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导数的应用



高流中学校本课程◆高三数学二轮复习◆导学案

课时数 NO

2013 年



日 星期

班级:高三(

)小组

姓名

主备人:郝胜

审核人:高三数学组

【总课题】 【

课题】

专题二--------函数与导数 导数的应用

总课时 课型

第 9、10 课时 复习课

【学习目标】

1.熟记导数的基本公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复 合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 2.理解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值时 的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号), 能用导数解决一些实际问题 (一般指单峰函数)的最大值和最小值等. 导数的应用(B 级) 【个案补充】

【考纲要求】

【导学过程】 (学习方式、学习内容、学习程序、问题)

预习导学(10 分钟) 一、必备知识:
1.导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线在点 P(x0,f(x0))处的切 线的斜率. 2.利用导数判断函数的单调性 设函数 f(x)在区间(a,b)内可导,且 f′(x)在(a,b)任意子区间内都恒不等 于 0,则 f′(x)≥0?f(x)为增函数,f′(x)≤0?f(x)为减函数. 3.利用导数求函数的极值与最值 (1)求函数极值的步骤是: ①求导数 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; ③检验 f′(x)在方程根左、右侧的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个 根处取极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取极小值. (2)求函数在[a,b]上的最值步骤是: ①求函数 f(x)在(a, b)内的极值; ②求 f(x)在区间端点的函数值 f(a), f(b); ③将函数 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小 的一个为最小值.特别地,极值唯一时,极值就是最值. 必备方法 1.函数单调性的应用 (1)若可导函数 f(x)在(a,b)上单调递增,则 f′(x)≥0 在区间(a,b)上恒成立; (2)若可导函数 f(x)在(a,b)上单调递减,则 f′(x)≤0 在区间(a,b)上恒成立; (3)可导函数 f(x)在区间(a,b)上为增函数是 f′(x)>0 的必要不充分条件. 2.可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定, 也有可能极小值大于 极大值; (2)对于可导函数 f(x), “f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x)=0”是“f(x)在 x=x0 处取 得极值”的必要不充分条件; (3)注意导函数的图象与原函数图象的关系, 导函数由正变负的零点是原函数的 极大值点,导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.

1 1.(2012· 六安模拟)如果曲线 y=x4-x 在点 P 处的切线垂直于直线 y=- x, 3 那么点 P 的坐标为__________. 2.(原创题)已知全集 I=R,若函数 f(x)=x2-3x+2,集合 M={x|f(x)≤0},N ={x|f′(x)<0},则 M∩(?IN)=__________. 3.(2012· 广东,12)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为________. 4. (2012· 南京、盐城模拟, 9) 函数 f(x)= (x2+x+ 1)ex(x∈R)的单调减区间为 ________. 5.(2012· 大纲全国理,10 改编)已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个 公共点,则 c 的值为________. 6.(2011· 福建文,10 改编)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x =1 处有极值,则 ab 的最大值等于________. 2x 7.(2011· 徐州模拟)若曲线 y= 在点 P(1,1)处的切线 l1 平行于直线 l2:x- x+1 ay+2=0,则 l1 与 l2 的距离为________. 8.(2011· 苏州调研)已知函数 f(x)=mx2+ln x-2x 在定义域内是增函数,则实 数 m 的取值范围是________. 9.(2011· 苏北四市调研)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,f(1)=0, xf′?x?-f?x? >0(x>0),则不等式 x2f(x)>0 的解集为________. x2 π? 10.函数 y=sin x 与 y=cos x 在? ?0,2?内的交点为 P,它们在交点 P 处的两条 切线与 x 轴围成的三角形的面积为________.

展示导思(25 分钟)
导数的几何意义 x+1 【例 1】? (2012· 徐州质检,8)若曲线 y= 在 x=1 处的切线与直线 x+by x-2 +1=0 垂直,则实数 b 的值为________. 【突破训练 1】 (2012· 南通期末调研)曲线 C:y=xln x 在点 M(e,e)处的切线 方程为________. 命题角度二 导数与函数单调性 【例 2】? (2012· 南师附中模拟,12)已知函数 f(x)=loga(x3-ax)(a>0 且 a≠1), 1 ? 如果函数 f(x)在区间? ?-2,0?内单调递增,那么 a 的取值范围是________. 1 【突破训练 2】 (2012· 苏州调研)函数 y= +2ln x 的单调减区间为________. x 命题角度三 导数与函数极值、最值 x3-x 【例 3】? (2012· 南通调研)函数 f(x)= 2 的值域是________. ?x +1?2 【突破训练 3】 (2012· 扬州质量检测,10)已知函数 f(x)的导函数 f′(x)=a(x+ 1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取到极大值,则 a 的取值范围是________. 命题角度一

二、基础训练:

