2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

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2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
一．选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? ? 1.函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4 ? y ? sin( x ? ) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为 4 A. y ? sin x B. y ? cos x C. y ? sin x ? 2 D. y ? cos x ? 4

2.如果二次方程 x2 ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个
1 的最小值是 b( a ? b )

D. 8 个

3.设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此四棱锥, 使得
截面四边形是平行四边形, 则这样的平面

?

A. 不存在

B. 只有 1 个

C. 恰有 4 个

D. 有无数多个

5.设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an?2 ? 16an?1 ? 63an , n ?N*, 则 a2005 被
64 除的余数为

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖都是
单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼 色方法有

A. 308 个

B. 30 ? 257 个

C. 30 ? 207 个

D. 30 ? 217 个

二．填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 7.设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2 ??? ? 向量 OB ? . 8.设无穷数列 {an } 的各项都是正数, Sn 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数

n , an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为
9.函数 y ?| cos x | ? | cos2 x | ( x ? R) 的最小值是
.

.

10.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、 F 、 G
分别是棱 AA1 、 C1D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 .

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11.由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样 的 5 位数共有 . 12. 已知平面上两个点集 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ? 2( x 2 ? y 2 ), x, y ? R},

N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ?1| ? 1, x, y ?R}. 若 M ? N ? ? , 则 a 的取值范围是
.

三．解答题 (第一题、第二题各 15 分；第三题、第四题各 24 分) 13.已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 BC BM N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设 ? ? , 试求 (用 ? 表示). BN MN
A

N B M D C

14.求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,?, xn ,
当

?x
i ?1

n

i

? 0 时, 总有

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn?1 ? x1 ).

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15.设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 a 2 b2

x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,
使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e
R

y
Q＇

Q

的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率.

M‘ P’ P F

M O

x

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16.(1) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的
最小值, 并说明理由； (2) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 最小值, 并说明理由.
2005

, 求 n 的

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2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案
一．选择题
1,B 2,C

y ? sin[( x ? ) ? ] , 即 4 4

?

?

y?cos x . 故选 B．

由 ? ? p2 ? 4q ? 0, ?q ? 0 , 知方程的根为一正一负．设 f ( x) ? x2 ? px ? q ，则

f (3) ? 32 ? 3 p ? q ? 0 , 即 3 p ? q ? 9 . 由 于

p, q ? N* ， 所 以

p ? 1, q ? 5 或

p ? 2, q ? 2 . 于是共有 7 组 ( p, q) 符合题意． 故选 C．
3,C 由 a ? b ? 0 , 可知 0 ? b(a ? b) ?

a2 a 1 ? (b ? ) 2 ? a 2 4 2 4

所以， a ?
2

1 4 ? a 2 ? 2 ? 4 . 故选 C． b( a ? b ) a

4,D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、 n , 直线 m 、 n 确定了一个平面 ? 作与 ? 平行的平面 这样的平面

? , 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而

? 有无数多个．故选 D．

5,C 数列 {an } 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C． 6,D 铺第一列(两块地砖)有 30 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 A 、 B 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 A 色．若铺 B 色，则有 (6 ? 1) 种铺法；若不
2 铺 B 色， 则有 (6 ? 2) 种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理， 若
7 前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法．因此，共有 30 ? 21 种铺法． 故

A B

选 D．

二．填空题 ??? ? ??? ? 11 23 7, ( ? , ) 设 OA ? (m, n) , 则 OB ? (?n, m) , 所以 5 5

??? ? ??? ? 2OA ? OB ? (2m ? n, 2n ? m) ? (7,9) 即

? 2m ? n ? 7 , 解得 ? ? m ? 2n ? 9 .

23 ? m? , ? ? 5 ? ? n ? 11 . ? 5 ?

因此， OA ? (

??? ?

? 23 11 ??? 11 23 , ), OB ? (? , ) . 5 5 5 5

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8, an ? 4n ? 2 (n ? N*)．由题意知 由 a1 ? S1 得 又由 ① 式得

an ? 2 (a ? 2) 2 ? 2Sn ， 即 Sn ? n .… ① 2 8

a1 ? 2 ? 2a1 , 从而 a1 ? 2 . 2

Sn ?1 ?

(an ?1 ? 2)2 (n ? 2) ,… ② 8

于是有

an ? Sn ? S? n 1 ?

