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2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛



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2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 1.函数 y ? f ( x ) 的图像按向量 a ? ( , 2 ) 平移后, 得到的图像的解析式为
4 ?

?

/>y ? sin ( x ?

?
4

) ? 2 . 那么 y ? f ( x ) 的解析式为

A. y ? sin x

B. y ? cos x

C. y ? sin x ? 2

D. y ? cos x ? 4

2.如果二次方程 x 2 ? p x ? q ? 0 ( p , q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5 个 B. 6 个
1 b(a ? b )

C. 7 个
的最小值是

D. 8 个

3.设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.设四棱锥 P ? A B C D 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此四棱锥, 使得
截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ?

A. 不存在

B. 只有 1 个

C. 恰有 4 个

D. 有无数多个

5.设数列 { a n } : a 0 ? 2, a1 ? 16, a n ? 2 ? 16 a n ?1 ? 63 a n , n ? N*, 则 a 2 0 0 5 被
64 除的余数为

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖都是
单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼 色方法有

A. 3 0 8 个
??? ?

B. 3 0 ? 2 5 7 个

C. 3 0 ? 2 0 7 个
?
2

D. 3 0 ? 2 17 个
??? ? ??? ?

二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 7.设向量 O A 绕点 O 逆时针旋转
??? ? 向量 O B ?

得向量 O B , 且 2 O A ? O B ? (7, 9) , 则

??? ?

.

8.设无穷数列 { a n } 的各项都是正数, S n 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数
n , a n 与 2 的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为

.

9.函数 y ? | cos x | ? | cos 2 x | ( x ? R) 的最小值是

.

10.在长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D1 中, A B ? 2, A A1 ? A D ? 1 , 点 E 、 F 、 G
分别是棱 A A1 、 C 1 D 1 与 B C 的中点, 那么四面体 B1 ? E F G 的体积是 .

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11.由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样
的 5 位数共有 .
2 ( x ? y ) , x , y ? R},
2 2

12. 已知平面上两个点集 M ? { ( x , y ) | | x ? y ? 1 | ?

N ? {( x , y ) | | x ? a | ? | y ? 1 | ? 1, x , y ? R}. 若 M ? N ? ? , 则 a 的取值范围是

.

三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13.已知点 M 是 ? A B C 的中线 A D 上的一点, 直线 B M 交边 A C 于点
N , 且 A B 是 ? N B C 的外接圆的切线, 设

BC BN

? ? , 试求

BM MN

(用 ? 表示).
A

N M B D C

14.求所有使得下列命题成立的正整数 n ( n ? 2 ) : 对于任意实数 x1 , x 2 , ? , x n ,


?

n

x i ? 0 时, 总有

i ?1

?

n

x i x i ? 1 ? 0 ( 其中 x n ? 1 ? x1 ).

i ?1

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15.设椭圆的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) , 线段 P Q 是过左焦点 F

且不与

x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,

使 ? P Q R 为正三角形, 求椭圆的离心率 e
R

y
Q'

Q

的取值范围, 并用 e 表示直线 P Q 的斜率.

M‘ P’ F P

M O

x

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16.(1) 若 n ( n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的
最小值, 并说明理由; (2) 若 n ( n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 最小值, 并说明理由.
2005

, 求 n 的

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2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案
一.选择题
1,B 2,C
y ? sin [( x ?
2

?
4

)?

?
4

], 即

y ? c o s . 故选 B. x
2

由 ? ? p ? 4 q ? 0, ? q ? 0 , 知方程的根为一正一负.设 f ( x ) ? x ? p x ? q ,则
2

f (3) ? 3 ? 3 p ? q ? 0 , 即

3p ? q ? 9 .由于

p , q ? N* ,

所以

p ? 1, q ? 5



p ? 2, q ? 2 . 于是共有 7 组 ( p , q ) 符合题意. 故选 C.
a
2

3,C 由 a ? b ? 0 , 可知 0 ? b ( a ? b ) ?

