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高中数学选修4-4:极坐标系与极坐标方程综合练习一



极坐标系与方程综合练习一
(满分 100 分,考试时间:60 分钟)

一、选择题: 6 小题,每小题 5 分) (共
1.设点 M 的直角坐标为(-1,- 3),则它的极坐标为 π A.(2, ) 3 B.(2, 2π ) 3 4π C.(2, ) 3 ( ) 5π ) 3 ( C.一条直线和一个圆 )

D.(2,<

br />
2.极坐标方程 ρcosθ=2sin2θ 表示的曲线为 A.一条射线和一个圆 B.两条直线

D.一个圆 ( )

3.极坐标方程 ρ=cosθ 化为直角坐标方程为 1 1 A.(x+ )2+y2= 2 4 1 1 B.x2+(y+ )2= 2 4 1 1 C.x2+(y- )2= 2 4

1 1 D.(x- )2+y2= 2 4 ( )

4.在极坐标系中,圆 ρ=-2sinθ 的圆心的极坐标是 π A.(1, ) 2 π B.(1,- ) 2 C.(1,0)

D.(1,π)

π 5.在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ=4sinθ,过点(4, )作曲线 C 的切线,则切线长为 6 A.4 B. 7 C.2 2 D.2 3 ( )

6.(2013· 西城期末)在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是 A.ρ=cosθ B.ρ=sinθ C.ρcosθ=1

D.ρsinθ=1

二、填空题: 10 小题,每小题 5 分) (共
7.若曲线的极坐标方程为 ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的 直角坐标方程为________. π π 8.在极坐标系中,点 P(2,- )到直线 l:ρsin(θ- )=1 的距离是________. 6 6 π π 9.在极坐标系中,已知两点 A,B 的极坐标分别为(3, ),(4, ),则△AOB(其中 O 为极点)的面积为________. 3 6 π 10.在极坐标系中,直线 ρsin(θ+ )=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为________. 4 π 11.在极坐标系中,圆 ρ=2cosθ 的圆心的极坐标是________,它与方程 θ= (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐 4 标是________. 12.(2013· 西安五校)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=-1 的交点的极坐标为________. 13.(2013· 沧州七校联考)在极坐标系中,直线 ρ(cosθ-sinθ)+2=0 被曲线 C:ρ=2 所截得弦的中点的极坐标为 ________. 14.已知点 M 的极坐标为(6, 15.在极坐标系中,点 P(2, 11π ),则点 M 关于 y 轴对称的点的直角坐标为________. 6

3π )到直线 l:3ρcosθ-4ρsinθ=3 的距离为________. 2

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16. (2012 安徽理)在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线

??

?
6

( ? ? R)

的距离是 _____

三、解答题: 2 小题,共 20 分) (共
17. (本小题 6 分)从极点 O 作直线与另一直线 l:ρcosθ=4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P,使 OM· OP=12. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上的任意一点,试求 RP 的最小值.

π 2 18. (本小题 6 分)在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cosθ+sinθ 和直线 l:ρsin(θ- )= . 4 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标.

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极坐标系与方程综合练习一
一、选择题:
1.设点 M 的直角坐标为(-1,- 3,3),则它的极坐标为 π A.(2, ) 3 答案 C ( C.一条直线和一个圆 ) 2π B.(2, ) 3 4π C.(2, ) 3 ( ) 5π ) 3

D.(2,

2.极坐标方程 ρcosθ=2sin2θ 表示的曲线为 A.一条射线和一个圆 答案 C B.两条直线

D.一个圆

3.极坐标方程 ρ=cosθ 化为直角坐标方程为 1 1 A.(x+ )2+y2= 2 4 答案 D; 解析 1 1 B.x2+(y+ )2= 2 4 1 1 C.x2+(y- )2= 2 4

(

)

1 1 D.(x- )2+y2= 2 4

由 ρ=cosθ,得 ρ2=ρcosθ,∴x2+y2=x.选 D. ( C.(1,0) )

4.在极坐标系中,圆 ρ=-2sinθ 的圆心的极坐标是 π A.(1, ) 2 答案 π B.(1,- ) 2

D.(1,π)

π B;化为普通方程 x2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为(1,- ) 2

π 5.在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ=4sinθ,过点(4, )作曲线 C 的切线,则切线长为 6 A.4 答案 解析 C π ρ=4sinθ 化为普通方程为 x2+(y-2)2=4,点(4, )化为直角坐标为(2 3,2),切线长、圆心到定点的距 6 B. 7 C.2 2 D.2 3

离及半径构成直角三角形,由勾股定理,切线长为 ?2 3?2-22=2 2. 6.(2013· 西城期末)在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是 A.ρ=cosθ 答案 B.ρ=sinθ C.ρcosθ=1 ( )

D.ρsinθ=1

C;过点(1,0)且与极轴垂直的直线,在直角坐标系中的方程为 x=1,所以其极坐标方程为 ρcosθ=1,

二、填空题:
7.若曲线的极坐标方程为 ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的 直角坐标方程为________. 答案 解析 x2+y2-4x-2y=0
? ?x=ρcosθ, x y 2y 4x 由? ?cosθ=ρ,sinθ=ρ,ρ2=x2+y2,代入 ρ=2sinθ+4cosθ,得 ρ= ρ + ρ ?ρ2=2y+4x?x2 ? ? y=ρsinθ

+y2-4x-2y=0. π π 8.在极坐标系中,点 P(2,- )到直线 l:ρsin(θ- )=1 的距离是________. 6 6 答案 3+1
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解析

依题意知,点 P( 3,-1),直线 l 为 x- 3y+2=0,则点 P 到直线 l 的距离为 3+1.

