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推理与证明总结课


推理与证明
考纲要求:
1.合情推理与演绎推理(1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情 推理在数学发现中的作用; (2)了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一 些简单推理; (3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 2.直接证明与间接证明(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合 法的思考过程、特点; (2)了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点。 3.数学归纳法:了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

知识网络:

推理与证明

推理

证明

合情推理

演绎推理

直接证明

间接证明

数学归纳法

归纳 一、推理 ●1. 归纳推理

类比

综合 法

分析 法

反证 法

1)归纳推理的定义:从个别事实 中推演出一般性 的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。 .... ... 2)归纳推理的思维过程大致如图: 实验、观察 3)归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 ②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实验检验,因此,它 不能作为数学证明的工具。 ③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们 发现问题和提出问题。 ●2. 类比推理 1)根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同, 这样的推理称为类比推理。 2)类比推理的思维过程是: 观察、比较 联想、类推 推测新的结论 概括、推广 猜测一般性结论

●3. 演绎推理 1)演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到 新结论的推理过程。 2)主要形式是三段论式推理。 3)三段论式推理常用的格式为: M——P (M 是 P) ① S——M (S 是 M) ② S——P (S 是 P) ③ ①是大前提,它提供了一个一般性的原理; ②是小前提,它指出了一个特殊对象; ③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。

“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的特殊 情况;⑶结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

讨论:演绎推理与合情推理有什么区别? 合情推理 ?
?归纳推理:由特殊到一般 ;演绎推理:由一般到特殊. ?类比推理:由特殊到特殊

二、证明
●1. 直接证明:是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、 定理,直接推证结论的真实性。 直接证明包括综合法和分析法。 综合法就是“由因导果” ,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论。 分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为 “执果索因” 。 要注意叙述的形式:要证 A,只要证 B,B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用,不 要将它们割裂开。 ●2. 间接证明:即反证法:是指从结论的否定出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错 误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 反证法的一般步骤是:反设——推理——矛盾——原命题成立。 (所谓矛盾是指:与数学公理、定理、 公式、定义或已证明了的结论矛盾;与公认的简单事实矛盾;或与已知条件矛盾) 。 常见的“结论词”与“反议词”如下表:

原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个

否定 一个也没有 至少有两个 至多有 n-1 个 至少有 n+1 个

原结论词 对所有的 x 都成立 对任意 x 不成立 p或q p且q

否定 存在某个 x 不成立 存在某个 x 成立 ? p 且?q ? p 或?q

典例精讲:
1.观察下列等式: 13 ? 23 ? 32 , 13 ? 23 ? 33 ? 62 , 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 ,??,根据上述规律,第 五个等式为 ____________. 2. 观察 ( x2 )' ? 2 x ,( x 4 )' ? 4 x3 ,(cos x)' ? ? sin x , 由归纳推理可得: 若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) =( (A) f ( x) (B) ? f ( x) ). (C) g ( x) ) (D) ? g ( x)

3. 下列表述正确的是(

①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一 般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③; B.②③④; C.②④⑤; ) D.①③⑤.

4.已知 p 是 q 的充分不必要条件,则 ? q 是 ? p 的( (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

5. 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ? ?平 面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因
?



( ) B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

A.大前提错误

6.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( ) 。 (A)假设三内角都不大于 60 度; (C) 假设三内角至多有一个大于 60 度; 7.观察下列等式: ① cos2a=2 cos 2 a -1; ② cos4a=8 cos 4 a - 8 cos 2 a + 1; ③ cos6a=32 cos6 a - 48 cos 4 a + 18 cos 2 a - 1; ④ cos8a=128 cos8 a - 256 cos6 a + 160 cos 4 a - 32 cos 2 a + 1; ⑤ cos10a= m cos10 a - 12 80 cos8 a + 1120 cos6 a + n cos 4 a + p cos 2 a - 1. 可以推测,m – n + p = .
1 ? a n?2 , (a≠1,n∈N)”时,在验证 n=1 成 1? a

(B) 假设三内角都大于 60 度; (D) 假设三内角至多有两个大于 60 度。

8.利用数学归纳法证明“1+a+a2+?+an+1 = 立时,左边应该是 ( )

(A)1

(B)1+a

(C)1+a+a2

(D)1+a+a2+a3

9.某个命题与正整数 n 有关,如果当 n ? k (k ? N ? ) 时命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时 命题也成立. 现已知当 n ? 7 时该命题不成立,那么可推得 A.当 n=6 时该命题不成立 C.当 n=8 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 D.当 n=8 时该命题成立 ( )

10. 用 数 学 归 纳 法 证 明 “ (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 n ?1? 2 ? ?? (2n ? 1) ” ( n ? N? ) 时 , 从 “ n ? k到n ? k ? 1”时,左边应增添的式子是 A. 2k ? 1 B. 2(2k ? 1) C. ( )

2k ? 1 2k ? 2 D. k ?1 k ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2( ? ? ? ? ) 时, 11.已知 n 为正偶数, 用数学归纳法证明 1 ? ? ? ? ? ? 2 3 4 n ?1 n?2 n?4 2n

若已假设 n ? k (k ? 2 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 A. n ? k ? 1 时等式成立 C. n ? 2k ? 2 时等式成立 12.求证: B. n ? k ? 2 时等式成立 D. n ? 2(k ? 2) 时等式成立





6 + 7 >2 2 + 5 .

1 1 1 13.设 a、b、c 都是正数,求证: a ? , b ? , c ? 至少有一个不小于 2. b c a

14.已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1 (1) 写出 a1, a2, a3,并推测 an 的表达式;(2) 用数学归纳法证明所得的结论.


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