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第二章基本初等函数、导数及其应用第1课时



第二章 基本初等函数、导数及其应用 基本初等函数、导数及其应用 第二章

第二章

基本初等函数、导数 及其应用

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

第1课时 函数及其表示

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基本初等函数、导数及其应用

教材回扣夯实双基
基础梳理

1.函数与映射的概念 函数 映射

两集合 设A、B是两 设A、B是两 数集 个非空______ 集合 A、B 个非空______

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基本初等函数、导数及其应用

函数 如果按照某种 确定的对应关 系f,使对于集 对应 任意 合A中的______ 关系f: 数x 在 一个______, A→B 集合B中都有 ___________ 惟一确定 的 数f(x)和它对应

映射 如果按某一个确 定的对应关系f, 使对于集合A中 的______ 任意 一个元 素x,在集合B中 都有惟一确定的 元素y与之对应

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基本初等函数、导数及其应用

函数

映射

f:A→B 对应f:A→B 称__________ 称______________ 名 为从集合A到集 为从集合A到集合 称 合B的一个函数 B的一个映射 记 y=f(x),x∈A 法 对应f:A→B是一 个映射

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基本初等函数、导数及其应用

思考探究 映射与函数有什么区别?

提示:函数是特殊的映射,二者区别在
于映射定义中的两个集合是非空集合,

可以不是数集,而函数中的两个集合必
须是非空数集.

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基本初等函数、导数及其应用

2.函数的表示法 函数的表示法:解析法、图象法、列 表法. (1) 解析法:如果在函数 y = f(x)(x ∈ A) 中f(x)是用__________ 自变量x 的代数式来表达 的,则这种表示函数的方法叫做解析 法.
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基本初等函数、导数及其应用

(2) 图象法:对于函数 y = f(x)(x ∈ A) , 定义域内每一个 x 的值都有惟一的 y 值 与它对应,把这两个对应的数构成的 有序实数对 (x, y) 作为点 P的坐标,记 作 P(x, y) ,则所有这些点的集合构成 点的集合 表示 一个曲线,把这种用 __________

函数的方法叫做图象法.
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基本初等函数、导数及其应用

自变量x 与对应 (3) 列表法:用列出 __________ 函数值y 的表格来表达两个变量 的 __________ 间的对应关系的方法叫做列表法.

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基本初等函数、导数及其应用

3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因 对应关系 不同而分别用几个不同的 __________ 式子来表示 ,这种函数称为分段函数. 分段函数虽由几个部分组成,但它表 一个 函数. 示的是______

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基本初等函数、导数及其应用

课前热身

1.(2012· 厦门质检)已知 f(x)=π(x∈R), 则 f(π2)等于( A.π2 C. π
答案:B

) B.π D.不确定

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基本初等函数、导数及其应用

2.下列四个命题正确的有( ) ①函数是其定义域到值域的映射; ②y= x-3+ 2-x是函数; ③函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线;
?x2 ④y=? 2 ?-x

?x≥0? 的图象是抛物线. ?x<0? B.2 个 D.4 个

A.1 个 C.3 个
答案:A

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基本初等函数、导数及其应用

3.如图所示,①②③三个图象各表示 两个变量x,y的对应关系,则有( )

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基本初等函数、导数及其应用

A.都表示映射,且①③表示y为x的
函数

B.都表示y是x的函数
C.仅②③表示y是x的函数

D.都不能表示y是x的函数
答案:C

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基本初等函数、导数及其应用

4 . (2012· 福 州 调 研 ) 设 函 数 f(x ) =
? ?1-1x ?x≥0? ? 2 ? ?1 ?x<0? ? ?x

, 若 f(a)=a, 则实数 a

的值是________.

2 答案:-1 或 3

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基本初等函数、导数及其应用

5.已知 ________.

? 1? 1 ? ? 2 f ?x- ? = x + 2 , 则 ? x? x

f(x) =

? ? ? 1? 1 1 ? ? ? ?2 2 x - x - 解析:∵ f? = x + 2=? ? + 2, ? x? ? ? x ? x

∴ f(x)= x2+2(x≠0).

答案:x2+ 2(x≠0)

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基本初等函数、导数及其应用

考点探究讲练互动
考点突破
函数的有关概念
由函数的定义可知,对于定义域内的任
意一个自变量的值都有惟一确定的函数 值与之对应.可以此判断在某种对应关 系f的作用下,从非空数集A到非空数集 B的对应是否是函数.
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基本初等函数、导数及其应用

例1 下列对应关系是集合P上的函数

的是________. (1)P=Z,Q=N*,对应关系f:对集合 P中的元素取绝对值与集合Q中的元素 相对应;

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基本初等函数、导数及其应用

(2)P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对

应关系f:x→y=x2,x∈P,y∈Q;
(3)P={三角形},Q={x|x>0},对应关

系f:对P中三角形求面积与集合Q中
元素相对应.

【思路分析】
断.

