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2016


第2章

平面向量

2. 3

向量的坐标表示

第2章

平面向量

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1.了解平面内所有向量的一组基底的含义. 学习 2.理解平面向量基本定理.(重点、难点) 目标 3.掌握平面向量的正交分解.(重点)

平面向量基本定理的实质:平面内的任一向量都可 学法 以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式; 指导 而且基底一旦确定,这种分解是惟一的.

1.平面向量基本定理 不共线 如果 e1,e2 是同一平面内两个 ____________ 的向量,那么对 有且只有一对 于这一平面内的任一向量 a, _________________ 实数 λ1, λ2, λ1e1+λ2e2 不共线 使 a= ____________ ,我们把 ____________ 的向量 e1,e2 叫 做表示这一平面内所有向量的一组基底.
λ1e1+λ2e2 的 一个平面向量用一组基底 e1,e2 表示成 a= ____________

形式,我们称它为向量 a 的分解.当 e1 与 e2 所在直线

互相垂直 时,这种分解也称为向量 a 的正交分解. ____________

2.向量共线定理与平面向量基本定理的关系
(1)由平面向量共线定理知,任意一个向量可以用一个与它 共 线的非零向量来线性表示,而且这种表示是惟一的; (2)由平面向量基本定理知,任一平面向量可以用不共线的 两 个非零向量来线性表示,而且这种表示是惟一的; 上述两个定理都可以看成(在一定范围内的)向量分解“惟一 性 ”定理.

1.下面三种说法: ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所

有向量的基底;
②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底;

③零向量不可以作为基底中的向量. ②③ 其中正确的说法是__________ .
解析:平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平 面

内所有向量的基底,基底本身也可以用这组基底表示.故 ① 错,
②对;由于零向量与平面内的任一向量共线,故③正确.

2.平面向量的基底是不惟一的,一个向量在某一组基底下的 是 分解________ 惟一的.(填“是”或“不是”) 解析:平面向量基本定理中,实数λ1,λ2的惟一性是相 对 于 基底e1,e2而言的.平面内任意两个不共线的向量都可作为基

底,一旦选定一组基底,则给定向量沿着基底的分解是惟 一
的.同一平面可以有不同的基底,就像平面上可选取不同 的 坐标系一样,在不同基底下的实数对λ1、λ2不同.

3.已知 e1,e2 是平面所有向量的一组基底,那么下列一

③ 组向量不能作为基底的是__________ . (填序号)
① e1 和 e1+e2; ② e1- 2e2 和 e2-2e1; ③ e1- 2e2 和 4e2-2e1; ④ e1+ e2 和 e1- e2.

解析:因为 4e2-2e1=-2(e1-2e2),所以 e1-2e2 与 4e2 -2e1 共线.

→ 4→ → → → → 4. 如图,已知AP= AB,用OA、OB表示 OP,则OP等于 3
1→ 4→ - OA+ OB 3 3 ________________ .

→ 4→ 解析:∵AP= AB, 3 4 → → → → ∴ (OP-OA)= (OB-OA), 3 1→ 4→ → 即OP=- OA+ OB. 3 3

用基底表示向量
如图所示,已知? ABCD 中, E、 F 分别是 BC、 DC → → → 边上的中点.若AB= a,AD = b,试以 a、 b 为基底表示DE、 → BF.

(链接教材 P75 例 1)

[解 ] ∵四边形 ABCD 是平行四边形, E、 F 分别是 BC、 DC 边上的中点, → → → → → → ∴AD = BC=2BE, BA=CD = 2CF, → 1→ 1 → 1→ ∴BE= AD = b,CF= BA 2 2 2 1→ 1 =- AB=- a. 2 2 → → → → → → → ∴DE= DA+AB+BE=-AD +AB+BE 1 1 =-b+ a+ b= a- b, 2 2 1 → → → → → BF=BC+ CF=AD +CF= b- a. 2

方法归纳 需表示的向量与基底间直接或间接的关系是借助平行向 → 量的关系及封闭四边形的结论来找到的.如 BE 与基底 → → → AD 共线,CF与基底AB共线,由封闭四边形 DABE,求 → 出DE.

→ 1.如图所示,四边形 OADB 是以向量OA= a, → → 1→ OB= b 为邻边的平行四边形.又BM= BC, 3 → 1→ → → CN = CD ,试用 a, b 表示OM,ON. 3 → → → 解:由题意,得OB+BA=OA, → → 1 → 1→ 1 所以BA=a-b,则BC= (a-b),BM= BC= (a- b), 2 3 6 1 1 5 → → → OM=OB+ BM=b+ (a-b)= a+ b. 6 6 6 → → → → 1→ 4→ ON=OC+ CN =OC+ CD = OC 3 3 4 1 2 2 = × (a+ b)= a+ b. 3 2 3 3

向量正交分解在物理学中的应用

如图所示,用绳子AC和BC吊一重物,绳子与垂直 方
向夹角分别为60°和30°,已知绳子AC和BC所能承受的最 大拉力分别为80 N和150 N,那么重物的重力的大小应不超 过多少?

(链接教材P75例2)

→ [解 ] 设重物的重力为 G,如图所示可知CB方向上的力的 大小为 3 1 → |G|cos 30° = |G|.CA方向上的力的大小为|G|cos 60° = |G|. 2 2 3 |G|≤150 2 根据题意,得 ,解得 |G|≤160, 1 |G|≤80 2 ∴重物的重力大小应不超过 160 N.

? ? ?

