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江苏省淮安中学高二数学《合情推理和演绎推理》学案.



教学目标:了解合情推理和演绎推理的含义,能利用归纳和类比等方法进行简单的推理,掌 握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单的推理. 教学重点:利用归纳和类比等方法进行简单的推理,掌握演绎推理的基本模式. 教学难点:利用归纳和类比等方法进行简单的推理,掌握演绎推理的基本模式. 教学过程: 一、课前检测 1、演绎推理: . ①定义特点:演绎推理是由一般到特殊的推理; ②学习要点

:演绎推理是数学中证明的基本推理形式; 推理模式: “三段论” : ⅰ大前提: ; ⅱ小前提: ; ⅲ结论: . 集合简述: ⅰ大前提: x ? M 且 x 具有性质 P; ⅱ小前提: y ? S 且 S ? M ; ⅲ结论:y 也具有性质 P; 2、合情推理: 与 统称为合情推理. ①归纳推理: . ②类比推理: . 定义特点:归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理;而类比推理是由特殊到特 殊的推理;两者都能由已知推测、猜想未知,从而推出结论.但是结论的可靠性有待证明. ③推理过程: 从具体问题出发→ →归纳类比→ .

二、例题讲解 例 1:对任意正整数 n ,猜想 2 n 与 n 2 的大小

例 2:已知“等边三角形内任意一点 P 到三边的距离之和相等,且等于三角形的 高.”类比这一现象,在正四面体中你能得出什么结论?证明你的结论.

1

例 3:设 x 1 , x 2 , ? x 10 都是正数,证明:

x1

2

?

x2

2

?? ?

x 10 x1

2

x2

x3

? x 1 ? x 2 ? ? x 10 .

例 4:设 ?a n ? 是正数组成的数列,其前 n 项和为 S n ,并且对于正整数 n , a n 与 2 的等差中 项等于 S n 与 2 的等比中项.写出数列的前 3 项, 由此猜想数列 ?a n ? 的通项公式, 并给出证明.

三.课堂小结:

作业 班级 姓名 学号 等第

1.对于函数 f ( x ) ,若 f (1) ? 0 , f ( 2 ) ? 3 , f ( 3 ) ? 8 , f ( 4 ) ? 15 . 运用归纳推理的方法可猜测
f (n) ?

2.观察下列不等式: 2 ? 3 ? 2 ? 3 , ? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 , ? 2 ? 3 ? ? 2 ? ? 3 , 归纳出一般 结论为 3.当 a , b , c ? ( 0 , ?? ) 时,由 论为 4.数列 ?a n ? 中, a 1 ? 2 , a 2 ? 8 , a 3 ? 18 , a 4 ? 32 , 运用归纳推理可猜测出 a n =
2

a ?b 2

?

ab ,

a ?b? c 3

?

3

abc , 运用归纳推理可猜测出一般结

5. 1 ? 1 ?

1 6

? 1 ? 2 ? 3 ,1 ? 2 ? 2 ? 1 ?

1 6

? 2 ? 3 ? 4 ,1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 ?

1 6

? 3 ? 4 ? 5, 观 察

以上几个等式,运用归纳推理可猜测出一般结论为 6.将等式和不等式进行类比: (1)由等式的性质:若 a ? b , 则 a ? b ( n ? N ), 可猜测不等式的性质为
n n ?

(2)由等式的性质:若

a b

?

c d

,则

a ? c b ? d

?

a ?c b ? d

可猜测不等式的性质为 (对或错)

(3)判断以上猜测(1)

(2)

7.已知等差数列 ?a n ? 的公差为 d ,前 n 项和为 S n ,有如下的性质: (1)若 m ? n ? 2 p , m , n ? N ,则 a m ? a n ? 2 a p
?

(2) S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n 构成等

差数列. 类比上述性质,在等比数列 ?b n ? 中,写出相类似的性质 (1) (2) 8.将以下两推断恢复成完全的三段论 (1)因为 ? A B C 三边的长依次为 3,4,5, ,所以 ? A B C 是直角三角形; (2)函数 y ? 2 x ? 5 的图像是一条直线.

9. 已知: (1 ? tan 1 )( 1 ? tan 44 ) ? 2 , (1 ? tan 2 )( 1 ? tan 43 ) ? 2 ,
0 0 0 0

(1 ? tan 3 )( 1 ? tan 42 ) ? 2 ?
0 0

,根据以上等式,你能得出什么一般性的结论,并

加以证明.

10. 用三段论证明函数 f ( x ) ? ? x ? 2 x 在 ( ?? ,1] 上是增函数.
2

3

11. 设 AB 是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 中与坐标轴均不平行的弦,其所在直线的斜率为

k 1 , 弦 AB 的中点为 M,O 为坐标原点,直线 OM 的斜率为 k 2 ,则有 k 1 k 2 ? ?

b a

2 2

,将

双曲线和椭圆进行类比,写出相应的结论,并判断其是否正确,若正确,给出证明.

4



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