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高中理科数学解题方法篇(方程与函数)



错解剖析得真知(二十)平面解析几何初步
§7.1 直线和圆的方程 一、知识导学

1.两点间的距离公式:不论 A( d=|AB|= |AB|=|
2

1



1

),B(

2



2

/>
)在坐标平面上什么位置,都有 - |或

,特别地,与坐标轴平行的线段的长|AB|=| 1

2

1

|.
1

2.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点 A(



1

),B(

2



2

),P( ,

)

之间数量关系的一个公式,其中λ 的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比. 这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后λ 的值也就随之确定了.若以

A 为起点,B 为终点,P 为分点,则定比分点公式是

.当 P 点为 AB 的中点时,

λ =1,此时中点坐标公式是

.

3.直线的倾斜角和斜率的关系 (1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率. (2)斜率存在的直线,其斜率 与倾斜角α 之间的关系是 =tanα . 4.确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多,但必须注意各种 形式的直线方程的适用范围. 名称 斜截式 方程 说明 为直线的斜率 b 为直线的纵截距 ( 点斜式 已知点, 为直线的斜率 ( = ), ( )是直线 ) 为直线上的 适用条件 倾斜角为 90°的直线不 能用此式

倾斜角为 90°的直线不 能用此式

两点式

上两个已知点

与两坐标轴平行的直线 不能用此式

截距式

+

=1

为直线的横截距 b 为直线的纵截距

过(0,0)及与两坐标 轴平行的直线不能用此 式

一般式





分别

A、B 不全为零

为斜率、横截距和纵截距

5. 两条直线的夹角。 当两直线的斜率

,

都存在且

· ≠ -1 时, tanθ =



当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.另外还应注意到:“到角”公式与“夹角”公式 的区别. 6.怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的斜率 都存在,可以用斜率的关系来判断;若直线的斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件 来判断. (1) 斜率存在且不重合的两条直线 ① 1∥ ② 1⊥
2 1∶



2∶

, 有以下结论:

= ·
1∶

,且b1=b2 = -1 ,
2 ∶

2

(2)对于直线
2

,当

1



2



1



都不为零时,有以下结论:

① 1∥ ② 1⊥

2

=
1 2

≠ +
1 2

2

= 0



1



2

相交





1



2

重合

=

=

7.点到直线的距离公式. (1)已知一点 P( )及一条直线 : ,则点 P 到直线 的距离

d=



(2)两平行直线

1

:



2

:

之间的距离

d=

.

8.确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式,要知道两种形式之 间的相互转化及相互联系 (1)圆的标准方程: 半径; (2)圆的一般方程: ( >0),圆心坐标 ,其中( ,b)是圆心坐标, 是圆的

为(-

,-

),半径为 =

.

二、疑难知识导析 1.直线与圆的位置关系的判定方法. (1)方法一 直线: ;圆: .

一元二次方程 (2)方法二 直线: 直线的距离为 ;圆: ,圆心( ,b)到

d= 2.两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为 O1、O2,半径分别为 |O1O2|> 1+ 2 两圆外离; |O1O2|= 1+ 2 两圆外切; | 1- 2|<|O1O2|< 1+ 2 两圆相交; | O1O2 |=| 1- 2| 两圆内切; 0<| O1O2|<| 1- 2| 两圆内含. 三、经典例题导讲 [例 1]直线 l 经过 P(2,3),且在 x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程.

1



2

,|O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下:

错解:设直线方程为:

,又过 P(2,3),∴

,求得 a=5

∴直线方程为 x+y-5=0.

错因: 直线方程的截距式: 形.

的条件是: ≠0 且 b≠0,本题忽略了

这一情

正解:在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:

,

∴直线方程为 y=

x

综上可得:所求直线方程为 x+y-5=0 或 y=

x .

[例 2]已知动点 P 到 y 轴的距离的 3 倍等于它到点 A(1,3)的距离的平方,求动点 P 的轨迹 方程. 错解:设动点 P 坐标为(x,y).由已知 3 化简 3 =x -2x+1+y -6y+9 .
2 2 2 2

当 x≥0 时得 x -5x+y -6y+10=0 . ① 2 2 当 x<0 时得 x + x+y -6y+10=0 . ② 错因:上述过程清楚点到 y 轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方 程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 2 2 2 2 (x-) +(y-3) = ① 和 (x+) +(y-3) = - ② 两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现. 2 2 2 2 正解: 接前面的过程,∵方程①化为(x-) +(y-3) = ,方程②化为(x+) +(y-3) = - ,由于 2 2 两个平方数之和不可能为负数,故所求动点 P 的轨迹方程为: (x-) +(y-3) = (x≥0) 2 2 2 2 [例 3]m 是什么数时,关于 x,y 的方程(2m +m-1)x +(m -m+2)y +m+2=0 的图象表示一个 圆? 2 2 错解:欲使方程 Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要 A=C≠0, 2 2 2 得 2m +m-1=m -m+2,即 m +2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3, 2 2 ∴当 m=1 或 m=-3 时,x 和 y 项的系数相等,这时,原方程的图象表示一个圆 2 2 错因:A=C,是 Ax +Cy +F=0 表示圆的必要条件,而非充要条件,其充要条件是: A=C≠0 且<0. 2 2 正解:欲使方程 Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要 A=C≠0, 2 2 2 得 2m +m-1=m -m+2,即 m +2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3, 2 2 (1) 当 m=1 时,方程为 2x +2y =-3 不合题意,舍去. 2 2 2 2 (2) 当 m=-3 时,方程为 14x +14y =1,即 x +y =,原方程的图形表示圆. [例 4]自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 2 2 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在的直线方程.

错解:设反射光线为 L′,由于 L 和 L′关于 x 轴对称,L 过点 A(-3,3),点 A 关于 x 轴的对 称点 A′(-3,-3),于是 L′过 A(-3,-3). 设 L′的斜率为 k,则 L′的方程为 y-(-3)=k[x-(-3)],即 kx-y+3k-3=0, 2 2 已知圆方程即(x-2) +(y-2) =1,圆心 O 的坐标为(2,2),半径 r=1 因 L′和已知圆相切,则 O 到 L′的距离等于半径 r=1

即 2 整理得 12k -25k+12=0 解得 k= L′的方程为 y+3= (x+3) 即 4x-3y+3=0 因 L 和 L′关于 x 轴对称 故 L 的方程为 4x+3y+3=0. 错因:漏解 正解:设反射光线为 L′,由于 L 和 L′关于 x 轴对称,L 过点 A(-3,3),点 A 关于 x 轴的对 称点 A′(-3,-3), 于是 L′过 A(-3,-3). 设 L′的斜率为 k,则 L′的方程为 y-(-3)=k[x-(-3)],即 kx-y+3k-3=0, 2 2 已知圆方程即(x-2) +(y-2) =1,圆心 O 的坐标为(2,2),半径 r=1 因 L′和已知圆相切,则 O 到 L′的距离等于半径 r=1

即 2 整理得 12k -25k+12=0 解得 k= 或 k=

L′的方程为 y+3= (x+3);或 y+3= (x+3)。 即 4x-3y+3=0 或 3x-4y-3=0 因 L 和 L′关于 x 轴对称 故 L 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0. [例 5] 求过直线 和圆 的交点, 且满足下列条件之

一的圆的方程: (1) 过原点;(2)有最小面积. 解:设所求圆的方程是: 即:

(1)因为圆过原点,所以

,即

故所求圆的方程为: (2) 将圆系方程化为标准式,有:

.

当其半径最小时,圆的面积最小,此时

为所求.

故满足条件的圆的方程是

.

点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以 待定系数法。(2)面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时 圆面积最小. [例 6]06 年辽宁理科) ( 已知点 A( 上的两个动点,O 是坐标原点,向量 方程为 (1)证明线段 AB 是圆 C 的直径; ), B( ) ( ≠0) 是抛物线 |=| |.设圆 C 的

满足|

(2)当圆 C 的圆心到直线 解:(1)证明 ∵| 整理得: 设 M( 即 整理得: 故线段 AB 是圆 C 的直径. (2)设圆 C 的圆心为 C( ),则 =0 ∴

的距离的最小值为 |=| + =0 |,∴(

时,求
2

的值. ),
2

) =(

)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 + =0

=0





∴ 又∵ + =0 , =-

∴- ∵ ∴ ≠0,∴ =-4 ≠0

= 所以圆心的轨迹方程为 设圆心 C 到直线 的距离为d,则



当 ∴

= =2.

时,d有最小值

,由题设得



四、典型习题导练

1.直线

截圆

得的劣弧所对的圆心角为





A. B. C. D. 2 2 2.已知直线 x=a(a>0)和圆(x-1) +y =4 相切,那么 a 的值是( A.5 B.4 C.3 D.2
2 2

)

3. 如果实数 x、y 满足等式(x-2) +y =3,则 的最大值为: . 2 2 4.设正方形 ABCD(A、B、C、D 顺时针排列)的外接圆方程为 x +y -6x+a=0(a<9),C、D

点所在直线 l 的斜率为

.

(1)求外接圆圆心 M 点的坐标及正方形对角线 AC、BD 的斜率; (2)如果在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以原点为顶点,以 x 轴为对称轴的抛物线上, 求此抛物线的方程及直线 l 的方程; (3)如果 ABCD 的外接圆半径为 2 ,在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以 x 轴为对称轴

的抛物线上,求此抛物线的方程及直线 l 的方程. 2 2 5.如图,已知圆 C:(x+4) +y =4。圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 外切。圆 D 与 y 轴交于 A、B 两点,点 P 为(-3,0). (1)若点 D 坐标为(0,3),求∠APB 的正切值; (2)当点 D 在 y 轴上运动时,求∠APB 的正切值的最大值; (3)在 x 轴上是否存在定点 Q,当圆 D 在 y 轴上运动时,∠AQB 是定值?如果存在,求 出点 Q 坐标;如果不存在,说明理由.

错解剖析得真知(二十一)圆锥曲线

一、知识导学 1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点 的轨迹

2.椭圆的标准方程:





) 内常数

3 椭圆的第二定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个

,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 就是离心率 椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式 4.椭圆的准线方程

对于

,左准线

;右准线

对于

,下准线

;上准线

5.焦点到准线的距离

(焦参数)

椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称

6 椭圆的参数方程 7.双曲线的定义:平面内到两定点 点的轨迹叫双曲线 即 的距离的差的绝对值为常数(小于 )的动

这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点间的距

离叫做焦距 8.双曲线的标准方程及特点: (1)双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种:

焦点在 轴上时双曲线的标准方程为:

(

,

);

焦点在 (2)

轴上时双曲线的标准方程为: 成立,且

(

,

)

有关系式

其中 与 b 的大小关系:可以为

9 焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母

、 项的分

母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的 正负来判断焦点所在的位置,即 的,那么焦点在 轴上 项的系数是正的,那么焦点在 轴上; 项的系数是正

10.双曲线的几何性质: (1)范围、对称性

由标准方程

,从横的方向来看,直线 x=- ,x= 之间没有图象,从纵的方向来

看,随着 x 的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那 样是封闭曲线 双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心 (2)顶点 顶点: 实轴: 长为 2 , ,特殊点: 叫做半实轴长 虚轴: 长为 2b,b 叫做虚半轴长

双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异 (3)渐近线

过双曲线 (4)离心率

的渐近线





双曲线的焦距与实轴长的比

,叫做双曲线的离心率 范围:

双曲线形状与 e 的关系:

,e 越大,即渐近线的斜

率的绝对值就大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知,双曲线的离心率越 大,它的开口就越阔

11. 双曲线的第二定义: 到定点 F 的距离与到定直线 的距离之比为常数 的点的轨迹是双曲线 其中,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线 是双曲线的离心率. 12.双曲线的准线方程: 常数 e

对于

来说,相对于左焦点

对应着左准线

,相对于右焦点

对应着右准线



焦点到准线的距离

(也叫焦参数)

对于

来说,相对于上焦点

对应着上准线

;相对于下焦点

对应着下准线 抛物线

图 形

方 程 焦 点 准 线 13 抛物线定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物线 的焦点,定直线 叫做抛物线的准线

二、疑难知识导析 椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线,它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几 何性质都存在着相似之处,也有着一定的区别,因此,要准确地理解和掌握三种曲线的特点 以及它们之间的区别与联系 1.等轴双曲线 定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双 曲线的性质:(1)渐近线方程为: 2.共渐近线的双曲线系 ;(2)渐近线互相垂直;(3)离心率

如果已知一双曲线的渐近线方程为

,那么此双曲线方程就一定

是:

或写成

3.共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法: 1 变为 将 -1 4.抛物线的几何性质 (1)范围 因为 p>0,由方程 可知,这条抛物线上的点 M 的坐标(x,y)满足不等式 x

≥0,所以这条抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方 和右下方无限延伸. (2)对称性 以-y 代 y,方程 对称轴叫做抛物线的轴. (3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 因此抛物线 的顶点就是坐标原点. 中,当 y=0 时,x=0, 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛物线的

(4)离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用 e 表示.由 抛物线的定义可知,e=1. 19 抛物线的焦半径公式:

抛物线



抛物线



抛物线



抛物线 三、经典例题导讲



[例 1]设双曲线的渐近线为:

,求其离心率.

错解:由双曲线的渐近线为:

,可得:

,从而

剖析:由双曲线的渐近线为

是不能确定焦点的位置在 x 轴上的,当焦点的位置在

y 轴上时,

,故本题应有两解,即:

或 [例 2]设点 P(x,y)在椭圆 错解:因 ∴

. 上,求 ,得: 的最大、最小值. ,同理得: ,故

∴最大、最小值分别为 3,-3. 剖析:本题中 x、y 除了分别满足以上条件外,还受制约条件 时,y 此时取不到最大值 2,故 x+y 的最大值不为 3.其实本题只需令 则 [例 3]已知双曲线的右准线为 ,故其最大值为 ,右焦点 ,最小值为 . 的约束.当 x=1 ,

,离心率

,求双曲线方程.