方法归纳 物理学中的受力分析、速度分解与合成,特别是作正交分解, 充分体现了平面向量基本定理的思想内涵,使复杂的问题 简

单化、特殊化,从而便于解决.

2.如图所示, 质量为 m kg 的木块沿倾斜角为 α 的斜面匀 加速下滑,设 g= 10 m/s2,摩擦系数为 μ,求木块在下 滑过程中加速度 a 的大小.

→ 解:由题意知, |AG |= mg=10m, → → |AF|= |AG |sin α= 10msin α, → → |AE|= |AG |cos α= 10mcos α, → → |AM|= μ|AE|= 10μmcos α, 所以,加速度大小为 → → |AF|- |AM| a= = 10(sin α- μcos α). m

平面向量基本定理的应用
平面内有一个△ ABC 和一点 O(如图 ),线段 OA、 OB、 OC 的中点分别为 E、 F、 G, BC、 CA、 AB 的中点分 → → → 别为 L、 M、 N,设OA= a,OB= b,OC= c.

→ → → (1)试用 a、b、 c 表示向量EL、FM、 GN; (2)证明:线段 EL、 FM、 GN 交于一点且互相平分. (链接教材 P75 例 3)

[解 ]

→ 1 → 1 (1)∵OE= a,OL= (b+ c), 2 2

→ → → 1 ∴EL= OL-OE= (b+ c-a). 2 → 1 → 1 同理:FM= (a+ c-b),GN= (a+ b- c). 2 2 (2)证明:设线段 EL 的中点为 P1,则 1 → 1 → → OP1= (OE+OL)= (a+b+ c). 2 4

→ 1 设 FM、GN 的中点分别为 P2、P3,同理可求得OP2= (a 4 → 1 → → → +b+c), OP3= (a+b+c). ∴OP1=OP2=OP3.即 EL、 FM、 4 GN 交于一点,且互相平分.
方法归纳 用向量法证明三线相交于一点且互相平分常用的方法是: 在平面上找一点, 证明这点到三条线段中点的向量相等. 找 点时,要考虑运算的简便性.

易错警示

忽视向量共线的情况而致误

已知 e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则 a 与 b
e1,e2 共线或 λ=0 共线的条件为____________________________ .

[解析 ] 若 e1, e2 共线,则 a 与 b 共线. 若 e1,e2 不共线,则 a∥ b?(e1+λe2)与 2e1 共线? e1+λe2
? ?1=2k =2ke1(k∈R)?? ,即 a 与 b 共线的条件为 λ=0. ? ?λ= 0

[错因与防范 ]

(1)本题常见错解为:由 a 与 b 共线知 a ? ?1=2μ, = μb,即 e1+ λe2= μ· 2e1,∴? ∴ λ= 0.此解法由 a ? ?λ= 0, = e1+ λe2,直接想到平面向量基本定理,将 e1,e2 看作 基底忽视了 e1 与 e2 共线的情况. (2)防范:在应用平面向量基本定理时, 要注意等式 a = λ1e1+λ2e2 中,e1,e2 不共线这个条件,若没有指明, 则应对 e1,e2 分共线与不共线两种情况加以讨论.

3.下列关于基底的说法正确的序号是________ ①③ . ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底; ②基底中的向量可以是零向量; ③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的 线 性 分解形式也是惟一确定的. 解析:作为基底的两个向量不共线,故基底中的向量不 能 是

零向量,②不正确,①③正确.

规范解答

平面向量基本定理的综合应用

(本题满分 14 分 )如图,在 → 1→ → 1→ △ AOB 中,OC= OA,OD= OB, 4 2 → AD 与 BC 交于点 M,设OA= a, → OB= b. → (1)试用 a, b 表示向量OM; (2)在线段 AC 上取一点 E,在线段 BD 上取一点 F,使 EF 1 3 → → → → 过点 M,设OE= λOA,OF= μOB,求证: + = 1. 7λ 7μ

→ → → → [解 ] (1)设OM= ma+ nb, 则AM= OM-OA= ma+ nb - a= (m-1)a+ nb, → → → 1→ → 1 AD =OD- OA= OB-OA= b- a.2 分 2 2 → → ∵ A, M, D 三点共线,∴AM与 AD 共线. m- 1 n ∴ = .∴ m+ 2n= 1.① 4 分 -1 1 2 1 1 → → → CM=OM- OC= ma+ nb- a= (m- )a+ nb, 4 4 1 1 → → → CB=OB- OC=b- a=- a+b. 4 4

→ → ∵ C, M, B 三点共线,∴CM与CB共线. 1 m- 4 n ∴ = .∴ 4m+ n= 1.② 6 分 1 1 - 4 1 3 联立①②,解得 m= , n= , 7 7 3 → 1 故OM= a+ b.8 分 7 7 3 3 → → → 1 → 1 (2)证明: ∵EM= OM-OE= a+ b- λOA= a+ b-λa 7 7 7 7 1 3 = ( - λ)a+ b, 7 7

→ → → → → EF=OF- OE= μOB- λOA= μb- λa, → → 又EF与 EM共线, 1 3 -λ 7 7 ∴ = ,12 分 -λ μ 1 3 1 3 ∴ μ- λμ= (- λ), μ+ λ= λμ, 7 7 7 7 1 3 ∴ + =1. 7λ 7μ 14 分

[规范与警示 ]

是平面向量基本定理的基本应用,意

即采用待定系数法. 是解决第二问的关键, 由此可列方程, 找到 λ 与 μ 的关 系. 最后一步下结论是得分点,千万不可丢.


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