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127[1].函数与方程思想在高中数学竞赛中的应用(姚恒)



第 6期 



恒: 函数与方程思 想在 高中数学竞赛 中的应用 

?1 5?  

证 法 2 视 平 面 图 形 为 空 间简 单 多 面 体 的 投  影. 设 小三 角形 有  个 , 则 面数 , 顶 点数 E, 棱数 F   分别为 


评析

/>
将平 面 图形 看成 空 间 图形 的投影 , 这 是 

般 化思 想 的有力 体现.  

在解 决一 个数 学 问题 时 , 我 们 可能 会或 多或 少 

:  + 1 , E: n+ 3 , F: 三  
,  

地 从 特殊 和一 般这 2个 方 面 寻 找 解 决 问题 的 突 破 

口, 有 时 特殊是 打 开 缺 口的有 力 工 具 , 有 时 解 决 多  代 入欧 拉公 式  + E— F= 2 , 可 得  个 问题 比解决 一个 问题要 更 容易 . 特 殊 和一般 是 密 

(  + 1 ) +( n+ 3 )一 三  
解 得  :2 n+1 .  

: 2
,  

不 可分 的 , 任何 时 候 都 可 以互 相 转 化 , 善 于 发 现才 
是 关键 .  

函数 与 方 程 思 想 在 高 中 数 学 竞 赛 中 的 应 用 
●姚 恒  ( 湖州中学 浙江湖州 3 1 3 0 0 0 )  

函数 思想 是对 函数 概 念 的本 质 认识 , 在解 题 时 

解  由 Y=   N  ) , 得 

(   ∈R且  ≠  
十 戈 十 J   ‘ 

,  E  

要善于利用函数知识或 函数观点观察、 分析和解决  问题 . 方 程思想 是 动 中求 静 , 是 研 究 运 动 中 的 等量 
关系, 在解 题 时要 善于利 用 方程 或方 程组 的观 点观 

( Y一1 )   +( Y+1 )   +Y一, l=0 .   因为 ≠   , 所 以y #1 . 由 △I >0 , 得 

( 1 )  

察、 处 理 问题. 函数 与方 程是 2个 不 同的概 念 , 但 它  们之 间有着 密 切 的联 系 , 有 时需 要 互 相 转 化 , 达 到  解 决 问题 的 目的. 譬如 , 方 程  )= 0的解 就 是 函  数 Y=   ) 的图像 与  轴 的交点 的横 坐标 , 函数Y=  
) 也可 以看 作 二 元 方 程 f (  )一Y=0 , 通 过 方 程 

3 y 2 一( 4 n+6 ) y+( 4 n一1 ) ≤O ,  
于是 O , n + b   :   ,   =   ,  

进行 研究 . 函数 与方程 的思想是 中学数 学 的基 本 思  想, 也是 历年 高 中数学 高考 和竞 赛 的重点 和难 点.  
1   函数 与方 程 思想 的本质 

得  
故选 C .  

c   = 一 ÷ 

2   函数 与方 程 思想 的应 用 

函数问题 ( 例如求反 函数 , 求 函数 的值域 等)  
可 以转化 为方 程 问题 来 求解 , 方 程 问题 也 可 以转化 

2 . 1   函数与 方程 思 想在 不等 式 问题 中的应 用   函数 与方 程思 想与 不 等式 也可 以相互转 化. 对 

为 函数 问题 , 用 函数 的性 质 ( 单调性、 奇偶性、 周 期  性、 凹凸性 、 最 值等 ) 来解 题 , 例 如解 方 程  )= 0,  
就 是求 函数 Y=   ) 的零 点.  
2 

于 函数 Y= 厂 (  ) , 当 Y>0时 , 就 可 转 化 为 不 等 式  )> O , 借助 于 函数 图像 与性 质解 决 有关 问题 , 而  研究 函数 的性质 , 也 离不 开解 不 等式 .   例 2 设 函数 厂 (  )= 眦。 +8  +3 ( 口< 0 ) , 对 于  给定 的负数 a , 有一 个 最 大 的 正 数 z ( 口 ) , 使 得 在 区  间[ 0 , Z ( 口 ) ] 上, 不 等式 I f (  )l ≤5都 成 立 , 问 n为  何值时 , Z ( 0 ) 最大 ?求 出最 大 的 z ( 口 ) , 并 证 明你 的 
结 论.  

例1   设 函数 Y=  (  ):  
十 

(   ∈R且 
十 土  

≠  

二 

, n∈ N  ) 的最小值为 口   , 最大值为 b   , 记 
(   )  

C  =( 1 一a   ) ( 1 一b   ) , 贝 0 数列 { c   }   A. 是公 差不 为 0的 等差数 列  B . 是公 比不 为 1的等 比数 列 
C . 是 常数 列 

分析

在高中数学竞赛 中, 对二次函数知识的 

综合 、 灵活运用要求较高 , 在运用二次 函数知识时  往 往牵 涉到 二次 函数 图像 、 二 次 方程 、 二 次 不等式 .  
解 贝 0   由i f ( 戈 ) l ≤5得 


D . 不 是 等差数 列也 不是 等 比数列 

分析 本题是 以函数为背景 的最值问题 , 但是  解决 问题 的关 键是 把 函数 问题转 化为 方程 问题 , 是 
在 函数 中渗透 方程 思想 的典 型例题 .  