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主备人:郝胜

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命题角度四 导数的综合应用 【例 4】 (2012· 南通期末调研)已知 f(x)=x -4x +(3+m)x -12x+12,m∈R. (1)若 f′(1)=0,求 m 的值,并求 f(x)的单调区间; (2)若对于任意实数 x,f(x)≥0 恒成立,求 m 的取值范围.
4 3 2

检测导练(10 分钟)
1. 若函数 f(x)=ex-2x-a 在 R 上有两个零点, 则实数 a 的取值范围是________. 2.(2010· 江苏高考)将边长为 1 m 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线 ?梯形的周长?2 剪成两块,其中一块是梯形,记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积 3.(2011· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f(x)=ex(x>0) 的图象上的动点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是________. 4.函数 f(x)=x-a x在[1,4]上单调递增,则实数 a 的最大值 为________.

【突破训练 4】已知函数 f(x)=(x +ax+2)e (x,a∈R). (1)当 a=0 时,求函数 f(x)的图象在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)为单调函数,求实数 a 的取值范围; 5 (3)当 a=- 时,求函数 f(x)的极小值. 2

2

x

5.(2012· 南通模拟)各项均为正数的等比数列{an}满足 a1a7=4,a6=8,若函数 1? f(x)=a1x+a2x2+a3x3+?+a10x10 的导数为 f′(x),则 f′? ?2?= ________. 1 6.(2012· 泉州模拟)已知函数 f(x)=- x2+4x-3ln x 在[t,t+1]上不单调,则 t 2 的取值范围是____________. 7.(2012· 徐州质检)现有一张长为 80 cm,宽为 60cm 的长方形铁皮 ABCD,准 备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为 100%,不考虑焊接处 损失.如图,若长方形 ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底 面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为 x(cm),高 为 y(cm),体积为 V(cm3)

【突破训练 5】(2011· 江苏)已知 a,b 是实数,函数 f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx, f′(x)和 g′(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数,若 f′(x)g′(x)≥0 在区间 I 上恒成 立,则称 f(x) 和 g(x)在区间 I 上单调性一致. (1)设 a>0.若 f(x)和 g(x)在区间[-1, +∞)上单调性一致, 求 b 的取值范围; (2)设 a<0 且 a≠b.若 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致, 求|a-b|的最大值.

(1) 求出 x 与 y 的关系式; (2) 求该铁皮盒体积 V 的最大值.

8.(2011· 苏北三市模拟)已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值.

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答案》
1.(1,0) 3 2.[ ,2] 2 3.2x-y+1=0 4. 答案 (-2,-1)(或闭区间) 【突破训练 4】已知函数 f(x)=(x2+ax+2)ex (x,a∈R). (1)当 a=0 时,求函数 f(x)的图象在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)为单调函数,求实数 a 的取值范围; 5 (3)当 a=- 时,求函数 f(x)的极小值. 2 12.解 f′(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2] (1)当 a=0 时,f(x)=(x2+2)ex,f′(x)=ex(x2+2x+2), f(1)=3e,f′(1)=5e, 【突破训练 4】 (2012· 南通期末调研)已知 f(x)=x -4x +(3+m)x -12x +12,m∈R. (1)若 f′(1)=0,求 m 的值,并求 f(x)的单调区间; (2)若对于任意实数 x,f(x)≥0 恒成立,求 m 的取值范围. 【突破训练 4】 解 (1)由 f′(x)=4x3-12x2+2(3+m)x-12, 得 f′(1)=4
4 3 2

5.答案 -2 或 2 6.答案 9

∴函数 f(x)的图象在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-3e=5e(x-1),即 5ex -y-2e=0. (2)f′(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2], 考虑到 ex>0 恒成立且 x2 系数为正, ∴f(x)在 R 上单调等价于 x2+(a+2)x+a+2≥0 恒成立. ∴(a+2)2-4(a+2)≤0, ∴-2≤a≤2,即 a 的取值范围是[-2,2], 5 (3)当 a=- 时, 2
2 5 ?x f(x)=? ?x -2x+2?e ,

-12+2(3+m)-12=0,解得 m=7. 所以 f′(x)=4x3-12x2+20x-12=4(x-1)(x2-2x+3). 方程 x -2x+3=0 的判别式 Δ=2 -3×4=-8<0, 所以 x -2x+3>0 恒成立.所以令 f′(x)=0,解得 x=1. 列表如下: x f′(x) f(x) (-∞,1) - 单调减 1 0 极小值 (1,+∞) + 单调增
2 2 2

1? 2 1 f′(x)=ex? ?x -2x-2?, 1 令 f′(x)=0,得 x=- 或 x=1, 2 1 令 f′(x)>0,得 x<- 或 x>1, 2 1 令 f′(x)<0,得- <x<1, 2 x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

由此可得 f(x)的单调减区间是(-∞,1),f(x)的单调增区间是(1,+∞). (2)f(x)=x4-4x3+(3+m)x2-12x+12=(x2+3)(x-2)2+(m-4)x2. 当 m<4 时,f(2)=4(m-4)<0,不合题意; 当 m≥4 时,f(x)=(x2+3)(x-2)2+(m-4)x2≥0. 对一切实数 x 恒成立.所以,m 的取值范围是[4,+∞).