利用函数的定义来判

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基本初等函数、导数及其应用

【解析】

由于(1)中集合P中元素0在

集合Q中没有对应元素,并且(3)中集
合P不是数集,从而知只有(2)正确.

【答案】

(2)

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

函数是一种特殊的对

应,要检验给定的两个变量之间是否 具有函数关系,只需要检验:(1)定义 域和对应关系是否给出;(2)根据给出 的对应关系,自变量在其定义域中的 每一个值,是否都有惟一确定的函数

值.
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基本初等函数、导数及其应用

求函数的解析式
求函数表达式的主要方法有:待定系
数法、换元法、消元法等,如果已知

函数解析式的类型,可用待定系数法;
已知复合函数的表达式时,可用换元

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基本初等函数、导数及其应用

法,这时要注意“元”的范围;当已知

表达式比较简单时,也可以用配方法;
若已知抽象的函数表达式,则常用解

方程组,消元的方法求出解析式.

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基本初等函数、导数及其应用

例2

(1) 已知 f(x)是一次函数,且满足

3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x)的解 析式; (2)已知 f( x+1)=x+2 x, 求 f(x)的解析 式; (3)已知 f(x)+2f(-x)=3x2+5x+3, 求 f (x ) 的解析式.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】 (1)设出一次函数→利用 方程恒等建立待定字母的关系式→写 出 f(x)的解析式. (2)设 t= x+1→用 t 表示 x→确定 f(x) 的定义域→写出 f(x)的解析式. (3)两个自变量互为相反数, 采用函数代 换的思想及方程组的方法解题.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】 (1)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x + 1) - 2f(x - 1) = 3ax + 3a + 3b - 2ax+2a-2b =ax+5a+b, 即 ax+5a+b=2x+17 不论 x 为何值都成 立.
?a=2, ?a=2, ∴? 解得 ? ∴ f(x) = ?b+5a=17, ?b=7,

2x+7.
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基本初等函数、导数及其应用

(2) 法 一 : 设 t = x + 1 , 则 x = (t - 1)2(t≥1). 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2 =t2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1). 法二:∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1= 2 ( x+1) -1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1).
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基本初等函数、导数及其应用

(3)由f(x)+2f (-x)=3x2+5x+3,x换 成-x,得 f ( - x ) + 2 f ( x ) = 3 x 2- 5 x + 3 , 两式相减解得:f (x)=x2-5x+1.

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

题(1)的求解是利用待

定系数法,待定系数法的关键是设出
某种类型的函数,列出方程组求待定 系数; 题(2)的求解是利用换元法或配凑法, 做题时易忽略x的范围; 题(3)的求解是利用函数代换的思想构 造方程组的方法求解.
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基本初等函数、导数及其应用

互动探究
例2(1)中f(x)变为二次函数,且满足 f(0)=0,f(x+1)-f(x)=x+1,求f(x). 解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=0知c=0,f(x)=ax2+bx. 又f(x+1)=f(x)+x+1, 所以a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+

1,
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基本初等函数、导数及其应用

即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x +1,
?2a+b=b+1, ? 所以?a≠0, ? ?a+b=1.

1 所以 a=b= . 2 1 2 1 因此 f(x)= x + x. 2 2

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

函数的三种表示方法
用解析式表示函数关系的优点是:函

数关系清楚,容易根据自变量的值求
出对应的函数值,便于用解析式来研

究函数的性质.

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基本初等函数、导数及其应用

用图象法表示函数关系的优点是: 能直观形象地表示出函数值的变化 情况.

用列表法表示函数关系的优点是:
不必通过计算就知道自变量取某些

值时函数的对应值.

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基本初等函数、导数及其应用

例3

已知某人在 2011 年 1 月份至 6 月份

的月经济收入如下: 1 月份为 1000 元,
从 2 月份起每月的月经济收入是其上一 个月的 2 倍,用列表、图象、解析式三 种不同形式来表示该人 1月份至6月份的 月经济收入 y( 元 ) 与月份序号 x 的函数关

系,并指出该函数的定义域、值域和对
应法则.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

月份为自变量,月工资

为函数值.
【解】 x 1 列表: 2 3 4 5 6

1600 3200 y 1000 2000 4000 8000 0 0

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基本初等函数、导数及其应用

图象:

解析式:y=1000· 2x-1(x∈{1,2,3,4,5,6}). 其中定义域为{1,2,3,4,5,6},值域为 {1000,2000,4000,8000,16000,32000}. 对应法则f:x→y=1000· 2x-1.
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

列表法、图象法和解析

式法是表示函数的三种方法,其实质是 一样的,只是形式上的区别,列表和图象 更加直观,解析式更适合计算和应用.在 对待不同题目时,选择不同的表示方法,

因为有的函数根本写不出其解析式.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

分段函数及实际应用
分段函数是一个函数而不是几个函数.