5≤ 似  +8 x+3≤5.  

n  + 8  +8 10 > ,  


( 2 )  
( 3 )  

。+8   一2≤ 0

. 

?

1 6?  

中学教研 ( 数学)  

2 0 0 9阜 

由式 ( 2 ) , 得 
△ =6 4—3 2 口>0-   S  


分析 1  ( 基 本 解法 ) 通 过 等 差 数列 求 和公 式 
1  
- ha l + 

n ( n一1 ) d , 列 方程 组待 定 系数 , 可求 出 

因此 一   一

.  

≤  ≤ 一  



.   .  

取从 0开始 的非 负解 区间 ( 不 间断 ) 为 
≤ 一  

分析 2 ( 改进 设法 ) J s   =a n   +b n .  



+ √  ̄ 孕 1 6 - 8 a   ( 4 )  等 差  

用 性  5  

m  

对 于 式 ( 3 ) , 有 2 种 情 况 :  


分 析 4( 构 造 函 数 ) 因 为  : 口   + ( n — 1 ) 要 ,  

(   + 丢 )   一  

构 造) , = 口   + 导( n 一 1 ) , 所以P , , . f   m ,  1 ,   ( 5 )  可

P :   ( 2 m ,   ) , P ,   ( 3 m ,   ) 共 线 , 利 用 J } P 3  =  
k 尸 2   P m , 可求 得 S 3   .  

) = 一 丢 + J 1 - 6 - 8 a = — - 4 — -  ̄ '   I - 6 - 8 a  
=— —=== ===—一 ≤ — —==== ===== == _ ~  
一  

反思

分析 1 和分 析 2用方 程思 想求解 , 比较 

4  

一一 

4  

通用 , 但运 算量较 大 ; 分 析 3用 等 差 数 列 的性 质 解 

、 /   4— r 2 a一 2 , / 4— 2 (一 8 )一 2   ( 。 ≤一 8 ) ,  

题, 比较简洁 , 但不具有通用性 ; 分析 4通过构造一  次 函数 , 利用点共线 的特点来 寻找方程 , 既简洁又 
通 用.  

:  

2 . 3   函数 与方程 思 想在组合 问题 中的应 用  函数与 二项式 定理 是密 切相 关 的 , 利用 所给 的 
≥ 一



口  / i - 6 a - +   ‘   2 a > 一 丢 口   或   ≤ 一   4 口   一   /   鱼   口 ; ‘   ,  
+ 


二 项式 定理 的 问题 .  
a3 0 + 

函数 , 通过赋值法和比较系数法可以解决很多有关  .   例4  若 ( 1 +  +   +  3 )  ( 1一  +   2 一  。 ) 5 =  
+ … + 1 戈2 9+ a ox 3 0 +   a 2 9  ̄   + …+   a   1 戈  +   a o x  , 求 习   a l 5 .   分析 将局部问题置于全局考虑. 构造函数,  


3 0

z ( 口 ) = 一  一   /   鱼   ;  = . =  
≤   <a  ̄ / 1 6   8   4   1(- 2   8 + 2 (一  )+  


利 用 函数 性质 , 发现 规律 如下 .   ) ,  



记  戈 ) =( 1 + 戈 +   +  )   , 则原式左边 

为F (  )=   )   一  ) 是偶 函数 , 因此 

, (   ) = i - [ F (   ) + F ( 一   ) ]  
= a3 0 + 口2 3  2 + … + a2 x2 8 + ao X3 0
,  

- { 【   V / 4’ —  


其所 有奇 次项 系数 为 0 , 故a  = 0 .   2 . 4 函数 与 方程思 想在 解析 几何 问题 中的应 用  
一 ’   。  

2 a 一2 ’  

“  



又 由 寻<   知 , 当 口 : 一 8 时 , z ( n ) 有 最 大 值  

解析几 何 中的许 多 问题 , 涉及 到二 次方 程与二  次函数的有关理论 , 有时需要通过解二元方程组才  能解 决. 例如 , 直 线 和二次 曲线 的位置 关 系 、 函数 图 

像上的切线 问题等可以通过方程来求解.  
例5   已知 函数 f (  )=l 似 的 图像 为 C   ,  

g ( x ) : ÷  + b x ( 口 ≠ 0 ) 的图像为 C 2 , 图像 C   与  
C : 交于点 P, Q , 过线段 P Q的中点作  轴的垂线 ,   分别交 C   , c   于点 M, Ⅳ, 证明: C 。 在 点 肘 处的切  线与 C   在 点 Ⅳ处 的切 线不平 行 .  

第 6期 



恒: 函数 与方程思 想在 高中数 学竞赛 中的应用 

?1 7?  