错解一:

故所求的双曲线方程为

错解二: 由焦点



故所求的双曲线方程为 错因: 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点, 而题中并没有告诉中心在原点这个条 件。由于判断错误,而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件,都会产生错误解法.

解法一: 设

为双曲线上任意一点, 因为双曲线的右准线为

, 右焦点



离心率

,由双曲线的定义知 ,

整理得

解法二: 依题意,设双曲线的中心为



解得

,所以

故所求双曲线方程为

[例 4]设椭圆的中心是坐标原点,长轴 在轴上,离心率 椭圆上的最远距离是 ,求这个椭圆的方程.

,已知点

到这个

错解:依题意可设椭圆方程为





所以 设椭圆上的点

,即 到点 的距离为 ,



所以当 所以

时,

有最大值,从而 ,由此解得:

也有最大值。

于是所求椭圆的方程为 错因: 尽管上面解法的最后结果是正确的, 但这种解法却是错误的。 结果正确只是碰巧而已。

由当 于点

时,

有最大值,这步推理是错误的,没有考虑 ,因此在求

到的取值范围.事实上,由

在椭圆上,所以有

的最大值时,应分类讨论.

正解:若

,则当

时,

(从而

)有最大值.

于是

从而解得

.

所以必有 所以

,此时当 ,解得

时,

(从而

)有最大值,

于是所求椭圆的方程为

[例 5]从椭圆

,( >b>0)上一点 M 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点 F1,

A、B 分别是椭圆长、短轴的端点,AB∥OM 设 Q 是椭圆上任意一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P,若⊿F1PQ 的面积为 20 解:本题可用待定系数法求解 ,求此时椭圆的方程

∵b=c,

=

c,可设椭圆方程为

∵PQ⊥AB,∴kPQ=2 2

,则 PQ 的方程为 y=

(x-c),

代入椭圆方程整理得 5x -8cx+2c =0,

根据弦长公式,得

,

又点 F1 到 PQ 的距离 d=

c



,由

故所求椭圆方程为

[例 6]已知椭圆: 弦 AB 的长 解:a=3,b=1,c=2 ;

,过左焦点 F 作倾斜角为

的直线交椭圆于 A、B 两点,求

则 F(-2

,0)

由题意知:



联立消去 y 得:

设 A(

、B(

,则

是上面方程的二实根,由违达定理,



又因为 A、B、F 都是直线 上的点,

所以|AB|= 点评:也可利用“焦半径”公式计算

[例 7](06 年全国理科)设 P 是椭圆 一个动点,求|PQ|的最大值. 解: 依题意可设 P(0,1),Q( 所以, ,|PQ| =
2

短轴的一个端点,Q 为椭圆上的

),则|PQ|= =

,又因为 Q 在椭圆上,



.

因为

≤1,

>1,若



,则

≤1,当

时,|PQ|取最大值

;若 1< <

,则当

时,|PQ|取最大值 2.

[例 8]已知双曲线的中心在原点,过右焦点 F(2,0)作斜率为 M、N 两点,且 =4,求双曲线方程

的直线,交双曲线于

解:设所求双曲线方程为
2

,由右焦点为(2,0) 知 C=2,b =4-

2

则双曲线方程为 整理得:(20-8
2

,设直线 MN 的方程为: )x +12
2 2

,代入双曲线方程

x+5

4

-32

2

=0

设 M(x1,y1),N(x2,y2),则



解得



故所求双曲线方程为: 点评: 利用待定系数法求曲线方程, 运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体 代入,体现了数学的整体思想,也简化了计算,要求学生熟练掌握 四、典型习题导练

1. 设双曲线

两焦点为 F1、F2,点 Q 为双曲线上除顶点外的任一点, )

过 F1 作∠F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹是 ( A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分. 2 2.已知点(-2,3)与抛物线 y =2px(p>0)的焦点 的距离是 5,则 p= 3.平面内有两定点 取得最大值或最小值,并求出最大值和最小值.

. 上,求一点 P 使

4.已知椭圆

的离心率为

.(1)若圆(x-2) +(y-1) =

2

2

与椭圆

相交于 A、B 两点且线段 AB 恰为圆的直径,求椭圆方程;(2)设 L 为过椭圆右焦点 F 的直

线,交椭圆于 M、N 两点,且 L 的倾斜角为 60 ,求 5.已知抛物线方程为 物线截得的弦长为 3,求 p 的值. ,直线

0

的值. 过抛物线的焦点 F 且被抛

6.线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0)(m>0),端点 A、B 到 x 轴距离之积为 轴为对称轴,过 A,O,B 三点作抛物线 (1)求抛物线方程; (2)若 的取值范围

,以 x

错解剖析得真知(二十二)点、直线和圆锥曲线
一、知识导学 1. 点 M(x0,y0)与圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系

已知 的焦点为 F1、F2, 的距离为 d,则有:

(a>b>0)的焦点为 F1、F2,

(a>0,b>0)

(p>0)的焦点为 F,一定点为 P(x0,y0),M 点到抛物线的准线

上述结论可以利用定比分点公式,建立两点间的关系进行证明. 2.直线 ∶Ax+B +C=0 与圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 的位置关系:

直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的 直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线 只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为:

设直线 :Ax+By+C=0,圆锥曲线 C:f(x,y)=0,由 消去 y(或消去 x)得:ax +bx+c=0,△=b -4ac,(若 a≠0 时), △>0 相交 △<0 相离 △= 0 相切 注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不 是充分条件. 二、疑难知识导析
2 2

1.椭圆的焦半径公式:(左焦半径)

,(右焦半径)

,其中 是离

心率。 焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式:

(其中

分别是椭圆的 可以记为:左

下上焦点). 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关 加右减,上减下加. 2.双曲线的焦半径 定义:双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点

的连线段,叫做双曲线的焦半径.

焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式:

焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式:

( 其中

分别是双曲线的下上焦点)

3.双曲线的焦点弦: 定义:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。 焦点弦公式: 当双曲线焦点在 x 轴上时, 过左焦点与左支交于两点时: 过右焦点与右支交于两点时: 当双曲线焦点在 y 轴上时, 过左焦点与左支交于两点时: 过右焦点与右支交于两点时: 4.双曲线的通径: ; 。 ; 。

定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦

.

5.直线和抛物线 (1)位置关系: 相交(两个公共点或一个公共点);相离(无公共点);相切(一个公共点).

联立 当 当 若

,得关于 x 的方程 (二次项系数为零),唯一一个公共点(交点); ,则 ,两个公共点(交点); ,一个公共点(切点); ,无公共点 (相离).

(2)相交弦长:

弦长公式: (3)焦点弦公式: 抛物线 抛物线 抛物线 抛物线 (4)通径: , , , ,

.

. . . .

定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 (5)常用结论:

通径:

.



和 三、经典例题导讲

.

[例 1]求过点

的直线,使它与抛物线 的直线为

仅有一个交点. ,则它与抛物线的交点为

错解: 设所求的过点

,消去



整理得

直线与抛物线仅有一个交点,

解得

所求直线为 , 所以 即 轴,

正解: ①当所求直线斜率不存在时, 即直线垂直 轴, 因为过点 它正好与抛物线

相切.②当所求直线斜率为零时,直线为 y = 1 平行 轴,它正好

与抛物线

只有一个交点.③一般地, 设所求的过点

的直线为

,







解得 k = ,∴ 所求直线为

综上,满足条件的直线为:

[例 2]已知曲线 C:

与直线 L:

仅有一个公共点,求 m 的范围.

错解:曲线 C:

可化为 ,由Δ =0,得

①,联立 . .

,得:

错因:方程①与原方程并不等价,应加上

正解:原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.(如图),结合图形易求得 m 的范围为 .

注意:在将方程变形时应时时注意范围的变化,这样才不会出错.

[例 3]已知双曲线

,过 P(1,1)能否作一条直线 L 与双曲线交于 A、B 两点,且 P

为 AB 中点. 错解:(1)过点 P 且与 x 轴垂直的直线显然不符合要求.

(2)设过 P 的直线方程为

,代入

并整理得:



,又∵



解之得:k=2,故直线方程为:y=2x-1,即直线是存在的. 正解:接以上过程,考虑隐含条件“Δ >0”,当 k=2 时代入方程可知Δ <0,故这样的直线不 存在. [例 4]已知 A、B 是圆 与 x 轴的两个交点,CD 是垂直于 AB 的动弦,直线 AC 和

DB 相交于点 P,问是否存在两个定点 E、F, 使 | | PE |-| PF | | 为定值?若存在,求 出 E、F 的坐标;若不存在,请说明理由.

解:由已知得 A (-1, 0 )、B ( 1, 0 ), 设 P ( x, y ), C ( ) , 则 D ( ),

由 A、C、P 三点共线得



由 D、B、P 三点共线得



①×② 得 又 即点 P 在双曲线 F ( , ∴

③ , 代入③得 , , 0 )、

上, 故由双曲线定义知,存在两个定点 E (-

, 0 )(即此双曲线的焦点),使 | | PE |-| PF | | = 2 (即此双曲线的实

轴长为定值). [例 5]已知椭圆的中心在坐标原点 O, 焦点在坐标轴上, 直线 y=x+1 与该椭圆相交于 P 和 Q, 且 OP⊥OQ,|PQ|= ,求椭圆的方程.

解:设所求椭圆的方程为 =1. 依题意知,点 P、Q 的坐标满足方程组:

将②代入①,整理得 , 设方程③的两个根分别为 P( , +1),Q( 、 , ,则直线 y=x+1 和椭圆的交点为 +1) ,可得 ③

由题设 OP⊥OQ,|OP|=

整理得

解这个方程组,得

或 根据根与系数的关系,由③式得

(1) 解方程组(1)、(2)得

或 (2)

或 故所求椭圆方程为

=1 , 或

=1.

[ 例 6] ( 06 年 高 考 湖 南 ) 已 知 椭 圆 C1 :

= 1 , 抛 物 线 C2 :

,且 C1、C2 的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点。(1)当 AB⊥ 轴时, 求 、 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上;(2)若 = ,且抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上,求 的值及直线 AB 的方程. 解:(1)当 AB⊥ 轴时,点 A、B 关于 轴对称,所以 =0,直线 AB 的方程为 =1, 从而点 A 的坐标为(1, )或(1,- , ), = .

因为点 A 在抛物线上,所以

此时,抛物线 C2 的焦点坐标为( ,0),该焦点不在直线 AB 上. (1) 当抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上时,由(1)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 .

(2)



消去

得 )、( ).



设 A、B 的坐标分别为 (

则 , 是方程①的两根, + = . 因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是 C2 的焦点的弦, 所以|AB|=(2- |AB|=( 从而 所以 解得 .


)+(2- )=

)=4- =

,且 .

)+( =4- ,即

因为 C2 的焦点 F (

)在直线

上,所以



即 当 当 时直线 AB 的方程为 时直线 AB 的方程为 ; .

四、典型习题导练

1.顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 l:y=2x+1 截得的弦长为

,则抛

物线方程为 2 2 2.直线 m:y=kx+1 和双曲线 x -y =1 的左支交于 A、B 两点,直线 l 过点 P(-2,0)和线 段 AB 的中点,则直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围为 3. 试求 m 的取值范围.

4. 设过原点的直线 l 与抛物线 y =4(x-1)交于 A、B 两点,且以 AB 为直径的圆恰好过抛物 线的焦点 F, (1)求直线 l 的方程; (2)求|AB|的长. 2 5. 如图,过抛物线 y =4x 的顶点 O 作任意两条互相垂直的弦 OM、ON,求(1)MN 与 x 轴交点 的坐标;(2)求 MN 中点的轨迹方程.

2

9.设曲线 C 的方程是 y=x -x,将 C 沿 x 轴、y 轴正向分别平行移动 t,s 单 位长度后得曲 线 C1. (1)写出曲线 C1 的方程; (2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A( )对称;

3

(3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明 s=

且 t≠0.

活用导数的定义解题
导数的定义是导数的基本概念之一, 是导数的基础, 也是学好导数必须扎实掌握的重点。 围绕导数的定义产生的试题形形色色, 为了让你全面认识这一概念, 本文向你展示活用导数 的定义解题,也许对你今后有学习会有帮助。请看: 1.求某点处的导数值 例 1 已知 ,用导数定义求

解析:由于



那么

,故

点评:本题借助导数定义,巧妙的产生了 的值。可以说这种求解非常好,就算是 以后学了导数的运算法则及运算公式,这种方法依然少不了。 2.大小比较

例 2 函数

的图像如图所示,下列不等关系正确的是(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:根据导数的几何意义,考察函数在点 A(2,

)以及 B(3,

)的曲线的斜率,由 。另一方面,

图可见,过点 B 的切线的斜率大于过点 A 的切线的斜率,则有

在这两点的平均变化率为 可见,答案应为 C。

,其几何意义为割线 AB 的斜率,由图(5)

点评:本题借助于导数定义,对“平均变化率”进行了考察,通过“平均变化率”使结 论产生,显然,导数的定义在背后产生了作用。 3.求极限值

例 3 已知 f(3)=3,

(3)=-2,则:

的值为( ).

A、0

B、2

C、3

D、6

解析:由

(3)=-2,可得



于是







=1-

=1-

(3)=3. 故选 C.

