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2012-2013学年江苏省苏州市五市三区高三(上)期中数学模拟试卷(一)



2012-2013 学年江苏省苏州市五市三区高三(上) 期中数学模拟试卷(一)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 分)命题“?x∈R,x >x”的否定是 _________ (5
2



2. 分)已知集合 M={x|﹣3<x≤5},N={y|﹣5<y<5},则 M∩N= ___

______ . (5 3. 分)设 a,b 都是实数,那么“a >b ”是“a>b”的 (5 4. 分)函数 (5
2 2

_________ 条件.

的定义域为 _________ .

5. 分)求函数 y=x+ 的值域 _________ . (5

6. 分)设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出如下四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系 (5

的是 _________ .

7. 分)已知函数 (5

则 f(log32)的值为 _________ .

8. 分)设 a=6 (5

﹣0.7

,b=log0.70.6,c=log0.67,则 a,b,c 从小到大的排列顺序为
2

_________ .

9. 分)已知函数 f(x)=x ﹣2x,x∈[1,2],则 f(x﹣1)= _________ . (5 10. 分)函数 (5 的单调减区间为 _________ .

11.5 分) ( 设直线 y=a 分别与曲线 y =x 和 y=e 交于点 M、 则当线段 MN 取得最小值时 a 的值为 _________ . N, 12. 分)下列说法: (5 ①当 x>0 且 x≠1 时,有
x x

2

x



②函数 y=a 的图象可以由函数 y=2a (其中 a>0 且 a≠1)平移得到; ③若对 x∈R,有 f(x﹣1)=﹣f(x) ,则 f(x)的周期为 2; 2 ④“若 x +x﹣6≥0,则 x≥2”的逆否命题为真命题; ⑤函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1﹣x)的图象关于直线 x=1 对称.

其中正确的命题的序号 _________ . 13. 分)若函数 y=ax ﹣2ax(a≠0)在区间[0,3]上有最大值 3,则 a 的值是 _________ . (5 14. 分)已知△ABC 的面积为 1,点 D 在 AC 上,DE∥AB,连接 BD,设△DCE、△ABD、△BDE 中面积 (5 最大者的值为 y,则 y 的最小值为 _________ .
2

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分) (1)已知 a>b>1 且 (2)求 的值. ,求 logab﹣logba 的值.

16. (14 分)已知集合 A={x|y= (1)求 A∩B; (2)若 A∪C=A,求实数 m 的取值范围.
2

},集合 B={x|y=lg(﹣x ﹣7x﹣12)},集合 C={x|m+1≤x≤2m﹣1}.

2

17. (14 分)已知函数 g(x)=ax ﹣2ax+b+1(a>0)在区间[2,3]上有最大值 4 和最小值 1.设 f(x)= (1)求 a、b 的值; x x (2)若不等式 f(2 )﹣k?2 ≥0 在 x∈[﹣1,1]上有解,求实数 k 的取值范围. 18. (16 分)已知奇函数 y=f(x)定义域是[﹣4,4],当﹣4≤x≤0 时,y=f(x)=﹣x ﹣2x. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的值域; (3)求函数 f(x)的单调递增区间.
2



19. (16 分)如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射角 ∠PAQ 始终为 45°(其中点 P,Q 分别在边 BC,CD 上) ,设∠PAB=θ,tanθ=t. (1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△CPQ 的周长 l 是否为定值. (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至少为多少(平方百米)?

20. (16 分)已知函数 f(x)=e +ax,g(x)=e lnx. (其中 e 为自然对数的底数) , (Ⅰ)设曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与直线 x+(e﹣1)y=1 垂直,求 a 的值;

x

x

(Ⅱ)若对于任意实数 x≥0,f(x)>0 恒成立,试确定实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a=﹣1 时,是否存在实数 x0∈[1, ,e],使曲线 C:y=g(x)﹣f(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

2012-2013 学年江苏省苏州市五市三区高三(上) 期中数学模拟试卷(一)
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 2 2 1. 分)命题“?x∈R,x >x”的否定是 ?x∈R,x ≤x . (5 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 计算题. 分析: 全称命题的否定,前要否定量词,后要否定结论,由此结合已知中原命题,可得其否定形式 解答: 解:根据全称命题的否定方法可得: 2 命题“?x∈R,x >x”的否定是 2 ?x∈R,x ≤x 2 故答案为:?x∈R,x ≤x 点评: 本题考查的知识点是全称命题及命题的否定,其中熟练掌握全称命题的否定方法是解答的关键. 2. 分)已知集合 M={x|﹣3<x≤5},N={y|﹣5<y<5},则 M∩N= (﹣3,5) . (5 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题.