? (b ?

a 2

) ?
2

1 4

a

2

4

所以, a ?
2

1 b(a ? b )

? a ?
2

4 a
2

? 4

. 故选 C.

4,D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、 n , 直线 m 、 n 确定了一个平面 ? 作与 ? 平行的平面 ? , 与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形.而

这样的平面 ? 有无数多个.故选 D. 5,C 数列 { a n } 模 64 周期地为 2,16,-2,-16,……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C. 6,D 铺第一列(两块地砖)有 3 0 种方法;其次铺第二列.设第一列的两格铺了 A 、 B 两色(如图),那么,第二列的上格不能铺 A 色.若铺 B 色,则有 (6 ? 1) 种铺法;若不 铺 B 色, 则有 (6 ? 2 )
2

种方法. 于是第二列上共有 2 1 种铺法. 同理, 若
7

A B

前一列铺好,则其后一列都有 2 1 种铺法.因此,共有 3 0 ? 2 1 选 D.

种铺法. 故

二.填空题
7, ( ?
11 23 , ) 5 5

设 O A ? ( m , n ) , 则 O B ? ( ? n , m ) , 所以
23 ? m ? , ? ? 5 ? ? n ? 11 . ? 5 ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? 2 O A ? O B ? (2 m ? n , 2 n ? m ) ? (7 , 9 ) 即

?2m ? n ? 7 , 解得 ? ? m ? 2n ? 9 .

因此, O A ? (

??? ?

??? ? 23 11 11 23 , ), O B ? ( ? , ). 5 5 5 5

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8, a n ? 4 n ? 2 ( n ? N*).由题意知 由 a1 ? S 1 得 又由 ① 式得
a1 ? 2 2 ?

an ? 2 2

?

2Sn , 即 Sn ?

(an ? 2) 8

2

.… ①

2 a 1 , 从而 a 1 ? 2 .
( a n ?1 ? 2 ) 8
2

2

S n ?1 ?

( n ? 2 ) ,… ②

于是有

a n ? S n ? S?n1 ?

(an ? 2) 8

?

( a n ?1 ? 2 ) 8

2

(n ? 2) ,

整理得 ( a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 4) ? 0 . 因 a n ? 0, a n ? 1 ? 0 , 故
a n ? a n ? 1 ? 4 ( n ? 2 ), a1 ? 2 ,所以数列 { a n } 是以 2 为首项、 4 为公差的等差数列,

其通项公式为 a n ? 2 ? 4 ( n ? 1) ,即 a n ? 4 n ? 2 . 故填

an ? 4 n ? 2 (n ? N*).

2
9,

2
2 2

令 t ? | cos x |? [0,1] ,则 y ? t ? | 2 t ? 1 | .
2



? t ? 1 时, y ? 2 t ? t ? 1 ? 2 ( t ?
2

1 4

) ?
2

9 8

,得

2 2

? y ? 2;

当 0?t?

2 2

时, y ? ? 2 t ? t ? 1 ? ? 2 ( t ?
2

1 4

) ?
2

9 8

,得

2 2

? y ?

9 8

又 y 可取到 10, V B
? 3 8

2 2

, 故填

2 2


1 4

1 ? EFG

在 D 1 A1 的延长线上取一点 H ,使 A1 H ?

. 易证, H E || B1G ,

H E || 平面 B 1 F G . 故 V B1 ? E F G ? V E ? B1 F G ? V H ? B1 F G ? V G ? B1 F H .

而 S ?B FH ?
1

9 8

,G 到平面 B1 F H 的距离为 1 . 故填
1 1

VB

1?

E F G

?
3

3 8



11, 1 5 0

在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次,有 C 5 ( C 4 ? C 4 ? C 4 ) ? 7 0 个;
2 2 1 2

若 1 只出现 2 次,有 C 5 ( C 3 ? C 3 ) ? 6 0 个; 若 1 只出现 3 次,有 C 5 C 2 ? 2 0 个. 则这样的五位数共有 1 5 0 个. 故填 1 5 0 个.
3 1

12. [1 ?

6,3 ?