(an ? 2)2 (an ?1 ? 2) 2 ? (n ? 2) , 8 8

整理得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 . 因 an ? 0, an?1 ? 0 , 故

an ? an?1 ? 4 (n ? 2), a1 ? 2 ,所以数列 {an } 是以 2 为首项、 4 为公差的等差数列，
其通项公式为 an ? 2 ? 4(n ? 1) ,即 an ? 4n ? 2 . 故填 N*)． an ? 4 n ? 2 (n ?

9,

2 2

令 t ?| cos x |? [0,1] ，则 y ? t ? | 2t 2 ?1| ．

当

1 9 2 ? t ? 1 时， y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ，得 4 8 2

2 ? y ? 2； 2 2 9 ? y? 2 8

当 0?t ?

1 2 9 2 2 时， y ? ?2t ? t ? 1 ? ?2(t ? ) ? ，得 4 8 2

又 y 可取到 10, VB1 ? EFG ?

2 2
3 8

, 故填

2 2

．

在 D1 A1 的延长线上取一点 H ，使 A1 H ?

1 . 易证, HE || B1G ， 4

HE || 平面 B1FG ． 故 VB1 ?EFG ? VE ?B1FG ? VH ?B1FG ? VG?B1FH ．
而 S ?B1FH ? 11, 150

9 3 ? ． ，G 到平面 B1FH 的距离为 1 ． 故填 VB1 ? E F G 8 8

1 1 2 3 在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次，有 C5 (C4 ? C4 ? C4 ) ? 70 个；

2 1 2 若 1 只出现 2 次，有 C5 (C3 ? C3 ) ? 60 个； 3 1 若 1 只出现 3 次，有 C5 C2 ? 20 个． 则这样的五位数共有 150 个． 故填 150 个.

12. [1 ? 6,3 ? 10] 由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x ? y ? 1 ? 0 为准线的抛物线上及其凹口
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内侧的点集， N 是以 (a,1) 为中心的正方形及其 内部的点集(如图)． 考察 M ? N ? ? 时, a 的取值范围: 令 y ? 1 , 代入方程
y
3 2 1

| x ? y ? 1|? 2( x 2 ? y 2 ) ,
得 x ? 4 x ? 2 ? 0 ，解出得 x ? 2 ? 6 ． 所以，
2

-3

-2

-1

O
-1

1

2

3

4

5

6

7

x

当 a ? 2 ? 6 ?1 ? 1 ? 6 时, 令 y ? 2 ，代入方程

M ? N ??．

………… ③

| x ? y ? 1|? 2( x 2 ? y 2 ) , 得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 . 解出得

x ? 3 ? 10 ．所以，
当 a ? 3 ? 10 时,

M ? N ??．

………… ④

因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当 1 ? 6 ? a ? 3 ? 10 ，即 a ?[1 ? 6, 3 ? 10] 时,

M ? N ? ? ．故填 [1 ? 6,3 ? 10] .

三．解答题
13, 证明：在 ?BCN 中，由 Menelaus 定理得

BM NA CD ? ? ?1． MN AC DB 因为 BD ? DC ，所以 BM AC ? ． ……………… 6 分 MN AN
由 ?ABN ? ?ACB ，知

A

N B M D C

?ABN ∽ ?ACB ，则 AB AC CB ? ? ． AN AB BN
2

所以，

AB AC ? CB ? ? ?? ? ， 即 AN AB ? BN ?
2

AC ? BC ? ?? ? ． AN ? BN ?

2

…………………… 12 分

BC BM ? BC ? ??， 故 因此， ?? ? ． 又 BN MN ? BN ?

BM ? ?2 ． MN

…………………… 15 分

2 14, 解： 当 n ? 2 时，由 x1 ? x2 ? 0 ，得 x1x2 ? x2 x1 ? ?2x1 ? 0 ．

所以 n ? 2 时命题成立.
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…………………… 3 分

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当 n ? 3 时，由 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ，得

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ?

2 2 ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? ( x12 ? x2 ? x3 ) 2

. ………………… 6 分

所以 n ? 3 时命题成立. 当 n ? 4 时，由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ，得

x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ? ?( x2 ? x4 )2 ? 0 ．
所以 n ? 4 时命题成立．

………………

9分
i

当 n ? 5 时，令 x1 ? x2 ? 1， x4 ? ?2 ， x3 ? x5 ? ? ? xn ? 0 , 则
n

?x
i ?1

n

? 0.