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分析: 找出 M 与 N 解集中的公共部分,即可求出两集合的交集. 解答: 解:∵M={x|﹣3<x≤5},N={y|﹣5<y<5}, ∴M∩N=(﹣3,5) . 故答案为: (﹣3,5) 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. 分)设 a,b 都是实数,那么“a >b ”是“a>b”的 (5
2 2

既不充分也不必要 条件.

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 证明题. 分析: 分别令 a=﹣2,b=1 和 a=1,b=﹣1 讨论“a2>b2”?“a>b”与“a>b”?“a2>b2”的真假,进而根据充要条件 的定义得到答案.
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解答: 解:当 a=﹣2,b=1 时,a2>b2 成立,但 a>b 不成立 2 2 即“a >b ”是“a>b”的不充分条件 2 2 当 a=1,b=﹣1 时,a>b 成立,但 a >b 不成立 2 2 即“a >b ”是“a>b”的不必要条件 2 2 故“a >b ”是“a>b”的既不充分也不必要条件 故答案为:既不充分也不必要 点评: 本题考查的知识点是充要条件的定义,其中熟练掌握充要条件的定义是解答的关键. 4. 分)函数 (5 的定义域为 (0,e] .

考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题;函数的性质及应用.
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分析: 函数 解答: 的定义域为:{x| },由此能求出结果.

解:函数

的定义域为:

{x|

},

解得 0<x≤e. 故答案为: (0,e]. 点评: 本题考查对数函数的图象和性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.

5. 分)求函数 y=x+ 的值域 (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) . (5

考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 解答:

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可以画出函数 y=x+ 的图象,利用数形结合的方法进行求解; 解:∵函数 y=x+ ,定义域{x|x≠0}, 图象如下:

由上图可以知道 f(x)>2 或 f(x)<﹣2, 故答案为: (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) ; 点评: 此题主要考查函数的值域求法,本题利用数形结合的方法比较直观,也比较简单; 6. 分)设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出如下四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系 (5

的是 ④ .

考点: 函数的图象与图象变化.

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专题: 阅读型. 分析: 根据函数的概念,对四个图形逐一判断即可得到答案. 解答: 解:函数的概念是给出两个非空的数集,再给出一个对应关系 f,在对应关系的作用下,前一个数集中的 任意一个数,在后一个数集中都有唯一确定的数和它对应,把这样的对应叫做函数,由此分析, 图①中当 x∈(1,2]时,在数集 N 中无对应元素,故①不是; 图②中的集合 M 和集合 N 中都不含数 0 和 2,所以②不是从集合 M 到集合 N 的函数; 图③中的一个 x 值对应了两个 y 值,违背函数概念,所以③不是从集合 M 到集合 N 的函数; 只有图④符合函数的图象表示. 故答案为④. 点评: 本题考查了函数的图象与图象变化,解答此题的关键是理解函数实质是对应,即一对一和多对一,是基 础题.

7. 分)已知函数 (5

则 f(log32)的值为



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题.

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分析: 根据对数的定义判断出 0<log32<1,再结合函数的对应法则,可得 f(log32)=f(log32+2) ,将其代入 解析式再用对数的运算性质进行化简,可求出它的值. 解答: 解:∵1<2<3,∴log31<log32<log33,即 0<log32<1 因此 log32<1≤2 且 log32+1≤2 ∴f(log32)=f(log32+1)=f(log32+2) 而 log32+2∈(2,3], 所以 f(log32+2)= 故答案为: 点评: 本题给出函数表达式,求 log32 对应的函数值,着重考查了函数的对应法则和对数的运算性质等知识,属 于基础题. 8. 分)设 a=6 (5 考点: 专题: 分析: 解答:
﹣0.7

=

×3 =

﹣2

× = × =

,b=log0.70.6,c=log0.67,则 a,b,c 从小到大的排列顺序为

c<a<b .