π π 9.在极坐标系中,已知两点 A,B 的极坐标分别为(3, ),(4, ),则△AOB(其中 O 为极点)的面积为________. 3 6 答案 解析 3 1 π π 由题意得 S△AOB= ×3×4×sin( - ) 2 3 6

1 π = ×3×4×sin =3. 2 6 π 10.在极坐标系中,直线 ρsin(θ+ )=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为________. 4 答案 解析 4 3 π 直线 ρsin(θ+ )=2 可化为 x+y-2 2=0,圆 ρ=4 可化为 x2+y2=16,由圆中的弦长公式,得 4 2 22 42-? ? =4 3. 2

2 r2-d2=2

π 11.在极坐标系中,圆 ρ=2cosθ 的圆心的极坐标是________,它与方程 θ= (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐 4 标是________. 答案 解析 π (1,0) ( 2, ) 4 ρ=2cosθ 表示以点(1,0)为圆心,1 为半径的圆,故圆心的极坐标为(1,0).

π π 当 θ= 时,ρ= 2,故交点的极坐标为( 2, ). 4 4 12.(2013· 西安五校)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=-1 的交点的极坐标为________. 答案 解析 ( 2, 3π ) 4

ρ=2sinθ 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,

ρcosθ=-1 的直角坐标方程为 x=-1.
2 ? 2 ? ?x +y -2y=0, ?x=-1, 联立方程,得? 解得? ? ? ? x=-1, ? y=1,

即两曲线的交点为(-1,1).又 0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为( 2,

3π ). 4

13.(2013· 沧州七校联考)在极坐标系中,直线 ρ(cosθ-sinθ)+2=0 被曲线 C:ρ=2 所截得弦的中点的极坐标为 ________. 答案

? 2,3π? 4? ?

解析

直线 ρ(cosθ-sinθ)+2=0 化为直角坐标方程为 x-y+2=0,曲线 C:ρ=2 化为直角坐标方程为 x2+y2
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3π =4.如图,直线被圆截得弦 AB,AB 中点为 M,则|OA|=2,|OB|=2,从而|OM|= 2,∠MOx= . 4 3π ∴点 M 的极坐标为? 2, 4 ?. ? ? 14.已知点 M 的极坐标为(6, 答案 解析 (-3 3,-3) ∵点 M 的极坐标为(6, 11π ), 6 11π ),则点 M 关于 y 轴对称的点的直角坐标为________. 6

11π π 3 ∴x=6cos =6cos =6× =3 3, 6 6 2 11π π 1 y=6sin =6sin(- )=-6× =-3. 6 6 2 ∴点 M 的直角坐标为(3 3,-3). ∴点 M 关于 y 轴对称的点的直角坐标为(-3 3,-3). 15.在极坐标系中,点 P(2, 答案 解析 =1. 1 在相应直角坐标系中, P(0, -2), 直线 l 方程为 3x-4y-3=0, 所以 P 到 l 的距离 d= |3×0-4×?-2?-3| 32+42 3π )到直线 l:3ρcosθ-4ρsinθ=3 的距离为________. 2

三、解答题:
16.从极点 O 作直线与另一直线 l:ρcosθ=4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P,使 OM· OP=12. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上的任意一点,试求 RP 的最小值. 答案 解析 (1)ρ=3cosθ (2)1

(1)设动点 P 的坐标为(ρ,θ),

M 的坐标为(ρ0,θ),则 ρρ0=12. ∵ρ0cosθ=4,∴ρ=3cosθ 即为所求的轨迹方程. 3 3 (2)由(1)知 P 的轨迹是以( ,0)为圆心,半径为 的圆,易得 RP 的最小值为 1. 2 2

π 2 17.在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cosθ+sinθ 和直线 l:ρsin(θ- )= . 4 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程;
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(2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标. 解析 =0. π 2 直线 l:ρsin(θ- )= ,即 ρsinθ-ρcosθ=1,则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1,即 x-y+1=0. 4 2 (2)由?
? ? ? ?x +y -x-y=0,
2 2

(1)圆 O:ρ=cosθ+sinθ,即 ρ2=ρcosθ+ρsinθ,圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y,即 x2+y2-x-y

x-y+1=0,

得?
? ?

? ?x=0,

y=1.

π 故直线 l 与圆 O 公共点的极坐标为(1, ). 2

).

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