点评:本题中将

(3)=-2,结合导数的定义产生

是解题的

关键。有了这个转化,结论快速产生。 4.速度问题

例 4 某质点沿直线运动,运动规律是

,求:

⑴在

这段时间内的平均速度,这里

取值为 1;



时刻的瞬时速度。

解析:(1)由于

那么

,因为

取值为 1,

故在

这段时间内的平均速度为 25

⑵在

时刻的瞬时速度:由



点评:求平均速度就是先求

,再写出当

的值;求

时刻的瞬时速度,就

是求

,当

时的极限。也就是在该点处的导数值。

5.探索性问题

例 5



为可导函数且满足

,问曲线

在点

处的切线斜率是否存在?若存在求 由.

在该点的切线斜率;若不存在,请说明理

解析:∵

为可导函数且

,



,∴

.



在点

处存在切线斜率,且

在点

处切线的斜率为

点评:本题是探索性问题,通过应用导数定义,借助已知条件产生了 肯定了点 处的切线斜率存在。

的值,从而

好了,导数定义的活用,就谈到此,想一想你也能举出一例吗?

谈椭圆扁平的判定
我们知道,椭圆的离心率 满足 ,当 越接近于 1 时, 就越接近于 ,从而 越接近于 0 时, 就越接近 ,从而

就越小,此时,椭圆就越扁;当

就越近于 ,此时,椭圆就越接近于圆;下面 我们来探究三个问题:

探究一:能否借助



来刻画椭圆的扁平程度?

首先,我们来看能否用

来刻画椭圆的扁平程度,由于

越接近,椭圆就越“圆”,

相差越大,椭圆就越“扁”,因此,可以用

来刻画椭圆的扁平程度。当

越接近于 1

时,椭圆就越“圆”,当

越小时,椭圆就越“扁”。

再看能否用

来刻画椭圆的扁平程度,结合

可以看出:

越接近, 就

越接近 , 也越接近 ,此时,椭圆就越“圆”; 此时,椭圆就越“扁”。

越接近, 就越接近 , 无限大,

显然,既可以用

来刻画椭圆的扁平程度,也可以用

来刻画椭圆的扁平程度。

探究二:为什么选用

来刻画椭圆的扁平程度?

第一,椭圆的“圆”的程度用

容易刻画,即

越接近 时,椭圆就越“圆”;但在

表示“扁”时,用 握。

很不明确,“

无限大,此时,椭圆就越“扁””,大的程度无法把

第二,对于椭圆,

的范围是



的范围也是

;且两者都可以较好的刻画

椭圆的扁平程度,表面上看它们具有等同的位置。将这两个量再放入圆锥曲线之中,就可以

发现选用

是应该的。 因为, 在以后将要学习的双曲线、 抛物线中, 正好填补了



的两种情况。考虑到整体内容,选用了



探究三:

将会有哪些变化?

例 1、设椭圆的两个焦点分别为

,过

作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 )

,若

为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为(

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:设椭圆方程为

,由



,选 D;

评析:本题重在产生关于 程产生结论。

的关系式,将关系式转化为关于离心率 的方程通过方

例 2、椭圆 为椭圆的半焦距,则椭圆离心率 的范围为(

和圆 )

有四个交点,其中

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:此题的本质是椭圆的两个顶点



一个在圆外、一个在圆内即:

评析:建立在条件的基础上,产生关于 的不等式是关键。

的不等关系式,再将其转化为关于离心率

例 3、已知 c 是椭圆 (A)(1,+∞) (B)(

(a>b>0)的半焦距,则 ,+∞) (C)(1, )

的取值范围是 (D)(1, ]





解析:由 于是得答案(D);

,又

评析:如何求 的取值范围,结合离心率及关系式 ,将待求式子转化为 关于 的函数关系,借助函数的定义域(即 的范围)产生函数的值域。

例 4、已知椭圆 是椭圆上的一点, 并且有 的最大值.

( 是点 到



)左、右焦点为 的距离 与



,左准线



的等比中项, 求该椭圆离心率

解析一

设点

的坐标为

,其中

.由椭圆的第二定义可知:

,又由已知可得:

,则有:

.代入得:

考虑椭圆离心率

,解得:

.因此,该椭圆离心率 e 的最小值为



解析二



,又由得

,因此



,又由

,则:

因此,该椭圆离心率 e 的最小值为



评析:离心率的最值也是我们经常遇到的问题,在最值的求解过程中,抓问题的转折点 很关键,解一中“ ”、解二中“ ”都是关键点,没有这两

点两种方法都无法产生结论。

好了,经过这一番的探究,你有收获吗错解剖析得真知(二十三)轨迹问题 一、知识导学 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个 二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线 叫做方程的曲线. 2.点与曲线的关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0, 则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 f(x0,y0)=0; 点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点 若曲线 C1,C2 的方程分别为

f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1,C2 的交点 方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有 n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就 没有交点. 3.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的 距离之比是一个常数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率. 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆 当 e=1 时,轨迹为抛物线 当 e>1 时,轨迹为双曲线 4.坐标变换 (1)坐标变换 在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴 的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变, 仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改 变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴. (2)坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是(x,y), 在新坐标系 x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中的 坐标是(h,k),则

(1) 或 (2) 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 二、疑难知识导析 1.在求曲线轨迹方程的过程中,要注意: (1)理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合; (2)合理进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言,通过审 题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式, 把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言; (3)注意挖掘题目中的隐含条件; (4)注意反馈和检验. 2.求轨迹方程的基本方法有:

(1)直接法:若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系,则将这些关系“翻译”成 x,y 的关系式,由此得到轨迹方程.一般步骤是:建立坐标系—设点—列式—代换—化简、整 理. (2)定义法:即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线 的定义建立方程. (3)待定系数法:已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再 根据动点满足的条件确定待定系数. (4)相关点法:当动点 P(x,y)随着另一动点 Q(x1,y1)的运动而运动时,而动点 Q 在某已知 曲线上,且 Q 点的坐标可用 P 点的坐标来表示,则可代入动点 Q 的方程中,求得动点 P 的轨迹 方程. (5)参数法:当动点 P 的坐标 x、y 之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量 t,并用 t 表示动点的坐标 x、 ,从而得到动点轨迹的参数方程 ,消去 t,便可得动点 P 的普通 y 方程. 另外,还有交轨法、几何法等. 3.在求轨迹问题时常用的数学思想是: (1)函数与方程的思想: 求平面曲线的轨迹方程,是将几何条件(性质)表示为动点坐标 x、 y 的方程及函数关系; (2)数形结合的思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合; (3)等价转化的思想:通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互 转化. 三、经典例题导讲 [例 1]如图所示, 已知 P(4, 0)是圆 x +y =36 内的一点,、 是圆上两动点, A B 且满足∠APB=90°, 求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.
2 2

解:设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR|. 2 2 2 2 2 又因为 R 是弦 AB 的中点, 依垂径定理: Rt△OAR 中, AR| =|AO| -|OR| =36-(x +y ) 在 | 又|AR|=|PR|= 所以有(x-4) +y =36-(x +y ),即 x +y -4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动.
2 2 2 2 2 2

设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x +y -4x-10=0,得
2 2

,

-10=0

整理得 x +y =56,这就是所求的轨迹方程. 技巧与方法: 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题, 可先确定一个较易于求得的点的轨迹方 程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程. [例 2]某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱, 检测一个直径为 3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径 为多少? 解:设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、A、B,问题转化为求两等圆 P、Q,使它们与⊙O 相内切,与⊙A、⊙B 相外切.

2

2

建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为 r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5 ∴点 P 在以 A、O 为焦点,长轴长 2.5 的椭圆上,其方程为

=1 ① 同理 P 也在以 O、B 为焦点,长轴长为 2 的椭圆上,其方程为

(x-

)+

2

y2=1



由①、②可解得

,∴r=

故所求圆柱的直径为 [例 3] 直线 L: 的中点 M 的轨迹方程.

cm. 与圆 O: 相交于 A、B 两点,当 k 变动时,弦 AB

错解:易知直线恒过定点 P(5,0),再由

,得:



,整理得:

分析:求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点 M 应在圆内,故易求得轨

迹为圆内的部分,此时

.

[例 4] 已知 A、B 为两定点,动点 M 到 A 与到 B 的距离比为常数λ ,求点 M 的轨迹方程,并 注明轨迹是什么曲线. 解:建立坐标系如图所示,

设|AB|=2a,则 A(-a,0),B(a,0). 设 M(x,y)是轨迹上任意一点.

则由题设,得
2 2 2

=λ ,坐标代入,得
2 2 2 2

=λ ,化简得

(1-λ )x +(1-λ )y +2a(1+λ )x+(1-λ )a =0 (1)当λ =1 时,即|MA|=|MB|时,点 M 的轨迹方程是 x=0,点 M 的轨迹是直线(y 轴).

(2)当λ ≠1 时,点 M 的轨迹方程是 x +y +

2

2

x+a2=0.点 M 的轨迹是以

(-

,0)为圆心,
2

为半径的圆.

[例 5]若抛物线 y=ax -1 上,总存在不同的两点 A、B 关于直线 y+x=0 对称,求实数 a 的取值 范围. 分析:若存在 A、B 关于直线 y+x=0 对称,A、B 必在与直线 y+x=0 垂直的直线系中某一条与 2 抛物线 y=ax -1 相交的直线上,并且 A、B 的中点 M 恒在直线 y+x=0 上. 解:如图所示,设与直线 y+x=0 垂直的直线系方程为 y=x+b

由 ax -x-(b+1)=0 令 △>0
2

得 ①

即 (-1) -4a[-(b+1)]>0 整理得 4ab+4a+1>0 ② 2 在②的条件下,由①可以得到直线 y=x+b、抛物线 y=ax -1 的交点 A、B 的中点 M 的坐标为



,

+b),要使 A、B 关于直线 y+x=0 对称,则中点 M 应该在直线 y+x=0 上,所以有

+(

+b)=0



即 b=-

代入②解不等式得

a>

因此,当 a>

时,抛物线 y=ax -1 上总存在不同的两点 A、B 关于直线 y+x=0 对称.

2

四、典型习题导练 1.已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 2.高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m,如果把两旗杆底部的坐标分 别确定为 A(-5, B(5, 则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 0)、 0), 3.设直线 2x-y长度之比是 =0 与 y 轴的交点为 P,点 P 把圆(x+1) +y =25 的直径分为两段,则其
2 2

4.已知 A、 、 是直线 上的三点, AB|=|BC|=6, O′切直线 于点 A, B C 且| ⊙ 又过 B、 作⊙O′ C 异于 的两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程.

5.双曲线

=1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P,

A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程.

6.已知椭圆

=1(a>b>0),点 P 为其上一点,F1、F2 为椭圆的焦点,∠F1PF2 的外角平

分线为 ,点 F2 关于 的对称点为 Q,F2Q 交 于点 R.

(1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程; (2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l:y=k(x+ 面积取得最大值时,求 k 的值. a)与曲线 C 相交于 A、B 两点,当△AOB 的

错解剖析得真知(二十四)综合问题选讲
一、知识导学 (一)直线和圆的方程 1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两 点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根 据直线的方程判断两条直线的位置关系. 3.了解二元一次不等式表示平面区域. 4.了解线性规划的意义,并会简单的应用. 5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法. 6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程. (二)圆锥曲线方程 1. 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 2. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4.了解圆锥曲线的初步应用. (三)目标 1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程; 从直线的点斜式方程出发推导出直线 方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当的方程形式 写出直线的方程, 熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化, 能利用直线的方程来研究与 直线有关的问题了.

2.能正确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,知道线性规划的意义,知道线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法解决线性 规划问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用;会用线性规 划方法解决一些实际问题. 3.理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求曲线的 方程的方法. 4.掌握圆的标准方程: (r>0),明确方程中各字母的几何意义,

能根据圆心坐标、 半径熟练地写出圆的标准方程, 能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标 和半径,掌握圆的一般方程: ,知道该方程表示圆的充要条件

并正确地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方程,理解

圆的参数方程

(θ 为参数),明确各字母的意义,掌握直线与圆的位置关系的

判定方法. 5.正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双曲线 和抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程;能根据 条件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质:范 围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地画出椭圆、 双曲线和抛物线;掌握 、b、 、 、 之间的关系及相应的几何意义;利用椭圆、双曲

线和抛物线的几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问题;理解椭 圆、双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置 关系的判定方法. 二、疑难知识导析

1. ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念,斜率 反映了直线相对于 轴的倾斜程度. 当斜率 存在时, 直线方程通常用点斜式或斜截式表示, 当斜率不存在时, 直线方程为 = ( ∈R).因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率 存在与否,要分别考虑. ⑵ 直线的截距式是两点式的特例, 、b 分别是直线在 轴、 轴上的截距,因为 ≠ 0,b≠0,所以当直线平行于 轴、平行于 轴或直线经过原点,不能用截距式求出它的方

程,而应选择其它形式求解. ⑶求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式. ⑷当直线 或 的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直

⑸在处理有关圆的问题, 除了合理选择圆的方程, 还要注意圆的对称性等几何性质的运 用,这样可以简化计算.

2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在 轴上还是

轴上,还是两种

都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行 、b、 、 间的互求,并能根据所给的 方程画出椭圆. ⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题: 正确判断焦点的位置; 设出标准方程 ⑴ ⑵ 后,运用待定系数法求解.

⑷双曲线

的渐近线方程为

或表示为

.若已知双曲

线的渐近线方程是

,即

,那么双曲线的方程具有以下形式:

,其中 是一个不为零的常数.

⑸双曲线的标准方程有两个 , 其中|





>0,b>0).这里

|=2c.要注意这里的 、 c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. b、

⑹求抛物线的标准方程, 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型, 再求抛物线的标 准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数 的值.同时,应

明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方程、 焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个. 三、经典例题导讲 [例 1]已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT= (0< <1),以 AB 为直腰作直角梯形 ,使 垂直且等于 AT,使 垂直且等于 BT, 交半圆于 P、Q 两点, 建立如图所示的直角坐标系.