对数值大小的比较. 计算题. 由指数函数和对数函数的图象可以判断 a、b、c 和 0 和 1 的大小,从而可以判断 a、b、c 的大小. 解:由指数函数和对数函数的图象可知:
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6 <6 =1,log0.70.6>log0.70.7=1;log0.67<log0.61=0. 0<a<1,b>1,c<0, 所以 c<a<b 故答案为:c<a<b. 点评: 本题考查利用插值法比较大小、 考查指数函数、 对数函数的图象和性质, 属基础知识、 基本题型的考查. 在 比较大小中,一般是应用函数的单调性或函数图象的分布.

﹣0.7

0

9. 分)已知函数 f(x)=x ﹣2x,x∈[1,2],则 f(x﹣1)= x ﹣4x+3,x∈[2,3] . (5 考点: 二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值.

2

2

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专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 f(x﹣1)中的 x﹣1 相当于函数 f(x)中 x,故当 x∈[1,2]时,对于函数 f(x﹣1) ,有 1≤x﹣1≤2, 2 2 即 x∈[2,3].再由函数 f(x)=x ﹣2x 可得 f(x﹣1)=x ﹣4x+3, 从而得到答案. 解答: 解:由于 f(x﹣1)中的 x﹣1 相当于函数 f(x)中 x,故当 x∈[1,2]时,对于函数 f(x﹣1) ,有 1≤x﹣ 1≤2,即 x∈[2,3]. 再由函数 f(x)=x ﹣2x 可得 f(x﹣1)=(x﹣1) ﹣2(x﹣1)=x ﹣4x+3, 2 故答案为 x ﹣4x+3,x∈[2,3]. 点评: 本题主要考查求函数的解析式,体现了换元的思想,注意变量范围的改变,属于基础题. 的单调减区间为 (0, ] .
2 2 2

10. 分)函数 (5

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 先利用导数运算公式计算函数的导函数 y′,再解不等式 y′<0,即可解得函数的单调递减区间
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解答: 解:∵ = (x>0)

由 y′>0,得 x> ,由 y′<0,得 0<x< , ∴函数 故答案为(0, ] 点评: 本题主要考查了导数的运算和导数在函数单调性中的应用,利用导数求函数单调区间的方法,解题时注 意函数的定义域,避免出错
2 x

的单调减区间为(0, ]

11. 分)设直线 y=a 分别与曲线 y =x 和 y=e 交于点 M、N,则当线段 MN 取得最小值时 a 的值为 (5



考点: 直线与圆锥曲线的关系.

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专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先确定 M、N 的坐标,求得线段 MN 长,利用导数的方法,可求线段 MN 的最小值,从而可得 a 的值. 解答: 解:∵直线 y=a 分别与曲线 y2=x 和 y=ex 交于点 M、N 2 ∴M(a ,a) ,N(lna,a) 2 ∴线段 MN 长 l=|a ﹣lna| 由题意可知 a>0,设 f(a)=a ﹣lna,f'(a)=2a﹣ 令 f'(a)>0,a> 故 f( ;令 f'(a)<0,a< )>0
2

)为函数 f(a)的最小值,并且 f(

所以 a=

时,线段 MN 长取得最小值

故答案为: 点评: 本题考查直线与曲线的位置关系,考查导数知识的运用,确定线段 MN 的长是关键. 12. 分)下列说法: (5 ①当 x>0 且 x≠1 时,有
x x



②函数 y=a 的图象可以由函数 y=2a (其中 a>0 且 a≠1)平移得到; ③若对 x∈R,有 f(x﹣1)=﹣f(x) ,则 f(x)的周期为 2; 2 ④“若 x +x﹣6≥0,则 x≥2”的逆否命题为真命题; ⑤函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1﹣x)的图象关于直线 x=1 对称. 其中正确的命题的序号 ②③ . 考点: 命题的真假判断与应用.

