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3.1.1 方程的根与函数的零点课件1



第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点

我们知道,令一个一元二次函数

y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的函数值y=0,
2

则得到一元二次方程

ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0)
2

思考:一元二次方程 ax2

+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?

问题1 观察下表(一),说出表中一元二次方程的实数根 与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系。
一元二次方 程
-25 2 x -2x-3=0 -20

方程的根
-15

二次函数
-10 -5

函数的图象
-1
-2

图象与x轴的 交点 (-1,0),(3,0)

x1=-1,x2=3 y=x2-2x-3

3

-4

-6

x2-2x+1=0
-15

x1=x2=1
-10

y=x2-2x+1
-5

2
-8

(1,0)
1

-10

-12

-2

x2-2x+3=0
-25 -20

无实数根
-15 -10

y=x2-2x+3
-5

4 -14

-4

没有交点
1

2 -16

-18

-6
-2 -20

结 论: 1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
-8
-4 -6

-10

问题2
若将上面特殊的一元二次方程推广到一般
的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及相应

的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴
交点的关系,上述结论是否仍然成立?

判别式△ = 方程ax2 +bx+c b2-4ac =0(a≠0)的根
h ?x? = x2- 2?x-3
-15 -10

函数y= ax2 函数的图象 +bx+c(a≠0) 与 x 轴的交 的图象 点
x1
-2

△>0

两个不相等 的实数根x1 、 x2
-5

x2

(x1,0) (x2,0)

-4

-6

△=0
-10

有两个相等 的实数根x1 = x2
-5

2
-8

(x1,0)
x1

-10

-2

4

△<0
-10

没有实根
-5

没有交点
2
-4

1
-2
-6

结 论
1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的
个数。 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横 坐标。

函数零点的定义:
对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点(zero point)。

结论:函数的零点就是方程f(x)=0的实数根,
也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.
等价关系 方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点

例1

求下列函数的零点
3 X= 4
X=3或x=-1 X=0 X=9

(1) f ( x) ? 4 x ? 3 (2) f ( x) ? x ? 2 x ? 3
2

(3) f ( x) ? 2 ? 1
x

(4) f ( x) ? log3 x ? 2

(1)观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象:
y
2

1

-2

-1

0 1 -1

2

3

4

x

①在[-2,1]上,我们发现函 数f(x)在区间(-2,1)内有零 点x= -1 ,有f(-2) > 0, f(1) <0。 f(-2)· f(1) < 0 (填<或>)。 ②在[2,4]上,我们发现函数f(x) 在区间(2,4)内有零点x= 3 , 有f(2) < 0,f(4) > 0 f(2)· f(4) < 0 (填<或>)。

-2 -3 -4

思考:函数在区间端点上的函数值的符号情况,与
函数零点是否存在某种关系?

(Ⅱ)观察下面函数的图象
由以上两步探索, 你可以得出什么 样的结论? a
b

c

d

f (b) < 0 (<或>=) ① f (a )· 在区间[a,b]上 有 (有/无)零点; f (c) < ② f (b) · 在区间[b,c]上
0 (<或>=). 有 (有/无)零点;
0 (<或>=). 有 (有/无)零点;

f (d ) < ③ f (c) · 在区间[c,d]上

零点存在性定理:

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续

不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b), 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。 1.若f(a)· f(b)<0,则f(x)在(a,b)内就有零点吗? 2.若f(x)在(a,b)内有零点,一定能得出f(a)· f(b)<0 吗?

对函数零点存在性的判定要注意四点:
1.函数的图象既要在区间[a,b]上连续, 又要在区间[a,b]端点处的函数值异号,则存在零点。 2.函数在区间[a,b]上连续,且存在零点, 在区间[a,b]端点的函数值可能异号也可能同号。 3.函数f(x)在[a,b]上是单调函数,
如果f(a)f(b)<0,那么这个函数在(a,b)上恰好有唯一的零点; 如果f(a)f(b)>0,那么这个函数在区间(a,b)上没有零点。

4.只能用来判断函数零点的存在性,不能用来 判断函数零点的个数。

例2 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。

解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表 和图象
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f ( x ) -4

-1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由表3-1和图3.1—3可知 y 14 f(2)<0,f(3)>0,即f(2)· f(3)<0, 12 说明这个函数在区间(2,3)内 10 8 有零点。 6
由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数,所以 它仅有一个零点。
4 2 0 -2 -4 -6 1 2

. .3 ..
4

.

.

.

.
5 6 7 8 9 10

x

.

1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在(0,+∞) 内的零点有1004个,则f(x)的零点个数为 2009 个。
1 函数 f ( x ) ? e ? 5 的零点的个数是 2.
x

课堂小结:
1、函数零点的定义; 2、函数的零点与方程的根的关系; 3、确定函数的零点的方法。



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