(1)写出直线 的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射后,反射光线通过点 Q. 解: (1 ) 显然 , 于是 直线 的方程为 ;



2

) 由 方













(3)

,

.

由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射 光线通过点 Q. [例 2]设 P 是圆 M:( -5) +(
2

-5) =1 上的动点,它关于 A(9, 0)的对称点为 Q,把 P 绕原

2

点依逆时针方向旋转 90°到点 S,求|SQ|的最值. 解:设 P( , ( + ∴ ),则 Q(18- , + ,即 S(, ),记 P 点对应的复数为 + ) ,则 S 点对应的复数为:

)· =-

其中 最小值为 |SQ|的最大值为

可 以 看 作 是 点 P 到 定 点 B(9, -9) 的 距 离 , 共 最 大 值 为 ,则 ,|SQ|的最小值为 .

[例 4] (02 年天津卷) 已知两点 M (-1, ,(1, 且点 P 使 0) N 0) 成公差小于零的等差数列, (1)点 P 的轨迹是什么曲线? (2)若点 P 坐标为 解:(1)记 P( , , 为 的夹角,求 tanθ .

),由 M(-1,0)N(1,0)得

所以

于是,

是公差小于零的等差数列等价于



所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, (2)点 P 的坐标为 。

为半径的右半圆. .

因为 0〈







. [例 4]舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处, C 在舰 B 的北偏西 30°且与 B 相距 4 千米, 舰 它们准备 捕海洋动物,某时刻 A 发现动物信号,4 秒后 B、C 同时发现这种信号,A 发射麻醉炮弹.设

舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度为 1 千米/秒,炮弹的速度是

千米/秒,

其中 g 为重力加速度, 若不计空气阻力与舰高, 问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少? 分析:答好本题,除要准确地把握好点 P 的位置(既在线段 BC 的垂直平分线上,又在以 A、 B 为焦点的抛物线上),还应对方位角的概念掌握清楚. 技巧与方法:通过建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间 物体的定位,一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 解:取 AB 所在直线为 轴,以 AB 的中点为原点,建立如图所示的直角坐标系.由题意可知,

A、B、C 舰的坐标为(3,0)、(-3,0)、(-5,2

).

由于 B、C 同时发现动物信号,记动物所在位置为 P,则|PB|=|PC|.于是 P 在线段 BC 的 中垂线上,易求得其方程为 -3 +7 =0.

又由 A、 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒, PB|-|PA|=4, B 知| 故知 P 在双曲线 =1 的右支上. 直线与双曲线的交点为(8,5 |PA|=10. 据已知两点的斜率公式,得 kPA= 的方位角应是北偏东 30°. ,所以直线 PA 的倾斜角为 60°,于是舰 A 发射炮弹 ),此即为动物 P 的位置,利用两点间距离公式,可得

设发射炮弹的仰角是θ ,初速度 v0=

,则

,

∴sin2θ =
0

,∴仰角θ =30°.

答:方位角北偏东 30 ,仰角 30°. 解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何 性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高 能力的目的. (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式 (组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域. (2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特 征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则 可先建立目标函数,再求这个函数的最值. [例 5]已知抛物线 C:
2

=4 .

(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点 F 及准线 分别重合,试求椭圆短轴 端点 B 与焦点 F 连线中点 P 的轨迹方程; (2)若 M(m,0)是 轴上的一定点,Q 是(1)所求轨迹上任一点,试问|MQ|有无最小值?若 有,求出其值;若没有,说明理由. 解:由抛物线
2

=4 ,得焦点 F(1,0),准线 : =-1. ), B(2 -1,2 则 ),椭圆中心 O′,则|FO′|∶|BF|= ,又设点 B 到 的 ,即(2 -2) +(2
2

(1)设 P( , 距离为

,则|BF|∶

= ,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶
2

) =2 (2 -2),化

2

简得 P 点轨迹方程为 (2)设 Q( ,y),则

= -1( >1).

|MQ|=

?

(ⅰ)当 m-

≤1,即 m≤

时, 函数 =[ -(m-

) ]+m-

2

在(1, +∞)上递增, 无 故

最小值,亦即|MQ|无最小值.

(ⅱ)当 m-

>1,即 m>

时,函数 =[

2

-(m-

) ]+m-

2

在 =m-

处有最小值 m



,∴|MQ|min=

. 轴平行, 顶点到原点的距离为 5.若将抛物线 C 向上平移 3

[例 6]已知抛物线 C 的对称轴与

个单位,则在 轴上截得的线段长为原抛物线 C 在 轴上截得的线段长的一半;若将抛物线 C 向左平移 1 个单位,则所得抛物线过原点,求抛物线 C 的方程. 解:设所求抛物线方程为( - ) = ( 由①的顶点到原点的距离为 5,得 在①中,令 | |=2 =0,得 .
2 2

- )(

∈R, =5

≠0) ②
1



-2

+

2

+

=0。设方程的二根为

,

2

,则

1

2

将抛物线①向上平移 3 个单位,得抛物线的方程为 ( -h) = ( 令 | =0,得 |=2
2

- -3)
2

-2

+

2

+

+3 =0。设方程的二根为

3

,

4

,则

3

4

.

依题意得 2 即 4( +3 )=

=

·2 ③



将抛物线①向左平移 1 个单位,得( - +1) = ( 由抛物线过原点,得(1- ) =由②③④得 =1, =3,
2

2

- ),

④ =-4. +4).

=-4 或 =4, =-3,
2

∴所求抛物线方程为( -3) =

+4,或( +3) =4(

2

四、典型习题导练 1.过抛物线 =4 的对称轴上任一点 P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点. (1)设点 P 分有向线段 所成的比为 ,证明: ; (2) 设直线 AB 的方程是 -2 +12=0, A、 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线, 过 B 求圆 C 的方程. 2.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打 算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和 50﹪,可 能的最大亏损分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的资 金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈利最 大? 3.直线 (1)求实数 的取值范围; (2)是否存在实数 ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由. 4.已知倾斜角为 的直线 过点 A(1,-2)和点 B,B 在第一象限,|AB|=3 . 的右支交于不同的两点 A、B.
2

(1) 求点 B 的坐标; (2) 若直线 与双曲线 相交于 、 两点,且线段 坐标为(4,1),求 的值; (3) 对于平面上任一点 ,当点 Q 在线段 AB 上运动时,称|PQ|的最小值为 的距离. 已知点 数关系式. 在 轴上运动, 写出点 到线段 的中点 与线段

的距离 关于 的函

5.已知椭圆的中心在原点,离心率为 (1)求椭圆的方程; 线 的斜率.

,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0 的常数). 轴交于点 M. 若|MQ|=2|QF|,求直

(2)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 与

构造法巧解定点定值问题

本文笔者向大家介绍一种行之有效的特殊方法──构造关于“ 即若直线 ,则 与曲线 两点的坐标满足关于 的齐次方程: 。

”的二次方程解题。 相交于不同两点

两边除以

便可构造出关于 或

的二次方程,



是这个关于

的方程的两个根,

当问题涉及或可转化为

时,我们便可利用根与系数的关系解题。本文笔

者将运用这一方法来解决圆锥曲线与周直角、等腰三角形相关的定点定值问题。 性质 1 已知点 线上的两个动点。 (1) 若 (2)若直线 ,则直线 、 过定点 ; 为顶点的等腰三角形,则直线 的斜率为定 是抛物线 上的一个定点, 、 是抛物

与 轴围成以点



。 证明 将抛物线 按向量 。 又点 ①。 上的定点 和动点 、 分别对应抛物线 上的定点 和动点 。 当 、 ,设 时, 平移得抛物线 在抛物线 上,故 , ,

即 代入上式得 抛物线 直线

的方程为

, 代入①得,

两边除以

得,

。因为点

的坐标满足这

个方程,所以

是这个关于

的方程的两个根。

(1)若

,因为平移前后垂直关系不变,所以

,即

, 整理得 上,即直线 过定点 ,从而直线

。 由此知点 过定点

在直线 。 的倾

(2)依题意知直线

的倾斜角互补且斜率存在,由平移性质知直线

斜角也互补且斜率存在, 所以

, 即

, 于是



因为

,所以

,故直线

的斜率为定值



性质 2 已知点 的两个动点。

是椭圆

上的一个定点,

是椭圆上

(1)若 (2)若直线

,则直线 AB 过定点 与 轴围成以点

; 为顶点的等腰三角形,则直线 的斜率为定





证明 将椭圆

按向量

平移得椭圆





。又点

在椭圆

上,所以

,代入上式得 椭圆 上的定点 和动点 分别对应椭圆

①。 上的定点 和动点 ,设直线

的方程为

,代入①得

。当

时,两边除以

得,

。因为点

的坐

标满足这个方程,所以

是这个关于

的方程的两个根。

(1)若

,由平移性质知

,所以





,所以

。由此知点

在直线

上,即直线

过定点



从而直线 AB 过定点 (2) 依题意知直线 、

即过定点 的倾斜角互补且斜率存在,由平移性质知, 直线



的倾斜角也互补且斜率存在,所以

,即

,由此得

。又 同理可证双曲线有如下:

,所以

,故直线 AB 的斜率为定值



性质 3 已知点 是双曲线上的两个动点。

是双曲线

上的一个定点,



(1)若 (2)若直线

,则直线 AB 过定点 与 轴围成以点

; 为顶点的等腰三角形,则直线 的斜率为定



。 综合归纳以上性质可得圆锥曲线有如下一般性结论: 性质 4 已知点 (1)若 是圆锥曲线上的一个定点, ,则直线 过定点; 是曲线上的两个动点。

(2)若直线

与焦点所在的轴 成等角,则直线

与 的夹角为定值。

圆的标准方程和一般方程哪个更好
正方:圆的一般方程指是的圆的标准方程 : 我一出现,大家立马可以画出一个相应的圆来.因为圆心为 心在坐标原点上,这时 ,则圆的方程就是 .可以看出,只要 ,半径为 .当然,若圆 .一个要确定一个圆,根

据圆的定义,动点到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆,定点即圆心,定长即半径,这 一点是标准方程所不能比拟的.所以我方认为,我们比一般方程要好,谢谢!. 主席:下面请反方作陈述,时间也是一分钟.

反方:首先先让大家看一下这个方程,对于

,整理得

, (1)当 的圆; 时,表示以(,)为圆心, 为半径

(2)当 点(,);

时,方程只有实数解



,即只表示一个

(3)当 综上所述,形如

时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 ( )的表示圆的方程称

为圆的一般方程,我们反方认为,我们更适合方程式的特点,

理由是:(1) (2)没有



的系数相同,且不等于 0;

这样的二次项

对 于 识 别

是 不 是 圆 , 只 要 看 有 没 有

,如果连这一关也通不过,就不是圆了.这一点是标准方程所不能达到的, 因此我方认为,我们比标准方程要好,谢谢!. 主席:双方都进行了慷慨陈词,下面进入自由辩论阶段. 正方:既然你们认为比我们好,那么对于这道题,你们如何快速体现? (天津 08 高考,文)已知圆 与圆 该这样 相交于 的圆心与点 两点,且 关于直线 ,则圆 的方程为 对称.直线 .显然应

解析:由题意知圆心的坐标为 故圆的方程为

,然后利用垂径定理得



, 显然是高考那有限的时间内, 我们比你们强多了. (鼓掌) 的圆的方

反方:那就你们强呗,请出招解这道题,求过三点 程.显然应该设圆的方程 ,由题意得

解 得 (鼓掌)
椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(1)

. 故 圆 的 方 程 为

杨志明 1.

2.标准方程:

3. 4.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 5.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点. 6.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8.设 A1、A2 为椭圆的左、右顶点,则△PF1F2 在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆,必与 A1A2 所在的直线切于 A2(或 A1).

9.椭圆

(a>b>o)的两个顶点为

,

,与 y 轴平行的直线

交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是

.

10.若

在椭圆

上,则过

的椭圆的切线方程是

.

11.若

在椭圆

外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则

切点弦 P1P2 的直线方程是

.

12.AB 是椭圆

的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为 AB 的中点,则

.

13 . 若

在椭圆

内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是

.

14 . 若

在椭圆

内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是

.

15 . 若 PQ 是 椭 圆

(a>b>0)上对中心张直角的弦,则

.

16.若椭圆

(a>b>0)上中心张直角的弦 L 所在直线方程为

,则(1)

;(2)

.

17.给定椭圆 则 (i) 对



(a>b>0),



, 上一定点

上任意给定的点

,它的任一直角弦必须经过

M( (ii)对 点. 上任一点

. 在 上存在唯一的点 ,使得 的任一直角弦都经过

18.设

为椭圆(或圆)C:

(a>0,. b>0)上一点,P1P2 为曲线 C 的 的

动弦,且弦 P0P1, P0P2 斜率存在,记为 k1, k 2, 则直线 P1P2 通过定点

充要条件是

.

19. 过椭圆

(a>0, b>0)上任一点

任意作两条倾斜角互补的直线交

椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且

(常数).

20.椭圆

(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ,则椭圆的焦点角形的面积为


椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(2)

.

杨志明

21.若 P 为椭圆

(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F

2

是焦点,

,

,则

.

22.椭圆

(a>b>0)的焦半径公式:

,

(

,

).

23.若椭圆 0<e≤

(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当

时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

24.P 为椭圆

(a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 ,当且仅当 三点共线时,等号成立.

25.椭圆

(a>b>0)上存在两点关于直线 :

对称的充要条

件是

.