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专题: 证明题;函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的值域及对勾函数的值域,我们可分析出①的真假; 根据指数的运算性质及函数图象的平移变换法则,可以判断②的真假; 根据函数周期性的定义,由已知推出 f(x﹣2)=f(x) ,可得③的真假; 根据四种命题之间的关系,分析原命题的真假,可得其逆否命题的真假; 根据函数图象的对称变换法则,我们易求出函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1﹣x)图象的对称轴,进而分 析出⑤的真假. 解答: 解:当 x>0 且 x≠1 时,有 或 ,故①错误; 函数 y=2a =
x

可将函数 y=a 的图象,向左平移 loga2 个单位得到,故②正确;

x

若对 x∈R,有 f(x﹣1)=﹣f(x) ,则 f(x﹣2)=f[(x﹣1)﹣1]=﹣f(x﹣1)=f(x) ,故 T=2,即③正 确; 2 “若 x +x﹣6≥0,则 x≥2”为假命题,故其逆否命题也为假命题,故④错误; 因为函数 y=f(a+x)与函数 y=f(b﹣x)的图象关于直线 x= 对称,故函数 y=f(1+x)与函数 y=f

(1﹣x)的图象关于 y 轴对称,故⑤错误 故答案为:②③ 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断,其中熟练掌握指数函数、对数函数、对勾函数的性质及函数的周 期性及对称是解答本题的关键. 13. 分)若函数 y=ax ﹣2ax(a≠0)在区间[0,3]上有最大值 3,则 a 的值是 1 或﹣3 . (5 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 对函数 y=ax2﹣2ax(a≠0)进行配方,求出其对称轴,研究函数的图象,对 a 值进行讨论:a<0 或 a>0, 两种情况,从而进行求解; 解答: 解:函数 y=ax2﹣2ax=a(x﹣1)2﹣a, 对称轴为 x=1; 若 a<0,f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,3)为减函数, ∴f(x)在 x=1 取极大值也最大值,f(x)max=f(1)=a﹣2a=3,推出 a=﹣3;
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2

若 a>0,f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,3)为增函数, 2 f(0)=0<f(3)=a×3 ﹣6a,可得 f(3)=3a=3,∴a=1; 综上 a=﹣3 或 1; 故答案为﹣3 或 1; 点评: 此题主要考查二次函数在闭区间上的最值问题,利用对称轴对函数的单调性进行判断,是解决本题的关 键,解题过程中用到了分类讨论的思想,是一道中档题; 14. 分)已知△ABC 的面积为 1,点 D 在 AC 上,DE∥AB,连接 BD,设△DCE、△ABD、△BDE 中面积 (5 最大者的值为 y,则 y 的最小值为 .

考点: 函数最值的应用.

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专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 先分别求出△DCE、△ABD、△BDE 中面积,确定最大值,可得分段函数,即可求得 y 的最小值. 解答: 解:设 CD:CA=k,则因为点 D 在 AC 上,所以 0<k<1 ∵DE∥AB,∴△DCE∽△ACB,∴S△DCE:S△ACB=(CD:CA) =k , 2 ∵S△ABC=1,∴S△DCE=k ; ∵AD:AC=(AC﹣CD) :AC=1﹣k,∴S△ABD:S△ABC=AD:AC=1﹣k,∴S△ABD=1﹣k ∵DE∥AB,∴CE:BE=CD:AD=k: (1﹣k) ∵S△DCE:S△BDE=CE:BE=k: (1﹣k) 2 ∴S△BDE=[(1﹣k) :k]×S△DCE=﹣k +k 当 k =1﹣k 时,k +k﹣1=0,∴k= 当 1﹣k=﹣k +k 时,k ﹣2k+1=0,∴k=1
2 2 2 2 2 2

;当 k =﹣k +k 时,2k ﹣k=0,∴k= ;

2

2

2

∴y=

∴当 k= 故答案为:

时,y 有最小值=1﹣k=k =

2

点评: 本题考查三角形面积的计算,考查函数的最值,考查分段函数,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分) (1)已知 a>b>1 且 (2)求 的值. ,求 logab﹣logba 的值.

考点: 对数的运算性质.

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专题: 计算题. 分析: (1)通过 a>b>1 利用 (2)直接利用对数的运算性质求解 解答: 解: (1)因为 a>b>1, 所以 a>b>1,所以 logab﹣logba<0. 所以 logab﹣logba=﹣ (2) = ,可得

,平方,然后配出 logab﹣logba 的表达式,求解即可. 的值 , ,

=﹣4.

点评: 本题考查对数与指数的运算性质的应用,整体思想的应用,考查计算能力.
2

16. (14 分)已知集合 A={x|y= (1)求 A∩B; (2)若 A∪C=A,求实数 m 的取值范围.

},集合 B={x|y=lg(﹣x ﹣7x﹣12)},集合 C={x|m+1≤x≤2m﹣1}.