分 析  曲线 上过 点 切 线 的 斜率 可 通 过 求 导赋  值 得到 , 由切线 平 行 可 列 出 方 程 , 而运 用 函数 的思 
想 是解 决这个 问题 的关 键.   解




画 出 问题 的示 意 

图, 如图 1 . 设A C=  k m, 则 
BC =  

设 P(  1 , Y 1 ) , Q(   2 , y 2 ) ( o<  l <  2 ) , 点 

( k m) , 设 铁 路 吨 千 米 运 费  为1 个 单位 , 那 么 公路 吨千  米 运 费为 2个单 位 , 总运 费 
图 1  

N的横 坐标为  :  .   , C   在点 M 处 的切线 

斜率为k 。 = ÷ +  , , c   在点 Ⅳ处的切线斜率为 k   =  


为Y , 则  Y=   +2 ̄ / ( 3 6一  )  +2 7   .   ( 7 )   将式( 7 ) 化 简得  3 x  + 2 ( ) , 一1 4 4 ) x+ 8   1 0 0一y 2 = 0 ,   此 方程 一 定有解 , 从 而  △ =[ 2 ( y一 1 4 4 ) ]  一1 2×( 8   1 0 0一 y 2 ) 10 > ,   解 得  y  ̄3 > 6+ 2 7√ 3 或y <3  ̄ 6— 2 7   .  
rL  

口.   .  

+6 . 假设 C   在 点  处 的切线 与 C 2在点 

Ⅳ处 的切线 平行 , 则k   =k : , 即 
n ’—  


+D,  

+  ,  

因 此  

, 十  1  

: 口 . 竿 + 6 ( 矿 


因为 Y为正数 , 所以 Y的最小值为 3 6+ 2 7   , 此时 




( 争: 2 + b x   ) 一 ( 争 2   + b x , )  
Y 2一Yl=l n x 2一l n x1 ,  



l   





3 6— 9   , 即距 A处 3 6— 9   k m 的 c处筑 一条 

公路 到  地 , 总 运费 最低 .  

反思 在解答本题时 , 应注意检查 Y和  的值  是否符合题设要求 , 否则容易 出现失误. 本题也可 
即  I n   :  
l+  
1  

.  

㈤ ( 6 )  

以设角为 自 变量 , 化为三角 函数求最值 , 或通过求  导、 求最值的方法来解.   除以上所举 的例子外 , 在 立体几何有关线段 、   角、 面积、 体积的计算中, 也经常需要运用列方程或  建 立 函数表 达式 的方 法 加 以解 决. 总之, 函数 与方 
程 的思 想贯 穿于 中学 数学 的始终 , 要 引导 学生 掌握 

令t =   >1 , 则构 造 函数 
)= 1 n t 一   可 得  r   )=   (   ) ,  

t  t

(   + 簪  1 ) ‘  
与式 ( 6 ) 矛盾 , 假 设 不 

这种思想方法, 更要培养学生善于利用这种思想来 
解决 问题 的能力.  

因为 t > 1 , r   ( t )> 0 , 所以 r ( t ) 在( 1 , +∞) 上单调 
递增. 又r ( £ ) 在[ 1 ,+∞ ) 上 连续 , 所以, ( 0 )>   r ( 1 ): 0 , I Nl l t   h a t >  







献 

成立 , 故 C  在点  处 的切 线 与 C  在 点 Ⅳ处 的切  线 不平 行.   2 . 5   函数 与方程 思 想在 实际生 活 中的应 用  在解 决 生活 中 的许 多实 际 问题 时 , 也经 常要 用  到 函数 与方程 的思 想 .  

杨 建 国. 高 中数 学联 赛 中的 函数 思 想 [ J ] . 中  等数 学 , 2 0 0 2 ( 2 ) : 7 . 1 O .   丁 志 勇. 函数 的 性 质 [ J ] .中 学数 学教 学参 
考, 2 0 0 4 ( 1 0 ) : 5 4 — 5 6 .  

徐 文 兵. 运 用 函数 单 调 性 解 题 [ J ] .中等 数  学, 2 0 0 4 ( 6 ) : 9 一 l 2 .  

例 6 在 距 A城市 4 5   k m 的  地 发现 金 属矿 ,  

过 A有 一 直 线 铁 路  , B 到该 铁 路 的距 离 为  2 7   k m, 现欲运物资于 ,   之间, 拟定在铁路线  上的某一点 c处筑一公路到 曰 . 已知公路运费是铁  路的 2 倍, 问点 c到点 A的距离为多少时 , 总运 费  最低 ?  
分析 先 根据 题 意 画出示 意 图 , 再 建立 总运 费  关 系式 , 并 由此解 题.  

马茂年. 高中数学竞赛 实战演练 [ M] . 杭 州:  
浙 江大 学 出版 社 , 2 0 0 5 .  

李名德 , 李胜 宏. 高 中数 学竞 赛 培优 教 程  [ M] . 杭州: 浙江大学出版社 , 2 0 0 5 .   广 隶. 函数综合 问题 [ J ] . 中学数 学教 学参  考, 2 0 o 7 ( 增刊 1 ) : 1 1 0 一 l l 3  



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