26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直.

28.P 是椭圆

(a>b>0)上一点,则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条

件是

.

29.设 A,B 为椭圆 交于 ,则 .

上两点,其直线 AB 与椭圆



30 . 在 椭 圆

中 , 定 长 为 2m ( o < m ≤ a ) 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为

,其中

,当

时,

.

31.设 S 为椭圆

(a>b>0)的通径,定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上

移 动 , 记 |AB|=



是 AB 中 点 , 则 当

时,有

,

);当

时,有

,

.

32 . 椭 圆 .

与直线

有公共点的充要条件是

33.椭圆 .

与直线

有公共点的充要条件是

34.设椭圆

(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上 , , ,则有

任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记

. 35.经过椭圆 上任一点的切线相交于 P1 和 P2,则 (a>b>0)的长轴的两端点 A1 和 A2 的切线,与椭圆 .

36. 已知椭圆

(a>b>0)O 为坐标原点, Q 为椭圆上两动点, , P、 且

.

(1)

;(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为

;(3)

的最小

值是

. (a>b>0)过焦点的任一弦,若 AB 是经过椭 .

37.MN 是经过椭圆 圆中心 O 且平行于 MN 的弦,则

38.MN 是经过椭圆

(a>b>0)焦点的任一弦,若过椭圆中心 O

的半弦

,则

.

39.设椭圆

(a>b>0),M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心,顶点外的

任一点,过 M 引一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点,则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为对称轴上的

两顶点)的交点 N 在直线 :

(或

)上.

40.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.
椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(3)

杨志明 41.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

42. 设椭圆方程

,则斜率为 k(k≠0)的平行弦的中点必在直线 :

的共

轭直线

上,而且

.

43. A、 C、 为椭圆 设 B、 D

上四点,AB、 所在直线的倾斜角分别为 CD



直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在椭圆上,则

.

44.已知椭圆

(a>b>0),点 P 为其上一点 F1, F 2 为椭圆的焦点,

的外(内)角平分线为 ,作 F1、F2 分别垂直 于 R、S,当 P 跑遍整个椭圆时,R、S 形成 的轨迹方程是 ( , AB 为 且 ). 的直径, 为 AB 的共轭直径所在的直线, 分 相切的充要条件是 D 为 EF

45. 设△ABC 内接于椭圆

别交直线 AC、BC 于 E 和 F,又 D 为 上一点,则 CD 与椭圆 的中点.

46.过椭圆

(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦

MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则

.

47.设 A(x1 ,y1)是椭圆

(a>b>0)上任一点,过 A 作一条斜率为 分别是 A 到椭圆两焦点的距离,则

的直线 L,又设 d 是原点到直线 L 的距离, .

48.已知椭圆

( a>b>0)和



),一直线顺次与

它们相交于 A、B、C、D 四点,则│AB│=|CD│.

49.已知椭圆

( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平

分线与 x 轴相交于点

, 则

.

50.设 P 点是椭圆

( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点



,则(1)

.(2)

. 于 M,N 两点,则

51.设过椭圆的长轴上一点 B(m,o)作直线与椭圆相交于 P、Q 两点,A 为椭圆长轴 的左顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线 MN:

.

52.L 是经过椭圆 椭圆两个焦点,e 是离心率,点

( a>b>0)长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线,E、F 是 ,若 ,则 是锐角且 或

(当且仅当

时取等号).

53.L 是椭圆 e 是离心率,

( a>b>0)的准线,A、B 是椭圆的长轴两顶点,点 ,H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距,则 是锐角且

, 或

(当且仅当

时取等号).

54.L 是椭圆 点,点 ,

( a>b>0)的准线,E、F 是两个焦点,H 是 L 与 x 轴的交 ,离心率为 e,半焦距为 c,则 为锐角且 或

(当且仅当

时取等号).

55.已知椭圆

( a>b>0),直线 L 通过其右焦点 F2,且与椭圆相交于 A、

B 两点,将 A、B 与椭圆左焦点 F1 连结起来,则

(当且仅当

AB⊥x 轴时右边不等式取等号,当且仅当 A、F1、B 三点共线时左边不等式取等号).

56.设 A、B 是椭圆 , ,

( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有

(1)

.(2)

.(3)

.

57.设 A、B 是椭圆 外部的两点,且 Q 两点,则 . 、 的横坐标

( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、 ,(1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、

;(2)若过 B 引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,则

58.设 A、B 是椭圆

( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点),

外部的两点,(1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,(若 B P 交椭圆于两点,

则 P、 不关于 x 轴对称)且 Q ,

, 则点 A、 的横坐标 B

、 满足



(2)若过 B 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,且 横坐标满足 .

,则点 A、B 的

59. 设

是椭圆

的长轴的两个端点,

是与

垂直的弦, 则直线



的交点 P 的轨迹是双曲线

.

60 . 过椭 圆

( a> b> 0) 的 左焦 点

作 互相 垂直的 两 条弦 AB 、CD 则

.
椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(4)

杨志明

61.到椭圆 点 M 的轨迹是姊妹圆

( a>b>0)两焦点的距离之比等于 .

(c 为半焦距)的动

62.到椭圆

( a>b>0)的长轴两端点的距离之比等于

(c 为半焦距)

的动点 M 的轨迹是姊妹圆

.

63.到椭圆

( a>b>0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为

(c 为

半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆

(e 为离心率).

64.已知 P 是椭圆

( a>b>0)上一个动点,

是它长轴的两个端点,



,

,则 Q 点的轨迹方程是

.

65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴 之长的比例中项.

66.设椭圆

( a>b>0)长轴的端点为

,

是椭圆上的点过 P

作斜率为 (1)

的直线 ,过

分别作垂直于长轴的直线交 于 面积的最小值是 .

,则

.(2)四边形

67. 已知椭圆

( a>b>0) 的右准线 与 x 轴相交于点 在右准线 上,且

, 过椭圆右焦点

的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 的中点.

轴,则直线 AC 经过线段 EF

68.OA、OB 是椭圆

( a>0,b>0)的两条互相垂直的弦,O 为坐标

原点,则(1)直线 AB 必经过一个定点

.(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一

个交点 Q 的轨迹方程是

.

69.

是椭圆

(a>b>0)上一个定点,P A、P B 是互相垂直

的弦,则(1)直线 AB 必经过一个定点 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是

.(2)以 P A、P B

( 70.如果一个椭圆短半轴长为 b,焦点 F1、F2 到直线 ,且 F1、F 2 在 侧 直线 同侧



).

的距离分别为 d1、d2,那么(1) ,且 F1、F2 在 L 同 直线 L 和椭圆相交.

直线 L 和椭圆相切.(2) ,或 F1、F2 在 L 异侧

和椭圆相离,(3)

71.AB 是椭圆 过 A、B 的切线交于 . 、

(a>b>0)的长轴,

是椭圆上的动点,过

的切线与

两点,则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是

72 . 设 点

为椭圆

( a > b > 0 ) 的 内 部 一 定 点 , AB 是 椭圆

过定点

的任一弦,当弦 AB 平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时

. 当 弦 AB 垂 直 于 长 轴 所 在 直 线 时 ,

. 73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 77. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离 心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点 到同侧焦点的距离成比例.
椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(5)

杨志明 81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点 与同侧焦点连线段成比例. 82. 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连 线必与另一焦半径所在直线平行. 83. 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的 距离为椭圆长半轴的长. 84. 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦 半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点. 85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的 比为定值 e. 86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.

88. 椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为 直径的圆必过两焦点.

89. 已知椭圆

(包括圆在内)上有一点

,过点

分别作直线

及 (1)

的平行线,与直线 ;(2)

分别交于

, .

为原点,则:.

90. 过平面上的 交 轴 于

点作直线 . ( 1 ) 若



的平行线, 分别交 轴于 , 则



的 轨 迹 方 程 是

.(2) 若

, 则

的 轨 迹 方 程 是

.

91. 点

为椭圆

(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点, 过

引 轴、 轴的平行线,交

轴、 轴于

,交直线



,记



的面积为 92. 点

,则:

. 引 轴、 轴的平行线,交 轴、 轴于 ,

为第一象限内一点,过

交直线



,记



的面积为

,已知

,则

的轨迹方程是

.

可以避免讨论的简单方法
在圆锥曲线这一部分由于建立直角坐标系的方法不同使得曲线的标准方程是多种多样 的,但这样会对我们的计算带来困难,而在有这样的一些情况下是可以避免讨论的,下面有 这样两个例子.

例 1 求焦点在 轴上且截得直线

的弦长为

的双曲线的标准方程

分析:如果分两种情况 接设 ,当 时

①或 ,当

② 时

来讨论要计算两次.若直 ,但只用计算一次减小

了计算量避免了讨论.

解:设双曲线的标准方程是





为双曲线与直线交点的横坐标

联立



,得

,由根与系数的关系可

得:



由弦长公式



代入已知条件 线的标准方程为: 或 .

,解得



,从而双曲

例 2 求过点



且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.

分 析 : 本题 并 不 明 确 双曲 线 的 焦 点 所 在 的 轴 线使 得 在 计 算 的 时 候 要 分两 种 情 况



进行讨论要计算两次.若直接设



入 P、Q 两点的坐标这样就减少了计算的次数避免了讨论.

解:设双曲线的方程为 ∵P、Q 两点在双曲线上,





解得

∴所求的双曲线方程是 这样以来就使得原本需要计算的量大大减少,为我们在考场上赢得了更多的时间.

椭圆与双曲线的对偶性质之双曲线篇(1)
杨志明 1.

2.标准方程:

3. 4.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 5.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点. 6.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8.设 A1、A2 为双曲线的左、右顶点,则△PF1F2 在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆,必与 A1A2 所在的直线切于 A2(或 A1).

9.双曲线

(a>0,b>0)的两个顶点为

,

,与 y 轴平行的

直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是

.

10.若

在双曲线

(a>0,b>0)上,则过

的双曲线的切线方程是

.

11.若

在双曲线

(a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线

切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是

.

12.AB 是双曲线

(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为 AB

的中点,则

.

13.若

在双曲线

(a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方

程是

.

14.若

在双曲线

(a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程



.

15 . 若 PQ 是 双 曲 线

(b>a >0)上对中心张直角的弦,则

.

16. 若双曲线

(b>a >0) 上中心张直角的弦 L 所在直线方程为

,则(1)

;(2)

.

17. 给定双曲线 则 (i) 对



(a>b>0) ,



, 上一定点

上任意给定的点

,它的任一直角弦必须经过

M( (ii)对 点. 上任一点

. 在 上存在唯一的点 ,使得 的任一直角弦都经过

18.设

为双曲线

(a>0,b>0)上一点,P1P2 为曲线 C 的动弦,且 的充要条

弦 P0P1, P0P2 斜率存在,记为 k1, k 2, 则直线 P1P2 通过定点

件是

.

19.过双曲线

(a>0,b>o)上任一点

任意作两条倾斜角互补的直

线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且

(常数).

20.双曲线

(a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意

一 点

, 则 双 曲 线 的 焦 点 角 形 的 面 积 为



椭圆与双曲线的对偶性质之双曲线篇(2)

杨志明

21.若 P 为双曲线

(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F

2

是焦点,

,

,则

(或

).

22.双曲线

(a>0,b>o)的焦半径公式:(

,

当 当

在右支上时, 在左支上时,

, ,

. .

23.若双曲线 1<e≤ 项.

(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当

时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中

24.P 为双曲线 点,则 等号成立.

(a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定 ,当且仅当 三点共线且 和 在 y 轴同侧时,

25.双曲线

(a>0,b>0)上存在两点关于直线 :

对称的充要

条件是

.

26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与 相应焦点的连线必与切线垂直. 27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必 与焦半径互相垂直.

28.P 是双曲线

(a>0,b>0)上一点,则点 P 对双曲线两焦点张直角的

充要条件是

.

29.设 A,B 为双曲线

(a>0,b>0,

)上两点,其直线 AB 与

双曲线

相交于

,则

.

30 . 在 双 曲 线

中 , 定 长 为 2m ( m ) 0 ) 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为

,其中

,当

时,

.

31.设 S 为双曲线

(a>0,b>o)的通径,定长线段 L 的两端点 A,B 在双曲

线上移动,记|AB|= ,

是 AB 中点,则当

时,有

,

);当

时,有

.

32.双曲线 .

(a>0,b>0)与直线

有公共点的充要条件是

33.双曲线 的充要条件是

(a>0,b>0)与直线 .

有公共点

34.设双曲线

(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双 , , ,则有

曲 线 上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记

.

35.经过双曲线

(a>0,b>0)的实轴的两端点 A1 和 A2 的切线,与双曲线 .

上任一点的切线相交于 P1 和 P2,则

36.已知双曲线

(b>a >0),O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,



.(1)

;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为

;(3)

的最小值是

.

37.MN 是经过双曲线

(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支),若 AB .

是经过双曲线中心 O 且平行于 MN 的弦,则

38.MN 是经过双曲线

(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支),若过双曲线

中心 O 的半弦

,则

.

39.设双曲线

(a>0,b>0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心,顶点外的任

一点,过 M 引一条直线与双曲线相交于 P、Q 两点,则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为两顶点)的

交点 N 在直线 :

上.

40.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.
椭圆与双曲线的对偶性质之双曲线篇(3)

杨志明 41.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶 点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

42. 设双曲线方程

,则斜率为 k(k≠0)的平行弦的中点必在直线 :



共轭直线

上,而且

.

43.设 A、B、C、D 为双曲线 倾斜角分别为

(a>0,b>o)上四点,AB、CD 所在直线的

, 直 线 AB 与 CD 相 交 于 P, 且 P 不 在 双 曲 线 上 , 则

.