考点: 集合关系中的参数取值问题;交集及其运算. 专题: 计算题;分类讨论.
2

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分析: (1)先化简集合,即解不等式 x ﹣5x﹣14≥0 和﹣x ﹣7x﹣12>0,再求交集; (2)根据 A∪C=A,得到 C?A,再﹣m 进行讨论,即可求出结果. 解答: 解: (1)∵A=(﹣∞,﹣2]∪[7,+∞) , B=(﹣4,﹣3) ∴A∩B=(﹣4,﹣3) (2)∵A∪C=A, ∴C?A ①C=?,2m﹣1<m+1, ∴m<2 ②C≠?,则 或 .

2

∴m≥6. 综上,m<2 或 m≥6. 点评: 本题主要考查集合的关系与运算,同时,遇到参数要注意分类讨论.体现了分类讨论的数学思想,考查 了运算能力,属中档题.
2

17. (14 分)已知函数 g(x)=ax ﹣2ax+b+1(a>0)在区间[2,3]上有最大值 4 和最小值 1.设 f(x)= (1)求 a、b 的值; x x (2)若不等式 f(2 )﹣k?2 ≥0 在 x∈[﹣1,1]上有解,求实数 k 的取值范围. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用.



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分析: (1)由函数 g(x)=a(x﹣1) +1+b﹣a,a>0,所以 g(x)在区间[2,3]上是增函数,故 由此解得 a、b 的值. (2)不等式可化为 2 + 而求得 k 的取值范围.
2 2 解答: 解: (1)函数 g(x)=ax ﹣2ax+b+1=a(x﹣1) +1+b﹣a, x 2



﹣2≥k?2 ,故有 k≤t ﹣2t+1,t∈[ ,2],求出 h(t)=t ﹣2t+1 的最小值,从

x

2

2

因为 a>0,所以 g(x)在区间[2,3]上是增函数,故

,解得

. …. 分) (6

(2)由已知可得 f(x)=x+ ﹣2, 所以 不等式 f(2 )﹣k?2 ≥0 可化为 2 +
x x x

﹣2≥k?2 ,

x

化为 1+
2

﹣2?

≥k,令 t=

,则 k≤t ﹣2t+1,因 x∈[﹣1,1],故 t∈[ ,2],

2

记 h(t)=t ﹣2t+1,因为 t∈[ ,2],故 h(t)min=1, 所以 k 的取值范围是(﹣∞,1]. …(14 分) 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,函数的零点与方程根的关系,函数的恒成立问题,属于中 档题. 18. (16 分)已知奇函数 y=f(x)定义域是[﹣4,4],当﹣4≤x≤0 时,y=f(x)=﹣x ﹣2x. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的值域; (3)求函数 f(x)的单调递增区间. 考点: 函数的单调性及单调区间;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 2 分析: (1)设 0≤x≤4,则 4≤﹣x≤0,由已知可得 f(﹣x)=﹣x +2x,再利用 y=f(x)是奇函数可得,﹣f(x) 2 =﹣x +2x,从而求出函数在 0≤x≤4 时的解析式,即可得到函数在[﹣4,4]上的解析式. (2)画出函数 f(x)的图象,结合图象可得函数的最值,从而求出函数的值域. (3)结合图象可得函数 f(x)的单调递增区间. 2 解答: 解: (1)设 0≤x≤4,则 4≤﹣x≤0,由于当﹣4≤x≤0 时,y=f(x)=﹣x ﹣2x,
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2

故 f(﹣x)=﹣x +2x. 2 2 再由函数 y=f(x)是奇函数可得,﹣f(x)=﹣x +2x,故 f(x)=x ﹣2x. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)= .

2

(2)画出函数 f(x)的图象,结合图象可得,当 x=﹣4 时,函数 f(x)取得最小值为﹣8, 当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值为 8,故函数的值域为[﹣8,8].

(3)结合图象可得,函数 f(x)的单调递增区间为[﹣4,﹣1]、[1,4]. 点评: 本题主要考求查函数的解析式的方法,求函数的单调性及单调区间,求函数的最值,函数的奇偶性的应 用,体现了数形结合的数学思想,属于中档题. 19. (16 分)如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射角 ∠PAQ 始终为 45°(其中点 P,Q 分别在边 BC,CD 上) ,设∠PAB=θ,tanθ=t. (1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△CPQ 的周长 l 是否为定值. (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至少为多少(平方百米)?