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x f′(x) f(x)

1 (-∞, - ) 2 + ?

- 0

1 2

1 (- ,1) 2 - ?

1 0 极小值

(1,+∞) + ?

1 1 x2- ?, 又当 a=- ,b=0 时,f′(x)g′(x)=6x? 9? ? 3 1 ? 从而当 x∈? ?-3,0?时 f′(x)g′(x)>0, 1 ? 故函数 f(x)和 g(x)在? ?-3,0?上单调性一致. 1 因此|a-b|的最大值为 . 3

极大值

1 所以,函数 f(x)的极小值为 f(1)= e. 2 6.(本小题满分 16 分)(2011· 江苏)已知 a,b 是实数,函数 f(x)=x +ax,g(x) =x2+bx,f′(x) 和 g′(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数,若 f′(x)g′(x)≥0 在 区间 I 上恒成立,则称 f(x) 和 g(x)在区间 I 上单调性一致.
3

(1)设 a>0.若 f(x)和 g(x)在区间[-1, +∞)上单调性一致, 求 b 的取值范围; (2)设 a<0 且 a≠b.若 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致, 求|a-b|的最 解 大值. 解 (1)由题意得 x2+4xy=4 800, 4 800-x2 即 y= ,0<x<60. 4x
2

f′(x)=3x2+a,g′(x)=2x+b.

(1)由题意知 f′(x)g′(x)≥0 在[-1,+∞)上恒成立.因为 a>0,故 3x + a>0,进而 2x +b≥0, 即 b≥-2x 在区间[-1, +∞)上恒成立, 所以 b≥2. +∞). a - . 3

(2)铁皮盒体积 V(x)=x2y=x2×

4 800-x2 1 3 =- x3+1 200x,V′(x)=- x2 4x 4 4

+1200,令 V′(x)=0,得 x=40,因为 x∈(0,40),V′(x)>0,V(x)是增函数; 1 x∈(40,60),V′(x)<0,V(x)是减函数,所以 V(x)=- x3+1 200x,在 x=40 4 时取得极大值,也是最大值,其值为 32 000 cm3. 所以该铁皮盒体积 V 的最大值是 32 000 cm3.

因此 b 的取值范围是[2, (2)令 f′(x)=0,解得 x=±

若 b>0,由 a<0 得 0∈(a,b).又因为 f′(0)g′(0)=ab<0,所以函数 f(x) 和 g(x)在(a,b) 上单调性不一致.因此 b≤0.

现设 b≤0.当 x∈(-∞,0)时,g′(x)<0; 当 x∈?-∞,-

?

a? - 时,f′(x)>0. 3? a? - 时,f′(x)g′(x)<0. 3? a - , 3

5.(本小题满分 14 分)(2011· 苏北三市模拟)已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 思路点拨 由 f′(x)≥0 可得 f(x)增区间,由 f′(x)≤0 可得 f(x)减区间. 解 1-ax 1 (1)f′(x)= -a= (x>0). x x

因此,当 x∈?-∞,-

?

故由题设得 a≥-

a - 且 b≥- 3

1 1 从而- ≤a<0,于是- ≤b≤0. 3 3 1 1 因此|a-b|≤ ,且当 a=- ,b=0 时等号成立. 3 3

由 f′(x)>0,得 ax<1. 若 a≤0,则 f(x)的增区间是(0,+∞); 1? 若 a>0,则 f(x)的增区间是? ?0,a?.

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由 f′(x)≤0,得 ax≥1,因为 x>0,所以 a>0, 1 ? f(x)的减区间是? ?a,+∞?. 综上所述,a≤0 时,f(x)的增区间是(0,+∞); 1? ?1 ? a>0 时,f(x)的增区间是? ?0,a?,减区间是?a,+∞?. 1 (2)当 a>0 时,由(1)得,当 x= 时, a f(x)取极大值-ln a-1. 若 f(1)≤f(2),即-a≤ln 2-2a,也即 0<a≤ln 2 时, f(x)在[1,2]上的最小值为 f(1)=-a;若 f(1)>f(2), 即-a>ln 2-2a,也即 a>ln 2 时, f(x)在[1,2]上的最小值为 f(2)=ln 2-2a.

课后自主巩固

课后自主提升

课后自主反思
学后反思

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