但是,

?x x
n ?1

i i ?1

? 1 ? 0 ，故对于 n ? 5 命题不成立．

综上可知，使命题成立的自然数是 n ? 2, 3, 4 . 15, 解： 如图, 设线段 PQ 的中点为 M ． 过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 P ' 、 M ' 、 Q ' , 则

…………… 15 分

| MM ' |?

1 1 | PF | | QF | | PQ | (| PP ' | ? | QQ ' |) ? ( ? )? ． …………… 6 分 2 2 e e 2e

假设存在点 R ，则 | RM |?

3 | PQ | ， 且 | MM ' | ? | RM | ， 即 2

| PQ | 3 ? | PQ | ， 2e 2
所以， e ?

3 ． 3

………………………… 12 分

于是， cos?RMM ' ?

| MM ' | | PQ | 2 1 ? ? ? ， 故 | RM | 2e 3 | PQ | 3e
cot ?RMM ' ? 1 3e2 ? 1
．

若 | PF | ? | QF | (如图)，则

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k PQ ? tan?QFx ? tan?FMM ' ? cot ?RMM ' ?
3 时, 过点 F 作斜率为 3 1 3e 2 ? 1

1 3e 2 ? 1

.

…………… 18 分

当 e?

的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线

于 R , 由上述运算知, | RM |?

3 | PQ | ． 故 ?PQR 为正三角形. 2

………… 21 分

若 | PF | ? | QF | ，则由对称性得

kPQ ? ?

1 3e2 ? 1

．

……………… 24 分

又 e ? 1 , 所以，椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 a 2 b2

e?(

3 1 ． ,1) ， 直线 PQ 的斜率为 ? 3 3e 2 ? 1
解 ： (1) 因 为

16,

103 ? 1000, 113 ? 1331, 123 ? 1728, 133 ? 2197 ,

123 ? 2005 ? 133 ，
故 n ? 1.
3 3 3 3 因为 2005 ? 1728 ? 125 ? 125 ? 27 ? 12 ? 5 ? 5 ? 3 ，所以存在 n ? 4 ， 使

nmin ? 4 ．

……………… 6 分

3 3 若 n ? 2 ，因 10 ? 10 ? 2005 , 则最大的正方体边长只能为 11 或 12 ，计算

2005 ?113 ? 674, 2005 ?123 ? 277 ，而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以
n ? 2 不可能是 n 的最小值.
……………… 9 分

2 3 若 n ? 3 ，设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 3x ? 2005? 3 ? 8 , 知

最大的正方体棱长只能为 9 、 10 、 11 或 12 .
3 3 3 3 由于 2005? 3 ? 9 , 2005? 2 ? 9 ? 547, 2005? 9 ? 2 ? 8 ? 0 , 所以 x ? 9 .

由于 2005? 2 ? 10 ? 5 , 2005 ? 10 ? 9 ? 276 , 2005 ? 10 ? 8 ? 493 ,
3
3 3 3 3

2005? 103 ? 2 ? 7 3 ? 0 , 所以

x ? 10 .

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由于 2005 ? 11 ? 8 ? 162 , 2005 ? 11 ? 7 ? 331 , 2005? 11 ? 2 ? 6 ? 0 ,
3 3 3 3

3

3

所以 x ? 11 .
3 3 3 3 3 由于 2005 ? 12 ? 6 ? 61, 2005 ? 12 ? 5 ? 152 ? 5 , 所以 x ? 12 .

因此 n ? 3 不可能是 n 的最小值. 综上所述， n ? 4 才是 n 的最小值. (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 x1 , x2 ,?, xn ， 则
3 3 3 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 20022005 ．…………… ⑤

……………… 12 分

由 2002 ? 4(mod9) ， 43 ? 1(mod9) ，得

20022005 ? 42005 ? 4668?3?1 ? (43 )668 ? 4 ? 4(mod9) ．…… ⑥
又当 x ?N* 时， x3 ? 0, ?1 (mod9) ，所以

…… 15 分

3 3 3 3 3 ≡ 4(mod 9) ， x1 ≡ ∕ 4 (mod9) ， x1 ∕ ≡ 4 (mod9) . … ⑦ x13 ∕ ? x2 ? x2 ? x3

…………… 21 分 ⑤ 式模 9 , 由 ⑥、⑦ 可知, n ? 4 ． 而 2002 ? 10 ? 10 ? 1 ? 1 ，则
3 3 3 3

20022005 ? 20022004 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 )3 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 )3 ? (2002668 )3 ．…… 24 分
因此 n ? 4 为所求的最小值．

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