44.已知双曲线

(a>0,b>0),点 P 为其上一点 F1, F 2 为双曲线的焦点,

的外(内)角平分线为 ,作 F1、F2 分别垂直 于 R、S,当 P 跑遍整个双曲线时, R、S 形成的轨迹方程是 ( 45.设△ABC 三顶点分别在双曲线 上,且 AB 为 ). 的直径, 为 AB 的共轭直径所在 相切的充要

的直线, 分别交直线 AC、BC 于 E 和 F,又 D 为 上一点,则 CD 与双曲线 条件是 D 为 EF 的中点.

46.过双曲线

(a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N

两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则

.

47. A 1 ,y1) 设 (x 是双曲线

(a>0,b>0) 上任一点, A 作一条斜率为 过 分别是 A 到双曲线两焦点的距离,则

的直线 L,又设 d 是原点到直线 L 的距离, .

48.已知双曲线

(a>0,b>0)和



),一条直线

顺次与它们相交于 A、B、C、D 四点,则│AB│=|CD│.

49.已知双曲线

(a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直

平分线与 x 轴相交于点

, 则



.

50.设 P 点是双曲线

(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦

点记

,则(1)

.(2)

. 于 M,N 两点,

51.设过双曲线的实轴上一点 B(m,o)作直线与双曲线相交于 P、Q 两点,A 为双曲 线实轴的左顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线 MN:



.

52.L 是经过双曲线

(a>0,b>0)焦点 F 且与实轴垂直的直线,A、B 是

双曲线实轴的两个焦点,e 是离心率,点

,若

,则

是锐角且



(当且仅当

时取等号).

53.L 是经过双曲线 F 是双曲线的准线与 x 轴交点,点

(a>0,b>0)的实轴顶点 A 且与 x 轴垂直的直线,E、 ,e 是离心率, ,H 是 L 与 X 轴的交点

c 是半焦距,则

是锐角且



(当且仅当

时取等号).

54.L 是双曲线

(a>0,b>0)焦点 F1 且与 x 轴垂直的直线,E、F 是双曲 , ,离心率为 e,半焦距为

线准线与 x 轴交点,H 是 L 与 x 轴的交点,点

c,则

为锐角且



(当且仅当

时取等号).

55.已知双曲线

(a>0,b>0),直线 L 通过其右焦点 F2,且与双曲线右支

交于 A、B 两点,将 A、B 与双曲线左焦点 F1 连结起来,则 且仅当 AB⊥x 轴时取等号).

(当

56.设 A、B 是双曲线 , ,

(a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有

(1)

.(2)

.(3)

.

57.设 A、B 是双曲线 点的区域)、外部的两点,且 线这一支相交于 P、Q 两点,则 于 P、Q 两点,则 、

(a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦 的横坐标 ,(1)若过 A 点引直线与双曲 ;(2)若过 B 引直线与双曲线这一支相交 .

58.设 A、B 是双曲线

(a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦

点的区域),外部的两点,(1)若过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点,(若 B P 交双曲线这一支于两点,则 P、Q 不关于 x 轴对称),且 的横坐标 点,且 、 满足 ,则点 A、B

;(2)若过 B 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两 ,则点 A、B 的横坐标满足 .

59.设

是双曲线

的实轴的两个端点,

是与

垂直的弦,则直线



的交点 P 的轨迹是双曲线

.

60.过双曲线

(a>0,b>0)的右焦点

作互相垂直的两条弦 AB、CD,则

椭圆与双曲线的对偶性质之双曲线篇(4)

杨志明

61.到双曲线 动点 M 的轨迹是姊妹圆

(a>0,b>0)两焦点的距离之比等于 .

(c 为半焦距)的

62.到双曲线

(a>0,b>0)的实轴两端点的距离之比等于 .

(c 为半焦

距)的动点 M 的轨迹是姊妹圆

63.到双曲线

(a>0,b>0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为

(c

为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆

(e 为离心率).

64.已知 P 是双曲线

(a>0,b>0)上一个动点,

是它实轴的两个端

点,且

,

,则 Q 点的轨迹方程是

.

65.双曲线的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实 轴之长的比例中项.

66.设双曲线

(a>0,b>0)实轴的端点为

,

是双曲线上的点

过 P 作斜率为 (1)

的直线 ,过

分别作垂直于实轴的直线交 于 面积的最小值是 .

,则

.(2)四边形

67.已知双曲线 焦点

(a>0,b>0)的右准线 与 x 轴相交于点 在右准线 上,且

,过双曲线右

的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点

轴,则直线 AC 经

过线段 EF 的中点.

68.OA、OB 是双曲线

(a>0,b>0,且

)的两条互相垂直的弦,

O 为坐标原点,则(1)直线 AB 必经过一个定点

.(2) 以 O A、O B 为直径的两

圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是

.

69.

是双曲线

(a>0,b>0)上一个定点,P A、P B 是互相垂

直的弦,则(1)直线 AB 必经过一个定点 B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是

.(2)以 P A、P

( 70. 如果一个双曲线虚半轴长为 b, 焦点 F1、 2 到直线 F ,且 F1、F 在 同侧



).

的距离分别为 d1、 2, d 那么 (1) 是双曲线的渐近线.(2) ,或 F1、F2 在 L

2

直线 L 和双曲线相切,或 直线 和双曲线相离,(3)

,且 F1、F2 在 L 同侧 异侧 直线 L 和双曲线相交.

71.AB 是双曲线 线与过 A、B 的切线交于 . 、

(a>0,b>0)的实轴,

是双曲线上的动点,过

的切

两点,则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是

72.设点

为双曲线 的任一弦. AB

(a>0,b>0)的内部((含焦点的区域))一定

点,AB 是双曲线过定点 (1) 如 , 则 当 弦

垂 直 于 双 曲 线 实 轴 所 在 直 线 时

.

(2) 如

, 则 当 弦 AB 平 行 ( 或 重 合 ) 于 双 曲 线 实 轴 所 在 直 线 时 ,

. 73.双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74.双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75.双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76.双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 77.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 80.双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及 外点到同侧焦点的距离成比例. 81.双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、 外点与同侧焦点连线段成比例. 82. 双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂 足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83. 双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足 的距离为双曲线实半轴的长. 84. 双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧 焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点. 85.双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦 的比为定值 e. 86.双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87.双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线. 88. 双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交 点为直径的圆必过两焦点.

89. 已知双曲线 分别交 轴于 (1) ,交 轴于 ; (2) ,

上有一点

,过

分别引其渐近线的平行线,

为原点,则: .

90. 过平面上的

点作直线



的平行线, 分别交 轴于





轴于

.(1)若

,则

的轨迹方程是

.(2)



,则

的轨迹方程是

.

91. 点

为双曲线

在第一象限的弧上任意一点,过

引 轴、

轴的平行线, 交

轴、 轴于

, 交直线



, 记





面积为 92. 点

,则:

. 引 轴、 轴的平行线,交 轴、 轴于 ,

为第一象限内一点,过

交直线



, 记



的面积为

, 已知

, 则

的轨迹方程是



.

两圆公共弦所在直线方程与切线长相等

过圆 的圆系方程: ).

和圆 (

交点 为参数,且



时,上式可化为过两圆公共弦所在直线方程:

【实质】:将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程.

下面介绍几个有关公共弦所在直线方程的重要结论, 并举例运用, 以加深学生对其该知 识点的理解和掌握.

1.若两圆相交,则方程

为它们公共弦所在直线方程.

【例 1】:(新课标人教版 A 必修二,P133,习题 4.2,A 组 9 题)求圆 与圆 的公共弦长.

【解析】:设两圆交于 方程: .

两点,将两圆方程相减可得公共弦所在直线

再由

再由弦长公式得:

.

当然,此题解法很多,该解法重点体现两圆公共弦所在直线方程的应用,其他解法在这 里就不再遨述.

同 题 型 还 有 ( 新 课 标 人 教 版 A 必 修 二 , P144 , 复 习 参 考 题 A 组 4 题 ) 求 圆 与圆 的公共弦长.

此题解答可参照例 1.

2.两圆外一动点 P,向两相交圆所引切线长相等,则方程

是 P 点的轨迹方程.

【例 2-1】:圆

与圆

外一动点 P,向两圆所

引切线长相等,则动点 P 的轨迹方程为

【解析】:由切线长定理可知:

所以 P 在两圆的公共弦所在直线上.

即 P 点的轨迹为

(P 在两圆外).

【例 2-2】:已知

和 .



在平面上找一点 P,过 P 点引两圆切线并使他们的长都等于

【说明】:圆 .

外一点

,则向圆引切线长 满足:

【解析】:如图所示,P 点是两圆公共弦所在直线与以

(或

)为圆心,以

(或

)为半径的圆的交点.

∴设

,依题意可得:



∴P 的坐标是



.

【例 2-3】 : (新课标人教版 A 必修二, P144, 复习参考题, 组 6 题) 已知圆 A , 和圆 关于直线 对称,求直线 方程.

【解析】:由题意可知两圆相交,对称轴是两圆的中垂线. 将两圆方程相减可得到其对称轴方程: .

3.一动点 P,向两相外切的圆所引切线长相等,则方程

是 P 点的轨迹方程.

【例 3】:已知



相外切,两圆外一动点 P,

向两圆所引切线长相等,则 P 点的轨迹方程.

【解析】:如图所示,



∴P 点的轨迹方程仍为两圆方程之差,即为:

.

4.一动点 P,向两相外离的圆所引切线长相等,则方程

是 P 点的轨迹方程.

两圆外离是将相交两圆的圆心距扩大所致,所以可以进行类比推理.

【例 4-1】:(07 四川理 15)、已知 ,由动点 是 向 和

的方程是



的方程是 的轨迹方程

所引的切线长相等,则动点

【解析】: 圆外离. 动点

:圆心

,半径



:圆心

,半径

.两

的轨迹由两圆方程相减可得: .

【例 4-2】:(新课标人教版 A 必修二,P144,复习参考题 A 组 7 题)求与圆 关于直线 对称的圆的方程.

【注意】:圆 C 和直线是相外离,所以对称后的两圆位置关系是外离,但是由于与已知 圆共弦的圆不能唯一确定,所以通过类比此题不能用公共弦所在直线方程的思路来处理.

【解析】:圆 C 圆心(

),

,设所求圆方程为

,直线

是两圆连心线的垂直平分线.

∴ ∴所求圆的方程为 .

同类型的题还有(新课标人教版 A 必修二,P133,习题 4.2,A 组 7 题),求与圆 C: 关于直线 L: 对称的圆的方程.

同学们可以参照例题 4-2 求解.

函数思想在“直线与圆的方程”中的体现
山东省胶南市第一中学 韩朝泉

函数思想渗透于高中数学的方方面面, 在直线与圆的方程中, 我们也不难找到它的身影.

一.求最值问题中的函数

最值问题是一种常见问题,求解往往可以转化为求函数的最值.在直线与圆的方程中, 有些最值问题可以借助于圆的方程特征及几何特征,利用函数的思想加以解决.

例1.已知实数

满足



(1)求

的最大值和最小值;

(2)求

的最大值和最小值.

分析: 首先,

表示的图形是圆. (1) 由已知可得

, ,

这是一个关于 的二次函数, 因此, 问题转化为求二次函数的最值问题. (2) 设

则 可以看作关于 或 意义求函数的最值.

的函数,转为求函数的最值问题; (3)设

,可结合几何

解:

化为:

, 表示圆心在

, 半径



圆.

(1)设 是一个关于

,由 的一次函数,由于 ,当 时,

得,

,即 ,所以,当

,这 时,



(2)设 点

,此函数的最值可以借助于

几何意义:圆上的点

与定 ,

的连线的斜率.如图1所示,由A作圆的切线,设切线的方程为



,由圆心C到直线的距离等于圆的半径,得

,解得

,所以,

的最大值为

,最小值为



二.含参数问题中的函数思想

含参数的问题,常常要对参数进行讨论,或求参数范围等,这时函数的思想可以发挥重 要作用.

例2.已知方程 径的取值范围.

表示圆.试求圆的半

分析:将圆的半径用参数 围.

表示出来,得到关于

的函数,然后利用函数的性质求范

解:设圆的半径为 ,则





,得



所以,当

时,

;即圆半径 的范围是



三.求轨迹方程中的函数思想

求轨迹方程的方法有很多,基本上都会用到函数的思想.尤其是参数法求轨迹方程时, 函数的思想体现得更为明显.

例3.设圆的方程为

,试求圆心C的

轨迹方程.

分析:圆心的横坐标与纵坐标都可以用参数 与 的范围相关的,可以理解为函数的值域.

表示出来,因此,消掉参数

即可求出

圆心的轨迹方程.要注意自变量 的范围,由于 表示为参数

的函数,所以,其范围是

解:设圆心C

,依题意,



由(1)得

,代入(2) ,得



由例2可知:

,所以,

.故圆心C的轨迹方程为



) .