10 ]

由题意知 M

是以原点为焦点、直线 x ? y ? 1 ? 0 为准线的抛物线上及其凹口

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内侧的点集, N 是以 ( a ,1) 为中心的正方形及其 内部的点集(如图). 考察 M ? N ? ? 时, a 的取值范围: 令 y ? 1 , 代入方程
| x ? y ? 1 |? 2( x ? y ) ,
2 2
-2

y
3 2 1 2 1 3 4 5 6 7

-3

-1

O
-1

x

2 得 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,解出得 x ? 2 ?

6 . 所以,
M ?N ??.
2 2
2

当 a ? 2?

6 ?1 ? 1?

6 时,

………… ③

令 y ? 2 ,代入方程
x ? 3? 1 0 .所以,

| x ? y ? 1 |?

2 ( x ? y ) , 得 x ? 6 x ? 1 ? 0 . 解出得

当 a ? 3 ? 1 0 时, 因此, 综合 ③ 与 ④ 可知,当 1 ?
M ? N ? ? .故填 [1 ?

M ?N ??.

………… ④
6, 3 ? 1 0 ] 时,

6 ? a ? 3?

1 0 ,即 a ? [1 ?

6,3 ?

10 ] .

三.解答题
13, 证明:在 ? B C N 中,由 Menelaus 定理得
BM MN
BM MN

?

NA CD ? ? 1. AC DB
AC AN

A

因为 B D ? D C ,所以
?



……………… 6 分
B

N M D C

由 ? A B N ? ? A C B ,知
AB AN
AB AC

?ABN

∽ ? A C B ,则

?

AC AB

?
2

CB BN


? BC ? ? ? ? . AN ? BN ? AC
2

? CB ? ? ?? 所以, ? , 即 AN AB ? BN ? BM
2

…………………… 12 分

BC ? BC ? ? ? ?? , 故 因此, ? . 又 MN BN ? BN ?

BM MN

?? .
2

…………………… 15 分
2

14, 解: 当 n ? 2 时,由 x1 ? x 2 ? 0 ,得 x1 x 2 ? x 2 x1 ? ? 2 x1 ? 0 . 所以 n ? 2 时命题成立.
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…………………… 3 分

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当 n ? 3 时,由 x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ,得
x1 x 2 ? x 2 x 3 ? x 3 x1 ? ( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? ( x1 ? x 2 ? x 3 )
2 2 2 2

. ………………… 6 分

2

所以 n ? 3 时命题成立. 当 n ? 4 时,由 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 0 ,得

x1 x 2 ? x 2 x 3 ? x 3 x 4 ? x 4 x1 ? ( x1 ? x 3 )( x 2 ? x 4 ) ? ? ( x 2 ? x 4 ) ? 0 .
2

所以 n ? 4 时命题成立.

………………

9分
xi ? 0 .

当 n ? 5 时,令 x1 ? x 2 ? 1 , x 4 ? ? 2 , x 3 ? x 5 ? ? ? x n ? 0

,



?

n

i ?1

但是,

?

n

x i x i ? 1 ? 1 ? 0 ,故对于 n ? 5 命题不成立.

n ?1

综上可知,使命题成立的自然数是 n ? 2, 3, 4 . 15, 解: 如图, 设线段 P Q 的中点为 M . 过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 P ' 、 M ' 、 Q ' , 则
| M M ' |? 1 2 (| P P ' | ? | Q Q ' |) ?

…………… 15 分

1 | PF | | QF | | PQ | ( ? )? . …………… 2 e e 2e
3 2 | PQ | , 且 | M M ' | ? | RM | , 即

6分

假设存在点 R ,则 | R M |?

| PQ | 2e 3 3

?

3 2

| PQ |,

所以, e ?



………………………… 12 分

于是, cos ? RMM ' ?

| MM ' | | RM |

?

| PQ | 2e

?

2 3 | PQ |

?

1 3e

, 故

co t ? R M M ' ?

1 3e ? 1
2



若 | P F | ? | Q F | (如图),则

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k PQ ? tan ? QFx ? tan ? FMM ' ? cot ? RMM ' ?

