 a2 4

依题意

y0 y0 1 x2 y 2 ? ? ? ,得 a 2 ? 8 ,∴椭圆标准方程为 ? ?1 x0 ? a x0 ? a 2 8 4

4分

(2)解:① 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = kx + p,代入椭圆方程得 (1 + 2k2)x2 + 4kpx + 2p2-8 = 0 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 所以△ =16k2p2-4(1 + 2k2)(2p2-8) = 8(4 + 8k2-p2) = 0,即 4 + 8k2 = p2 设 x 轴上存在两个定点(s,0),(t,0),使得这两个定点到直线 l 的距离之积为 4,则
| ks ? p | | kt ? p | | k 2 st ? kp( s ? t ) ? p 2 | ? ? ?4 k2 ?1 k2 ?1 k2 ?1

5分

7分

即 (st + 4)k + p(s + t) = 0(*),或(st + 12)k2 + (s + t)kp + 8 = 0 (**)
? st ? 4 ? 0 ?s ? 2 ? s ? ?2 或? 由(*)恒成立,得 ? ,解得 ? s ? t ? 0 t ? ? 2 ? ? ?t ? 2

11 分

(**)不恒成立. ② 当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 的方程为 x ? ? 2 时 定点(-2,0)、F2(2,0)到直线 l 的距离之积 (2 2 ? 2)(2 2 ? 2) ? 4 . 综上,存在两个定点(2,0)、(?2,0),使得这两个定点到直线 l 的距离之积为定值 4. 13 分 注:第(2)小题若直接由椭圆对称性设两定点为关于原点对称的两点,则扣 2 分; 第(2)小题若先由特殊情况得到两个定点,再给予一般性证明也可。

22.(1)解: f ?( x) ? e x ? a 当 a≤0 时, f ?( x) ≥ 0 ,则 f ( x) 在 (??, ??) 上单调递增
ln a) 上单调递减, f ( x) 在 (ln a, ? ?) 上单调递增. 当 a > 0 时, f ( x) 在 (??,

1分 2分 4分

1 (2)解:由 F ( x) ? f ( x) ? x2 ? 0 ,得 a ? 2
ex ?

ex ?

1 2 x ?1 2 x

5分

考查函数 g ( x) ?

1 2 1 x ?1 ( x ? 1)e x ? x 2 ? 1 2 2 (x∈[1,2]),则 g ?( x) ? x2 x

6分

令 h( x) ? ( x ? 1)e x ?

1 2 x ? 1 , h?( x) ? x(e x ? 1) 2
7分

当 1≤x≤2 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) 在[1,2]上单调递增 ∴ h( x) ≥ h(1) ?
ex ?

1 ? 0 , g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在[1,2]上单调递增 2

∴ g ( x) ? ∴当 e ?

1 2 x ?1 1 3 2 在[1,2]上的最小值为 g (1) ? e ? ,最大值为 g (2) ? (e2 ? 3) x 2 2

8分 9分

1 3 1 ≤ a ≤ ? e2 ? 3? 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? x2 在[1,2]上有且仅有一个零点 2 2 2

x x (3)解: n ? n(1 ? )n ex ≤ x2 ? n(1 ? )n ex ≥ n ? x2 n n
x

10 分 11 分

由(1)知 e x ≥ 1 ? x ,则 e n ≥ 1 ?

x n

∵ x2 ? n ,且 n ∈ N * ,∴ x 2 ? n ≤ n2 ,∴ ? 又∵ (1 ? x)n ≥1 ? nx ,∴ n(1 ?

x2 ? ?1 n2
x

12 分

x n x x x x ) e ? n[(1 ? )e n ]n ≥ n(1 ? )(1 ? ) n n n n n

13 分

? n(1 ?

x2 n x2 ) ≥ n(1 ? n ? 2 ) ? n ? x2 2 n n

14 分



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