有变量就有函数, 函数思想为我们解决问题提供了方便, 渗透于数学的各个知识点中. 通 过对各知识点中函数思想的认识, 一方面可以加深我们对函数思想的理解, 另一方面也可以 增强我们对问题本质的理解与把握,同时还可以提高我们分析问题,解决问题的能力.
巧用圆系方程 简化解题过程

四川省眉山中学校 谢维勇

在解析几何中, 符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共 同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种:

⑴以

为圆心的同心圆系方程

⑵过直线

与圆

的交点的圆系方程

⑶过两圆 交点的圆系方程

和圆



此圆系方程中不包含圆 题意,谨防漏解。

,直接应用该圆系方程,必须检验圆

是否满足



时,得到两圆公共弦所在直线方程

为了避免利用上述圆系方程时讨论圆 弦所在直线交点的圆系方程

,可等价转化为过圆

和两圆公共

在遇到过直线与圆, 圆与圆交点的圆有关问题时,灵活选取上述各种圆系方 程,可简化繁杂的解题过程。现不妨举两例简要说明。

例 1:已知圆 为坐标原点,若 ,求实数

与直线 的值。

相交于

两点,

分析: 此题最易想到设出

, 由

得到



利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于 得解。倘若充分挖掘本题的几何关系 上。而 ,不难得出

的方程,最后验证 在以 为直径的圆

刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地

简化运算过程。

解:过直线

与圆

的交点的圆系方程为:

,即

???????.①

依题意,

在以

为直径的圆上,则圆心(

)显然在直线

上,则

,解之可得



满足方程①,则



例 2:求过两圆 方程。



的交点且面积最小的圆的

分析:本题若先联立方程求交点,再设所求圆方程,寻求各变量关系,求半 径最值,虽然可行,但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。 为了避免讨论, 先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共 弦及圆交点且面积最小的圆的问题。

解:圆



的公共弦方程为

,即

过直线

与圆

的交点的圆系方程为

,即

依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求 圆的直径,圆心 必在公共弦所在直线 上。即

,则

代回圆系方程得所求圆方程

总之,在求解过直线与圆,圆与圆交点的圆有关问题时,若能巧妙使用圆系 方程,往往能优化解题过程,减少运算量,收到事半功倍的效果。
由圆类比出有心曲线的几个性质

湖北省阳新县高级中学 邹生书 波利亚说:“类比是一个伟大的引路人”, “类比是获得发现的伟大源泉”.类比在科学创 造的发明与发现中有着十分广泛的应用.毫不例外,在数学领域中也有着广泛的应用.数学 中应用类比方法的关键,是要善于发现两个不同数学对象在空间形式或数量关系之间的“相 似”, 而这种“相似”并不是简单的模仿和复制,而是富有创造性的设想和探究. 在有心圆锥曲线中, 圆是最简单的图形, 本文笔者借助类比从圆中我们熟悉的几个性质 出发,类比出椭圆、双曲线的几个类似性质.

1.我们知道:若 ,若直线



的任意一条直径,点 的斜率都存在,则 .

是圆上任意一点, 则

怎样将此性质类比到椭圆上呢?若 点 那么 是椭圆上任意一点, 显然 是否为定值呢?

是椭圆 ; 若直线

的任意一条直径, 的斜率都存在, 显然 ,



,因为

是椭圆的直径,所以点

的坐标为

,所以

.又因为点 ,两式相减得,

在椭圆上,所以有 ,所以

,所以

.于是有如下结论:

性质 1.1 已知

是椭圆

的直径,点

是椭圆上任意一点, 若直

线

的斜率都存在,则 同理可证双曲线也有如下类似性质:



性质 1.2 已知

是双曲线

的直径,点

是双曲线上任意一

点,若直线

的斜率都存在,则



2.我们知道:若直线 的斜率都存在,则

与 .

相切于点

,则有

,若直线

如何将此性质成功类比到椭圆呢?若直线 ,显然 是否为定值呢? 不成立;若直线

与椭圆

相切于点 .那么

的斜率都存在,显然



, 则切线

的方程为:

, 所以

, 又



所以

,于是有如下结论:

性质 2.1 若直线

与椭圆

相切于点

,且直线

的斜率

都存在,则有



同理可证双曲线也有如下类似性质:

性质 2.2 若直线

与双曲线

相切于点

,且直线



斜率都存在,则有



3.我们又知道:若 则有 ,若直线



的非直径的弦,点 的斜率都存在,则 .

是弦

的中点,则有

将此性质类比到椭圆、双曲线有如下性质:

性质 3.1 若

是椭圆

上的非直径的弦,点

是弦

的中点,

且直线

的斜率都存在,则



证明 设 ②,

, 则有 ,将①式减②式得, ,所以

①,





,即



性质 3.2 若

是双曲线

上的非直径的弦, 点

是弦

的中

点,若直线

的斜率都存在,则



4.我们还知道:已知 相交于点 , 若 (1) , 则

是 , 若直线

的两条半径,圆在

两点处的切线 ;

的斜率都存在, 则

(2)若

,则



将此性质类比到椭圆、双曲线可得如下性质:

性质 4.1 已知

是椭圆

的两条半径,椭圆在

两点处的

切线相交于点

,且直线

的斜率都存在,则



证明 因为直线

的斜率都存在,设

,则椭圆在点

处的切线方

程为

,所以

,设

,同理可得椭圆在点

处的切线斜率为

,所以

.因为

所以

,即



从而



性质 4.2 若

是双曲线

的两条半径, 双曲线在

两点

处的切线相交于点

. (1)若

,且直线

的斜率都存在,则



(2)若

,则



下面我们以 2010 年高考题为例来说明本文类比得到的性质在解题中的应用.

例 1 (2010 年高考宁夏卷理科第 12 题)已知双曲线 过 的直线 与 相交于 两点,且 的中点为

的中心为原点, ,则



的焦点,

的方程为( )



设曲线方程为

,



,由本文性

质 3.2 有

,所以

,又因为

,所以

,联立解得

,故所求曲线

的方程为

,故应选



例 2(2010 年安徽高考理科第 19 题)已知椭圆

经过点

,对称轴为坐标轴,

焦点

在 轴上,离心率



(Ⅰ)求椭圆

的方程;

(Ⅱ)求

角平分线所在直线 方程;

(Ⅲ)在椭圆 理由.

上是否存在关于直线 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明

解(Ⅰ)易求得椭圆

的方程为

(过程略);

(Ⅱ)可求得直线 的方程为

(过程略);

(Ⅲ)假设存在这样的两个不同的点

,设

中点为

.因为

,所



,又 ①,又点 ,所以

,由本文性质 3.1 得, 在直线 上,所以有 中点就是点 ,因点

,即

,也就是

②,联立①②解得 在椭圆上,而弦 的中点不可

能在椭圆上,故不存在关于直线 对称的相异两点.

高考真题
辽宁在题外

1、 (2011 安徽卷)若 A=0,点 A 的坐标为(1,1) ,点 B 在抛物线 y=x 上运动,点 Q 满足 =? 轨迹方程。 ,经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P 满足 = ,求点 P 的

2、 (2011 福建卷)已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? , 问直线 l ? 与抛物线 C: 2=4y 是否相切?说明理由。 x 坐标系与参数方程 3、 (2011 福建卷)在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3 cos a ? . ? ? y ? sin a ?
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

π ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2
2 2 2 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 4、 (2011 广东卷)设圆 C 与两圆 ( x ? 5) ? y ? 4, ( x ? 5) ? y ? 4 中的一个内切,另 一个外切。 (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程;

(2)已知点 M ( 点 P 的坐标.

3 5 4 5 , ), F ( 5, 0) ,且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及此时 5 5

5、 (2011 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L: y ?

1 2 x 实数 p,q 满足 4 .

p 2 ? 4q ? 0 ,x1,x2 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根,记 ? ( p, q ) ? max ? x1 , x2 ? 。
(1)过点 A( p0 , Q(p,q)有 ? ( p, q) ?

1 2 p0 )( p0 ? 0) 作 L 的切线教 y 轴于点 B. 证明:对线段 AB 上任一点 4
p0 2 ;
2

(2) M(a, 设 b)是定点, 其中 a, 满足 a -4b>0,a≠0. 过 M(a, b b)作 L 的两条切线 l1 , l2 , 切点分别为 E ( p1 ,

1 2 1 p1 ), E?( p2 , p2 2 ) ,l1 , l2 与 y 轴分别交与 F,F'。线段 EF 上异于两端点 4 4
p1 2 ;

的点集记为 X.证明:M(a,b) ? X ? P ? P2 ? ? (a, b) ? 1 (3) D={ (x,y)|y≤x-1,y≥ 设

1 2 5 (x+1) - }.当点(p,q)取遍 D 时, ? ( p, q) 的最小值 (记 求 4 4

为 ? min )和最大值(记为 ? max ).

6、 2011 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 (

x2 y2 ? ? 1 的顶点, 4 2

过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C, y 连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB

P B

2 2 解析: (1)M(-2,0),N(0, ? 2 ),M、N 的中点坐标为(-1, ? ),所以 k ? 2 2

M A

C

x

2 x? 2 4 2 4 2 y y ?2 x 3 即:y ? x ? 2 (2) x2 ? 2 y 2 ?4 得 P( , ), A(? , ? ) ,C ( , 0) , 方程: 由 AC ? 4 2 2 3 3 3 3 3 3 ? ? ? 3 3 3

?

2 4 2 ? ? 3 3 3 2 2 所以点 P 到直线 AB 的距离 d ? ? 3 2
(3)法一:由题意设 P( x0 , y0 ), A(? x0 , ? y0 ), B( x1 , y1 ), 则C ( x0 , 0) ,

?A、C、B 三点共线,?

y y ?y y1 ? 0 ? 1 0 , 又因为点 P、B 在椭圆上, x1 ? x0 2 x0 x1 ? x0

?

x0 2 y0 2 x ?x x2 y2 ? ? 1, 1 ? 1 ? 1 ,两式相减得: k PB ? ? 0 1 2( y0 ? y1 ) 4 2 4 2
y0 x ?x ( y ? y )( x ? x ) [? 0 1 ] ? ? 1 0 0 1 ? ?1 x0 2( y0 ? y1 ) ( x1 ? x0 )( y0 ? y1 )

? k PA kPB ?

? PA ? PB
法二:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), A,B中点N(x 0 ,y0 ),则P(-x1 , ? y1 ),C(-x1 , 0) ,

?A、C、B 三点共线,?

y2 y ?y y ? 2 1 ? 1 ? k AB , 又因为点 A、B 在椭圆上, x2 ? x1 x2 ? x1 2 x1

?

y x2 2 y2 2 x2 y2 1 ? ? 1, 1 ? 1 ? 1 ,两式相减得: 0 ? ? , x0 2k AB 4 2 4 2 y0 y1 1 ?? ? 2k AB ? ?1 ,? ON ? PB,? PA ? PB x0 x1 2k AB

? kON k PA ?

7、(2011 江苏)选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) . 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ?

? x ? 5cos ? ( ? 为参数)的右焦点且与直线 ? y ? 3sin ?

? x ? 4 ? 2t ( t 为参数)平行的直线的普通方程。 ? ?y ? 3?t ? x ? 4 ? 2t x2 y 2 ? ? 1, 右焦点为(4,0) 解析:椭圆的普通方程为 ,直线 ? ( t 为参数) 25 9 ?y ? 3?t
的普通方程为 2 y ? x ? 2 , 斜率为: ; 所求直线方程为:y ? 8、 2011 江西)P( x0 , y0 )( x0 ? ? a) 是双曲线 E : (

1 2

1 ( x ? 4),即x ? 2 y ? 4 ? 0 2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,M , N a2 b2

分别是双曲线 E 的左、右定点,直线 PM , PN 的斜率之积为 (1)求双曲线的离心率;

1 . 5

(2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A, B 两点, O 为坐标原点, C 为 双曲线上的一点,满足 OC ? ? OA ? OB ,求 ? 的值. 解: (1)已知双曲线 E:

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? , P?x0 , y0 ? 在双曲线上,M,N 分别为 a 2 b2

双 曲 线 E 的 左 右 顶 点 , 所 以 M ?? a,0? , N ?a,0? , 直 线 PM , PN 斜 率 之 积 为

K PM ? K PN
2 2

y0 y0 y x 5 y0 1 ? ? ? 2 0 2 ? ? 02 ? 2 ? 1 x0 ? a x0 ? a x0 ? a 5 a a

2

2

2



x0 y 1 6 c 30 ? 02 ? 1 ,比较得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? e ? ? 2 a b 5 5 a 5

(2)设过右焦点且斜率为 1 的直线 L: y ? x ? c ,交双曲线 E 于 A,B 两点,则不妨设

A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,又 OC ? ? OA ? OB ? ??x1 ? x2 , ?y1 ? y 2 ? ,点 C 在双曲线 E 上:

??x1 ? x2 ?2 ? 5??y1 ? y2 ?2 ? a 2 ? ?2 ?x12 ? 5 y12 ? ? 2?x1 x2 ? 10?y1 y2 ? ?x2 2 ? 5 y2 2 ? ? a 2
*(1) 又 联立直线 L 和双曲线 E 方程消去 y 得: 4 x ? 10cx ? 5c ? a ? 0
2 2 2

由韦达定理得:x1 x2 ? 入(1)式得: ?2 a 2 ?

5c 2 ? a 2 5c 2 ? a 2 5c 2 2 ? ? c2 代 ,y1 y 2 ? x1 x2 ? c?x1 ? x2 ? ? c ? 4 4 2
7 71 ? a 2 ? ?a 2 ? a 2 ? a 2 ? ? ? 0,或? ? -4 2 2

9、2011 山东已知直线 l 与椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 交于 P ? x ? y1 ? .Q ? x1 ? y ? 两不同点,且 3 2

△OPQ 的面积 S=

6 ,其中 Q 为坐标原点。 2
2 2 2 2

(Ⅰ)证明 X1 +X2 和 Y1 +Y2 均为定值 (Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 OM ? PQ 的最大值; (Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG 若存在,判断△DEG 的形状; 若不存在,请说明理由。

10、2011

陕西如图,设 P 是圆 x2 ? y 2 ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为
4 PD 5

PD 上一点,且 MD ?

(Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程 (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

4 的直线被 C 所截线段的长度 5

解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y)P 的坐标为(xp,yp) ,由已知 xp=x

yp ?