1 3e ? 1
2

.

…………… 18 分

当 e?

3 3

时, 过点 F 作斜率为

1 3e ? 1
2

的焦点弦 P Q , 它的中垂线交左准线

于 R , 由上述运算知, | R M |?

3 2

| P Q | . 故 ? P Q R 为正三角形.

………… 21 分

若 | P F | ? | Q F | ,则由对称性得
k PQ ? ? 1 3e ? 1
2



……………… 24 分

又 e ? 1 , 所以,椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率 e 的取值范围是

e?(

3 3

,1) , 直线 P Q 的斜率为 ?

1 3e ? 1
2
3



16,
3

解 :
3

(1)

因 为

10 ? 1000, 11 ? 1331, 12 ? 1728, 13 ? 2197
3 3 3

,

12 ? 2005 ? 13 ,

故 n ?1. 因为 2005 ? 1728 ? 125 ? 125 ? 27 ? 12 ? 5 ? 5 ? 3 ,所以存在 n ? 4 , 使
3 3 3 3

n m in ? 4 .
3 3

……………… 6 分

若 n ? 2 ,因 1 0 ? 1 0 ? 2 0 0 5 , 则最大的正方体边长只能为 1 1 或 12 ,计算
2 0 0 5 ? 1 1 ? 6 7 4, 2 0 0 5 ? 1 2 ? 2 7 7 ,而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以
3 3

n ? 2 不可能是 n 的最小值.
2

……………… 9 分
3

若 n ? 3 ,设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 3 x ? 2005 ? 3 ? 8 , 知 最大的正方体棱长只能为 9 、 10 、 1 1 或 12 . 由于 2005 ? 3 ? 9 , 2005 ? 2 ? 9 ? 547 , 2005 ? 9 ? 2 ? 8 ? 0 , 所以 x ? 9 .
3 3 3 3

由于 2005 ? 2 ? 10
2005 ? 10
3

3

? 5 , 2005 ? 10 ? 9 ? 276 , 2005 ? 10 ? 8 ? 493 ,
3 3 3 3

? 2?7

3

? 0 , 所以

x ? 10 .

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由于 2005 ? 11 ? 8 ? 162 , 2005 ? 11 ? 7 ? 331 , 2005 ? 11 ? 2 ? 6 ? 0 ,
3 3 3 3

3

3

所以 x ? 1 1 . 由于 2 0 0 5 ? 1 2 ? 6 ? 6 1 , 2005 ? 12 ? 5 ? 152 ? 5 , 所以 x ? 1 2 .
3 3 3 3 3

因此 n ? 3 不可能是 n 的最小值. 综上所述, n ? 4 才是 n 的最小值. (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 x1 , x 2 , ? , x n , 则
x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 2 0 0 2
3 3 3 2005

……………… 12 分

.…………… ⑤

由 2002 ? 4(m od 9) , 4 ? 1(m od 9) ,得
3

2002

2005

?4

2005

?4

668 ? 3 ? 1

? (4 )
3

668

? 4 ? 4 (m o d 9 ) .…… ⑥

…… 15 分

又当 x ? N* 时, x ? 0, ? 1 (m o d 9 ) ,所以
3

x1 ∕ 4(m od 9) , x1 ? x 2 ≡ 4 (m od 9) , x1 ? x 2 ? x 3 ∕ 4 (m od 9) . … ⑦ ≡ ∕ ≡
3 3 3 3 3 3

…………… 21 分 ⑤ 式模 9 , 由 ⑥、⑦ 可知, n ? 4 . 而 2002 ? 10 ? 10 ? 1 ? 1 ,则
3 3 3 3

2002

2005

? 2002

2004

? (10 ? 10 ? 1 ? 1 ) ? (2002
3 3 3 3

668

) ? (10 ? 10 ? 1 ? 1 )
3 3 3 3 3 668

? (2002

668

? 10) ? (2002
3

668

? 10) ? (2002
3

) ? (2002
3

668

) .…… 24 分

3

因此 n ? 4 为所求的最小值.

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