处理分段函数问题时,首先要确定自变
量的取值属于哪个区间段,再选取相应

的对应关系,离开定义域讨论问题是产
生错误的重要原因之一.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

例4

甲、乙两地相距150千米,某货

车从甲地运送货物到乙地,以每小时50
千米的速度行驶,到达乙地后将货物卸 下用了1小时,然后以每小时60千米的 速度返回甲地.从货车离开甲地起到货 车返回甲地为止,设货车离开甲地的时

间和距离分别为x小时和y千米,试写出y
与x的函数关系式.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

根据已知条件列出等

式,这个含有x、y的方程就是所求的 函数,这是一个分段函数,要注意距 离与时间的变化关系.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

【解】

由题意,可知货车从甲地前

往乙地用了3小时,而从乙地返回甲地 用了2.5小时.

(1)当货车从甲地前往乙地时,
由题意,可知y=50x(0≤x≤3); (2)当货车卸货时,y=150(3<x<4);

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

(3)当货车从乙地返回甲地时, 由 题 意 , 知 y = 150 - 60(x - 4)(4≤x≤6.5).
?50x,0≤x≤3, ? 所以 y=?150,3<x<4, ? ?390-60x,4≤x≤6.5.

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

(1)由实际问题确定的

函数,不仅要确定函数的解析式,同 时要求出函数的定义域(一般情况下, 都要受实际问题的约束). (2)根据实际问题中自变量所表示的具 体数量的含义来确定函数的定义域, 使之必须有实际意义.
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基本初等函数、导数及其应用

方法感悟
方法技巧

1.在函数三要素中,定义域是灵魂,
对应法则是核心,因为值域由定义域

和对应法则确定,所以两个函数当且
仅当定义域与对应法则均相同时才表 示同一个函数,而值域相同是两函数 为同一函数的必要非充分条件.

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基本初等函数、导数及其应用

2.若一个函数在其定义域不同的子集 上,解析式不同,则可用分段函数的 形式表示,解决的方法是:分段函数 分段处理.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

3.函数的三种表示法各有利弊,一般情

况下,研究函数要求出函数的解析式,
通过解析式来解题.求函数解析式的方

法有:观察(直接)法、代入法、配凑(换
元)法、待定系数法、方程(函数代换)法

等.

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基本初等函数、导数及其应用

失误防范 1.判断对应是否为映射,即看A中元素 是否满足“每元有象”和“且象惟一”.但 要注意:(1)A中不同元素可有相同的象, 即允许多对一,但不允许一对多;(2)B 中元素可无原象,即B中元素可有剩余.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

2.建立实际问题的函数式,首先要选

定变量,而后寻找等量关系,求函数
解析式,但要根据实际问题确定定义

域.

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基本初等函数、导数及其应用

考向瞭望把脉高考
命题预测 通过对近几年高考试题的分析看出, 本课时内容也是高考考查的重点之一, 题型是选择题、填空题居多.主要考

查函数的概念、解析式及分段函数等,

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

尤其是分段函数课本中的比重,决定 了分段函数的高频考点,但试题难度 一般较小. 预测2013年福建高考仍将对函数的三 种表示方法尤其是分段函数作为考查 重点,体现数形结合与分类讨论思想.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

典例透析


设V是已知平面M上所有向量的集

合,对于映射f:V→V,a∈V,记a的象 为f(a).若映射f:V→V满足:对所有a、 b∈V及任意实数λ,μ都有f(λa+μb)=

λf(a)+μf(b),则f称为平面M上的线性变
换.现有下列命题:
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

①设f是平面M上的线性变换,a、b∈V
,则f(a+b)=f(a)+f(b)

②若e是平面M上的单位向量,对a∈V
,设f(a)=a+e,则f是平面M上的线性

变换;
③对a∈V,设f(a)=-a,则f是平面M

上的线性变换;
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基本初等函数、导数及其应用

④设f是平面M上的线性变换,a∈V,则 对任意实数k均有f(ka)=kf(a). 其中的真命题是________(写出所有真命 题的编号).

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

【解析】

①:令λ=μ=1,则f(a+b)

=f(a)+f(b)故①是真命题,
同理④:令λ=k,μ=0,则f(ka)=

kf(a)故④是真命题;
③∵f(a)=-a,则有f(b)=-b f(λa+μb)=-(λa+μb)=λ· (- a)+ μ · ( -b)=λf(a)+μf(b)是线性变换,故③ 是真命题
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基本初等函数、导数及其应用

②:由f(a)=a+e,则有f(b)=b+e,

f(λa+μb)=(λa+μb)+e=λ· (a+e)+
μ· (b+e)-(λ+μ-1)e=λf(a)+μf(b)-(λ

+μ-1)e,
∵e是单位向量,e≠0,故②是假命题.

【答案】

①③④

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

本题主要考查学生的

分析、解决问题,尤其是对新定义的

概念的应用能力.关键是对式子f(λa+
μb)=λf(a)+μf(b)的理解与应用.

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