5 y 4
x2 y 2 ?5 ? x ? ? y ? ? 25 ,即 C 的方程为 ? ?1 25 16 ?4 ?
2 2

P 在圆上, ∴

(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为

4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3? , 5 5

设直线与 C 的交点为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 将直线方程 y ?

4 ? x ? 3? 代入 C 的方程,得 5
2

x 2 ? x ? 3? ? ?1 25 25
∴ ∴

即 x ? 3x ? 8 ? 0
2

x1 ?

3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? 2 2

线段 AB 的长度为

AB ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

2 ? 16 ? ? ?1 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? 25 ?

41 41 ? 41 ? 25 5

注:求 AB 长度时,利用韦达定理或弦长公式求得正确结果,同样得分。 11、2011 四川椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于

C、D 两点,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.

3 2 时,求直线 l 的方程; 2 ??? ???? ? (II)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: OP ? OQ 为定值。
(I)当|CD | =

解析:由已知可得椭圆方程为

y2 ? x 2 ? 1 ,设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 0), k 为 l 的斜率。 2
4 ? ? y1 ? y2 ? 2 ? k 2 ? ? 2 ? y y ? ?2k ? 2 ? 1 2 2 ? k2 ?

2k ? ? y ? kx ? 1 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? k 2 ? ? ? (2 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 1 ? 0 ? ? 则 ? y2 2 ? ? x ?1 ? x x ? ?1 ?2 ? 1 2 2 ? k2 ?
( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ?

8k 2 ? 8 8k 4 ? 8k 2 9 ? ? ? k2 ? 2 ? k ? ? 2 2 2 2 2 (2 ? k ) (2 ? k ) 2

?l 的方程为 y ? ? 2 x ? 1
12、2011 天津在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a, b) (a ? b ? 0) 为动点, F1 , F2 分别为椭 圆

x2 y 2 ? ? 1的左右焦点.已知△ F1 PF2 为等腰三角形. a 2 b2
???? ???? ? ?

(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; 求点 M 的轨迹方程. 2011 全国

(Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点,满足 AM ? BM ? ?2 ,

在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB / / OA ,

uuu r

uur

uuu uur uuu uur r u r MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C。
(Ⅰ)求 C 的方程;

(Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 解: (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再由题意可知( MA + MB )? AB =0, 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

uuu r

uuu r

uur u

uuu uuu r r

uur u

1 2 x -2. 4 1 1 1 (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x 2 -2 上一点,因为 y ' = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2 1 2 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0 。 2
所以曲线 C 的方程式为 y= 则 O 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 | 2 x0 ? 4

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4
当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 2011 全国坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
2

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

uuv u

uuuv

?
3

与 C1 的异于极点

(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . 解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

uuv u

uuuv

?
3

与 C1 的异于极点

X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2
? x ? 4 cos ? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ?

?x ? ? 2 ? 2 cos ?, ? ? ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ?2 ? ? ?
从而 C 2 的参数方程为



? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?
(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

?
?
3
3

与 C1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?

?
3

3

, 。

所以 | AB |?| ? 2 ? ? 1 |? 2 3 .

2011 浙江已知抛物线 c1 = x = y ,圆
3

的圆心为点 M

(Ⅰ)求点 M 到抛物线 c1 的准线的距离; (Ⅱ)已知点 P 是抛物线 c1 上一点(异于原点) ,过点 P 作圆 c2 的两条切线,交抛物线

c1 于 A,B 两点,若过 M,P 两点的直线 l 垂足于 AB,求直线 l 的方程

2011 重庆如题 (20) 椭圆的中心为原点 O , 图, 离心率 e ? (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;

? , 一条准线的方程为 x ? ? ? . ?

OP ? OM ? ?ON , (Ⅱ) 设动点 P 满足: 其中 M , N 是椭圆上的点, 直线 OM 与 ON
的斜率之积为 ?

uur u

uuur

uuu r

? ,问:是否存在两个定点 F? , F? ,使得 PF? ? PF? 为定值?若存在,求 ?

F? , F? 的坐标;若不存在,说明理由.

x ? ?2 2

2012 高考试题分类汇编:函数与方程
一、选择题
1.【2012 高考安徽文 3】 log 2 9 )( log 3 4)= ( · (A)

1 4

(B)

1 2

(C)2

(D)4

【答案】D 1 2.【2012 高考新课标文 11】当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 2 (A)(0, 【答案】B 3.【2012 高考山东文 3】函数 f ( x) ? (A) [?2, 0) ? (0, 2] 【答案】B 4.【2012 高考山东文 10】函数 y ?
cos 6 x 的图象大致为 2 x ? 2? x

2 ) 2

(B)(

2 ,1) 2

(C)(1, 2)

(D)( 2,2)

1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1)

(B) (?1, 0) ? (0, 2]

(C) [?2, 2]

(D) (?1, 2]

【答案】D 5.【2012 高考山东文 12】设函数 f ( x) ?
1 , g ( x) ? ? x 2 ? bx .若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的 x

图象有且仅有两个不同的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是 (A) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (C) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (B) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (D) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

【答案】B 【解析】方法一:在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,要想满足条件,则有如图

,做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为 (? x1 ,? y1 ) ,由图象 知 ? x1 ? x2 ,? y1 ? y2 , 即 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 ,故答案选 B. 方法二:设 F ( x) ? x3 ? bx 2 ? 1 ,则方程 F ( x) ? 0 与 f ( x) ? g ( x) 同解,故其有且仅有两个不同
2 2 零点 x1 , x2 .由 F ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? b .这样,必须且只须 F (0) ? 0 或 F ( b) ? 0 ,因为 3 3 2 3 2 F (0) ? 1 , 故 必 有 F ( b) ? 0 由 此 得 b ? 3 2 . 不 妨 设 x1 ? x2 , 则 x2 ? b ? 3 2 . 所 以 3 2 3

F ( x) ? ( x ? x1 )( x ? 3 2) 2 ,比较系数得 ? x1 3 4 ? 1 ,故 x1 ? ?

13 1 2 . x1 ? x2 ? 3 2 ? 0 ,由此 2 2

知 y1 ? y2 ?

1 1 x1 ? x2 ? ? ? 0 ,故答案为 B. x1 x2 x1 x2

6.【2012 高考重庆文 7】已知 a ? log 2 3 ? log 2 3 , b ? log 2 9 ? log 2 3 , c ? log 3 2 则 a,b,c 的大小关系是 (A) a ? b ? c (B) a ? b ? c (C) a ? b ? c 【答案】B (D) a ? b ? c
? 1 2

7.【2012 高考全国文 11】已知 x ? ln ? , y ? log 5 2 , z ? e (A) x ? y ? z 【答案】D 8.【2012 高考全国文 2】函数 y ? (A) y ? x ? 1( x ? 0)
2

,则 (D) y ? z ? x

(B) z ? x ? y

(C) z ? y ? x

x ? 1( x ? ?1) 的反函数为
(B) y ? x ? 1( x ? 1)
2

(C) y ? x ? 1( x ? 0)
2

(D) y ? x ? 1( x ? 1)
2

【答案】B 9.【2012 高考四川文 4】函数 y ? a ? a (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(
x



【答案】C 10.【2012 高考陕西文 2】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 【答案】D. 11.【2012 高考湖南文 9】设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f ?( x) 是 f(x)的导函数, x ? ? 0, ? ? 时, 当 0<f(x)<1; x∈ 当 (0, ) 且 x≠ π 则函数 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8 B. y ? ? x
2



C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

?
2

时 ,x? (

?
2

) f ?( x) ? 0 ,

【答案】B 12.【2012 高考湖北文 3】函数 f(x)=xcos2x 在区间[0,2π ]上的零点个数为 A2 B3 C 4 D 5 【答案】D

? x2 ? 1 x ? 1 ? 13.【2012 高考江西文 3】设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( f (3)) ? x ?1 ? ?x
【答案】D 14. 2012 高考江西文 10】 【 如右图, OA=2 (单位: ,OB=1(单位: m) m),OA 与 OB 的夹角为

?
6



? 以 A 为圆心,AB 为半径作圆弧 BDC 与线段 OA 延长线交与点 C.甲。乙两质点同时从点 O ? 出发,甲先以速度 1(单位:ms)沿线段 OB 行至点 B,再以速度 3(单位:ms)沿圆弧 BDC
行至点 C 后停止,乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至 A 点后停止。设 t 时刻甲、乙 所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t) (S(0)=0) ,则函数 y=S(t) 的图像大致是

【答案】A 15.【2012 高考湖北文 6】已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图像如图所示,则 y=-f(2-x) 的图像为

【答案】B 16.【2012 高考广东文 4】下列函数为偶函数的是 A. y ? sin x 【答案】D B. y ? x 3 C. y ? e x D. y ? ln

x2 ? 1

? 1, x ? 0 ?1,x为有理数 ? , 则 f ( g (? )) 的值为 17.【2102 高考福建文 9】设 f ( x) ? ? 0, x ? 0 , g ( x) ? ? ?0,x为无理数 ?? 1x ? m ?
A 1 【答案】B. B 0 C -1 D

?

18.【2102 高考北京文 5】函数 f ( x) ? x ? ( ) 的零点个数为
x

1 2

1 2

(A)0 (B)1(C)2 (D)3 【答案】B 19.【2012 高考天津文科 4】已知 a=21.2,b= (A)c<b<a 【答案】A

??
1 2

-0.2

,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为 C)b<a<c (D)b<c<a

(B)c<a<b

20.【2012 高考天津文科 6】下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 A y=cos2x,x ? R B. y=log2|x|,x ? R 且 x≠0 C. 【答案】B y=
e ?e 2
x ?x

,x ? R

D. y=x3+1,x ? R

二、填空题
21. 【2012 高考安徽文 13】 若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3,??) , a =________。 则 【答案】 ?6 (x+1)2+sinx 22. 【2012 高考新课标文 16】 设函数 f(x)= 的最大值为 M, 最小值为 m, M+m=____ 则 x2+1 【答案】2

【解析】 f ( x) ?

( x ? 1) 2 ? sin x x 2 ? 1 ? 2 x ? sin x 2 x ? sin x ,令 ? ?1? 2 2 x ?1 x ?1 x2 ? 1

g ( x) ?

2 x ? sin x ,则 g (x) 为奇函数,对于一个奇函数来说,其最大值与最小值之和为 0, x2 ? 1

即 g ( x) max ? g ( x) min ? 0 , 而 f ( x) max ? 1 ? g ( x) max , f ( x) min ? 1 ? g ( x) min , 所 以

f ( x) max ? f ( x) min ? 2 .

23.【2012 高考陕西文 11】设函数发 f(x)= 【答案】4.

,则 f(f(-4) )=

24.【2012 高考山东文 15】若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4,最小 值为 m,且函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=____. 【答案】
1 4

25.【2012 高考重庆文 12】函数 f ( x) ? ( x ? a )( x ? 4) 为偶函数,则实数 a ? 【答案】 a ? 4 26.【2012 高考四川文 13】函数 f ( x) ? 【答案】 (??, ) . 27.【2012 高考浙江文 16】设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,

1 的定义域是____________。 (用区间表示) 1? 2x

1 2

3 1]时,f(x)=x+1,则 f( ) =_______________。 2 3 【答案】 2

28.【2012 高考上海文 6】方程 4 x ? 2 x?1 ? 3 ? 0 的解是 【答案】 log 2 3 。 29. 【2012 高考上海文 9】已知 y ? f ( x) 是奇函数,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1 ,则

g (?1) ?
【答案】3

30.【2012 高考广东文 11】函数 y ? 【答案】 ? ?1, 0 ? ? ? 0, ?? ?

x ?1 的定义域为 x

.

31. 【 2102 高 考 北 京 文 12 】 已 知 函 数 f ( x) ? lg x , 若 f (ab) ? 1 , 则

f (a 2 ) ? f (b 2 ) ? _____________。
【答案】2 32.【2102 高考北京文 14】已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 ,若 ?x ? R ,
x

f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ,则 m 的取值范围是_________。
【答案】 (?4,0)

33.【2012 高考天津文科 14】已知函数 y ? 点,则实数 k 的取值范围是 【答案】 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 2 。 .

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交

34.【2012 高考江苏 5】 分)函数 f ( x) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为 ▲ (5 【答案】 0, 6 ? 。



?

?

【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式。

35. 【2012 高考江苏 10】 分) f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数, (5 设 在区间 [?1, 上, 1]

? ?ax ? 1, 1 ≤ x ? 0 , ? ?1? ?3? f ( x) ? ? bx ? 2 其中 a , ? R .若 f ? ? ? f ? ? , b 0 ?2? ?2? ? x ? 1 , ≤ x ≤ 1, ?
则 a ? 3b 的值为 ▲ . 【答案】 ?10 。 【考点】周期函数的性质。

三、解答题
36.【2012 高考上海文 20】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 已知 f ( x) ? lg( x ? 1) (1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围 (2)若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? f ( x) ,求函数 y ? g ( x ) ( x ? ?1, 2? )的反函数 【答案】

37.【2012 高考江苏 17】 (14 分)如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴 垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程

y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地 20

点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不 超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

【答案】解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x 2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。 ∴ x=

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k 2 ?k k

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2) a > 0 , ∵ ∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 , ka ? 使 成立, 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ? = ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

1 (1 ? k 2 )a 2 =3.2 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

> 0 (不考虑另一根) 。

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y ? kx ? 基本不等式求解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。 38.【2012 高考上海文 21】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正方 向建立平面直角坐标系 (以 1 海里为单位长度) 则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A , 处,如图,现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y ?

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 与 x 轴的横坐标,求出后应用 20

12 2 x ;②定位后救援船即刻沿 49

直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t

(1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度 的大小和方向 (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

【答案】



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