考点: 解三角形的实际应用.

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专题: 计算题;转化思想. 分析: (1)利用已知条件,结合直角三角形,直接用 t 表示出 PQ 的长度,然后推出△CPQ 的周长 l 为定值. (2)利用 S=S 正方形 ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ,推出探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S,利用基 本不等式求出面积的最小值(平方百米) . 解答: 解: (1)BP=t,0≤t≤1, ∠DAQ=45°﹣θ,DQ=tan(45°﹣θ)= CQ=1﹣ = , ,

∴PQ= ∴l=CP+CQ+PQ =1﹣t+ +

=

=



=1﹣t+1+t=2.

(2)S=S 正方形 ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1﹣ ﹣

=2﹣

≤2 . 当 t= 时取等号. 探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至少为 2

(平方百米) .

点评: 本题考查三角形的实际应用,函数值的求法,基本不等式的应用,考查计算能力. 20. (16 分)已知函数 f(x)=e +ax,g(x)=e lnx. (其中 e 为自然对数的底数) , (Ⅰ)设曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与直线 x+(e﹣1)y=1 垂直,求 a 的值; (Ⅱ)若对于任意实数 x≥0,f(x)>0 恒成立,试确定实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a=﹣1 时,是否存在实数 x0∈[1, ,e],使曲线 C:y=g(x)﹣f(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值;两条直线垂直的判定.
x x

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专题: 综合题. 分析: (I)据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=1 处的导数,从而求出切线的斜率,再根据两直线垂直建立 等式关系,解之即可. (II)当 x=0 时,显然 f(x)=e >0 恒成立;当 x 大于 0 时,令 f(x)大于 0,解出 a 大于一个函数, 设这个函数为 Q(x) ,求出 Q(x)的导函数,分 x 大于 0 小于 1 和 x 大于 1 两种情况讨论导函数的正负, 进而得到函数的增减性,根据函数的增减性得到 Q(x)的最大值,即可得到 a 的取值范围; (III)把 f(x)和 g(x)的解析式代入 y 中确定出 y 的解析式,设 M(x)为 y 的解析式,求出 M(x) 的导函数,h(x)= +lnx﹣1,求出 h(x)的导函数,由 x 的范围得到导函数为正数,进而得到 h(x) 在[1,e]上为增函数,得到 h(1)为最小值,即可得到 M(x)的最小值,而曲线 C:y=g(x)﹣f(x) 在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直,即切线的斜率为 0,即导函数的值为 0,与导函数的最小值为 1 矛盾, 所以不存在实数 x0∈[1,e],使曲线 C:y=g(x)﹣f(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直. x 解答: 解: (Ⅰ)f'(x)=e +a, 分) (1 因此 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线 l 的斜率为 e+a, 分) (2 又直线 x+(e﹣1)y=1 的斜率为 ∴(e+a) =﹣1, , 分) (3
x

∴a=﹣1. 分) (5 x (Ⅱ)∵当 x≥0 时,f(x)=e +ax>0 恒成立, x ∴先考虑 x=0,此时,f(x)=e ,a 可为任意实数; 分) (6 x 又当 x>0 时,f(x)=e +ax>0 恒成立, 则 恒成立, 分) (7

设 h(x)=

,则 h'(x)=



当 x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)在(0,1)上单调递增, 当 x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减, 故当 x=1 时,h(x)取得极大值,h(x)max=h(1)=﹣e, 分) (9 ∴要使 x≥0,f(x)>0 恒成立,a>﹣e, ∴实数 a 的取值范围为(﹣e,+∞)(10 分) . (Ⅲ)依题意,曲线 C 的方程为 y=e lnx﹣e +x, 令 u(x)=e lnx﹣e +x,则 设 ,则 ,
x x x x

=

当 x∈[1,e],v'(x)≥0,故 v(x)在[1,e]上的最小值为 v(1)=0, (12 分) 所以 v(x)≥0,又 e >0,∴
x

>0,

而若曲线 C:y=g(x)﹣f(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直, 则 u'(x0)=0,矛盾. (13 分) 所以,不存在实数 x0∈[1,e],使曲线 C:y=g(x)﹣f(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直. 点评: 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,掌握两条直线垂直的判定,掌握导数在最大 值、最小值中的运用,是一道中档题.



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