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专题六 函数的最值与导数、优化问题



专题六

函数的最值与导数、优化问题
的典线,那

一、基础知识:1.如果在区间 ? a, b? 上函数 y ? f ? x ? 的图象是一条 么它必有最大值和最小值. 2.求函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤: ①求函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b ? 内的 ②将函数

y ? f ? x ? 的各 一个为最小值. 二、题型讲解:Ⅰ.求函数的最值: 1.求函数 f ? x ? ? ;

与 f ? a ? , f ? b ? 进行比较, 其中最大的一个为最大值, 最小的

1 x ? sin x, x ? ? 0, 2? ? 上的最大值和最小值. 2

2.函数 f ? x ? ? xe 在 ? 0, 4? 上的最大值为(
?x

) D.

A.0

B.

1 e

C.

4 e2

2 e2

? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求典线 y ? f ? x ? 在点 ? o, f ? 0?? 处的切线方程;
2 x 3.设 a ? R ,函数 f ? x ? ? x ? ax ? a e .

?

(Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 ? ?2, 2? 上的最小值.

1

Ⅱ.已知函数最值有关问题求参数 4. ①已知函数 f ? x ? ? 数 a 的取值范围是

1 ? 1nx 1? ? ,若函数在区间 ? a, a ? ? , (其中 a ? 0 )上存在最大值,则实 x 2? ?


②设 a ? R ,函数 f ? x ? ? ax3 ? 3x2 ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? f ? x ? , x ??0, 2? 在 x ? 0 处取得最 大值,则实数 a 的取值范围是 .

5.已知函数 f ? x ? ? 1nx ?

a?x ,其中 a 为常数且 a ? 0 . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与直线 y ? (Ⅱ)若函数 f ? x ? 的区间 ?1, 2? 上的最小值为

?

?

1 x ? 1 ,求 a 的值; 2

1 ,求 a 的值. 2

2

Ⅲ.恒成立问题:一些题中求参数取值范围珠问题,常常转化为恒成立问题,利用 f ? x ? ? a 恒成 立? ? ? f ? x ?? ? max ? a 或 f ? x ? ? a 恒成立 ? ? ? f ? x ?? ? min ? a 的思想解题. 对任意 x ? 0 ,不等式 f ? x ? ? ?2c2 恒成立,求 c 的取值范围. 6.已知函数 f ? x ? ? ax41nx ? bx4 ? c ? c ? 0? 在 x ? 1 处取得极值 ?3, ?c ,其中 a, b, c 为常数,若

7.设函数 f ? x ? ? ax ?1nx, g ? x ? ? a2 x2 , 是否存在正实数 a , 使 f ?x ? ? g x? 成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存,请说明理由.

? 对一切正实数 x 都

Ⅳ.利用导数证明不等式 8.(13 辽宁)证明:当 x ??0,1? 时,

2 x ? sin x ? x . 2

3

9.(11 陕西)设 f ? x ? ? 1nx, g ? x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ? . (Ⅰ)求 g ? x ? 的单调区间和最小值; (Ⅱ)讨论 g ? x ? 与 g ? (Ⅲ)求 a 的取值范围,使得 g ? a ? ? g ? x ? ?

?1? ? 的大小关系; ? x?

1 对任意 x ? 0 . a

Ⅴ.生活中的优化问题 10.(13 重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) ,设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方 米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 ? 元( ? 为圆周率). (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V ? r ? ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 V ? r ? 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

点评:利用导数解优化问题的步骤:

①抽象出实际问题的数学模型,列出函数关系式 y ? f ? x ? ; ②求导函数 f ? x ? ,解方程 f ' ? x ? ? 0 ; ③比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小,最大者为最大值,最小者为最小值; ④依据实际问题的意义给出答案.
4



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