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2013年 高二数学抛物线测试及答案



抛物线测试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为 A.(1, 0) B.(2, 0) C.(3, 0) D.(-1, 0) ) ( )

2.圆心在抛物线 y 2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( A.x2+ y 2

-x-2 y -

1 =0 4

B.x2+ y 2+x-2 y +1=0 D.x2+ y 2-x-2 y +

C.x2+ y 2-x-2 y +1=0
2

1 =0 4
( )

3.抛物线 y ? x 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是 A.(1,1) B.(

1 1 , ) 2 4

C. ( , )

3 9 2 4

D.(2,4) )

4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水面宽为( A. 6 m B. 2 6 m C.4.5m D.9m (

5.平面内过点 A(-2,0),且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 A. y 2=-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x



6.顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是 6,则抛物线的方程是( A. y 2=-2x C. y 2=2x B. y 2=-4x D. y 2=-4x 或 y 2=-36x



7.过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那么|AB|= ( A.8 B.10 C.6 D.4 ) )

8.把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量 a ? (2,?3) 平移,所得的曲线的方程是( A. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

B. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

C. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

D. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

9.过点 M(2,4)作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 ( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条 2 10.过抛物线 y =ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q, 则

1 1 ? 等于 p q
B.





A.2a

1 2a

C.4a

D.

4 a

-1-

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离为 .

12.抛物线 y =2x2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是 . 2 13.P 是抛物线 y =4x 上一动点,以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经过一个定点 Q,点 Q 的坐标是 . 14.抛物线的焦点为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 9 4

. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.已知动圆 M 与直线 y =2 相切,且与定圆 C: x ? ( y ? 3) ? 1 外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.(12
2 2

分)

16.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5,求抛 物线的方程和 m 的值.(12 分)

-2-

17.动直线 y =a,与抛物线 y 2 ? 的方程.(14 分)

1 x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 (0,3a) ,求线段 AB 中点 M 的轨迹 2

18.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米,高 2 米,载货后船 露出水面上的部分高 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?(14 分)

-3-

19.如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与 到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM|= 求曲线段 C 的方程.(14 分) ,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,

20.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点
2

A、B, | AB |? 2 p . (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 Rt?NAB 面积的最大值.(14 分)

-4-

参考答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 C 10 C

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.2 12. x

?

k 4

13.(1,0)

14. y 2 ? ?4 5 x

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.(12 分)[解析]:设动圆圆心为 M(x,y),半径为 r,则由题意可得 M 到 C(0,-3)的距离与到直线 y=3 的距离 相等,由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以 C(0,-3)为焦点,以 y=3 为准线的一条抛物线,其方程为

x 2 ? ?12 y .
16. (12 分)[解析]:设抛物线方程为 x
2

? ?2 py( p ? 0) ,则焦点 F( ?

p ,0 ),由题意可得 2

?m 2 ? 6 p ?m ? 2 6 ? m ? ?2 6 ? ,解之得 ? 或? , ? 2 p 2 m ? (3 ? ) ? 5 ?p ? 4 ?p ? 4 ? 2 ?
故所求的抛物线方程为 x
2

? ?8 y , m的值为? 2 6
2

17.(12 分)[解析]:设 M 的坐标为(x,y),A( 2a , a ),又 B (0,3a) 得

?x ? a2 ? ? y ? 2a

消去 a ,得轨迹方程为 x

?

y2 4

,即

y2 ? 4x

y O A' A x B

18.(12 分)[解析]:如图建立直角坐标系, 设桥拱抛物线方程为 x
2

? ?2 py( p ? 0) ,由题意可知,

B(4,-5)在抛物线上,所以

p ? 1.6 ,得 x 2 ? ?3.2 y ,
2

当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为 AA’,则 A 2, y A ),由 2 ( 又知船面露出水面上部分高为 0.75 米,所以 h

? ?3.2 y A 得 y A ? ?

5 , 4

? y A ? 0.75 =2 米

19.(14 分) [解析]:如图建立坐标系,以 l1 为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,点 O 为坐标原点.由题意可知:曲线 C 是 以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别为 C 的端点. 设曲线段 C 的方程为

y 2 ? 2 px( p ? 0), ( x A ? x ? xB , y ? 0) ,
p ? MN


其中 x A , xB 分别为 A、B 的横坐标, 所以, M (?

p p ,0), N ( ,0) . 2 2



AM ? 17 , AN ? 3 得

-5-

p ( x A ? ) 2 ? 2 pxA ? 17 2 p ( x A ? ) 2 ? 2 pxA ? 9 2
联立①②解得 x A

① ②

?

?p ? 4 ?p ? 2 4 .将其代入①式并由 p>0 解得 ? ,或 ? . p ?xA ? 1 ?xA ? 2 ?p ? 2 p . ? x A ,故舍去 ? 2 ?xA ? 2
2
∴p=4, x A

因为△ AMN 为锐角三角形,所以

? 1.

由点 B 在曲线段 C 上,得 x ? BN ? p ? 4 .综上得曲线段 C 的方程为 y 2 B 20.(14 分) [解析]:(Ⅰ)直线 l 的方程为 得

? 8 x(1 ? x ? 4, y ? 0) .

y ? x ? a ,将 y ? x ? a代入y 2 ? 2 px ,

x 2 ? 2(a ? p) x ? a 2 ? 0 . 设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ,

?4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 0, ? 则 ? x ? x ? 2(a ? p), 1 2 ? 2 ? x1 x2 ? a .
∴ | AB |?



y1 ? x1 ? a, y 2 ? x2 ? a ,

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

? 2[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) .



0 ?| AB |? 2 p, 8 p( p ? 2a) ? 0 , ∴ 0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p . 解得 ?

p p ?a?? . 2 4

(Ⅱ)设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q,令坐标为 ( x3 , y3 ) ,则由中点坐标公式,得

x3 ?
∴ ∴

x1 ? x 2 ? a ? p, 2

y3 ?

y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x2 ? a) ? ? p. 2 2

| QM | 2 ? (a ? p ? a) 2 ? ( p ? 0) 2 ? 2 p 2 . 又 ?MNQ 为等腰直角三角形,

| QN |?| QM |? 2 p ,

∴ S ?NAB ?

1 | AB | ? | QN | ? 2 p | AB | ? 2 p ? 2 p 2 2 2

? 2 p2

即 ?NAB 面积最大值为 2 p 2

-6-



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