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高中数学复习专题之分类讨论考点解析及例题辅导


高中数学复习专题讲座——分类讨论思想
高考要求
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分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分析解决

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类讨论题覆盖知识点较多,利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样,具有 较高的逻辑性及很强的综合性,树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与 技巧、做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分层别类不重复、不遗漏的分析讨论 重难点归纳
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分类讨论思想就是依据一定的标准, 对问题分类、 求解, 要特别注意分类必须满足互斥、 无漏、最简的原则 1
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分类讨论常见的依据是
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由概念内涵分类
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如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定

义包含了分类 2
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由公式条件分类
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如等比数列的前 n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义

中图形的分类等 3
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由实际意义分类
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如排列、组合、概率中较常见,但不明显、有些应用问题也需分

类讨论

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在学习中也要注意优化策略,有时利用转化策略,如反证法、补集法、变更多元法、数 形结合法等简化甚至避开讨论
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典型题例 例 1 已知{an}是首项为 2,公比为 (1)用 Sn 表示 Sn+1;

1 的等比数列,Sn 为它的前 n 项和 2

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(2)是否存在自然数 c 和 k,使得

S k ?1 ? c ? 2 成立 Sk ? c

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命题意图

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本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力

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知识依托 基本性质
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解决本题依据不等式的分析法转化,放缩、解简单的分式不等式;数列的

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错解分析

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第 2 问中不等式的等价转化为学生的易错点, 不能确定出 本题属于探索性题型, 是高考试题的热点题型
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3 Sk ? 2 ? c ? Sk 2

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技巧与方法

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在探讨第 2 问的解法时,

采取优化结论的策略,并灵活运用分类讨论的思想 得答案 解
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即对双参数 k,c 轮流分类讨论,从而获

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(1)由 Sn=4(1–

1 ) ,得 2n

S n?1 ? 4(1 ?

1 2
n ?1

)?

1 S n ? 2 ,(n∈N*) 2

S ?c (2)要使 k ?1 ? 2 ,只要 Sk ? c
因为 S k ? 4(1 ?

3 c ? ( S k ? 2) 2 ?0 c ? Sk

1 )?4 2k 1 S k ? 0 ,(k∈N*) 2

所以 S k ? ( S k ? 2) ? 2 ? 故只要

3 2

3 Sk–2<c<Sk, (k∈N*) 2


因为 Sk+1>Sk,(k∈N*) 所以

3 3 Sk–2≥ S1–2=1 2 2

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又 Sk<4,故要使①成立,c 只能取 2 或 3

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当 c=2 时,因为 S1=2,所以当 k=1 时,c<Sk 不成立,从而①不成立 当 k≥2 时,因为

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3 5 S 2 ? 2 ? ? c ,由 Sk<Sk+1(k∈N*)得 2 2

3 3 Sk–2< Sk+1–2 2 2

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故当 k≥2 时,

3 Sk–2>c,从而①不成立 2

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当 c=3 时,因为 S1=2,S2=3, 所以当 k=1,k=2 时,c<Sk 不成立,从而①不成立? 因为

3 13 3 3 S 3 ? 2 ? ? c ,又 Sk–2< Sk+1–2 2 4 2 2 3 Sk–2>c,从而①成立 2
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所以当 k≥3 时,

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综上所述,不存在自然数 c,k,使

S k ?1 ? c ? 2 成立 Sk ? c
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例 2 给出定点 A(a,0)(a>0)和直线 l 分线交 AB 于点 C 命题意图
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x=–1,B 是直线 l 上的动点,∠BOA 的角平
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求点 C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系

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本题考查动点的轨迹,直线与圆锥曲线的基本知识,分类讨论的思想方法
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综合性较强,解法较多,考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力 知识依托
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求动点轨迹的基本方法步骤

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椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点

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错解分析

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本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件,构建动点坐标应满足的关系式
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和分类讨论轨迹方程表示曲线类型 技巧与方法 满足的关系式 解法一 –bx
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精心思考,发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发,探寻动点应
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巧妙地利用角平分线的性质

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依题意,记 B(–1,b),(b∈R) ,则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y=0 和 y=

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设点 C(x,y),则有 0≤x<a,由 OC 平分∠AOB,知点 C 到 OA、OB 距离相等

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根据点到直线的距离公式得|y|=

| y ? bx | 1? b2



依题设,点 C 在直线 AB 上,故有

y??

b ( x ? a) 1? a
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由 x–a≠0,得 b ? ?

(1 ? a ) y x?a



将②式代入①式,得 y2[(1–a)x2–2ax+(1+a)y2]=0 若 y≠0,则 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0<x<a) 若 y=0 则 b=0,∠AOB=π ,点 C 的坐标为(0,0)满足上式 综上,得点 C 的轨迹方程为 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0<x<a ) (i)当 a=1 时,轨迹方程化为 y2=x(0≤x<1 ) 此时方程③表示抛物线弧段; (ii)当 a≠1,轨迹方程化为
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(x ?

a 2 ) 2 1 ? a ? y ? 1(0 ? x ? a) a 2 a2 ( ) 1? a 1? a2



所以当 0<a<1 时,方程④表示椭圆弧段; 当 a>1 时,方程④表示双曲线一支的弧段
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解法二 如图, 设 D 是 l 与 x 轴的交点,过点 C 作 CE⊥x 轴,E 是垂足
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(i)当|BD|≠0 时, 设点 C(x,y),则 0<x<a,y≠0

由 CE∥BD,得 | BD |?

| CE | ? | DA | | y | ? (1 ? a) | EA | a?x

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∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π –∠COA–∠BOD ∴2∠COA=π –∠BOD

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∴ tan( 2?COA ) ?

2 tan COA 1 ? tan 2 COA

tan( ? ?BOD) ? ? tanBOD ?
| y| ∵ tan COA ? x

B

y
C

tan BOD ?

| BD | | y | ? (1 ? a) | OD | a ? x

D

o

E

A

x

| y| x ? ? | y | (1 ? a) 整理,得 ∴ y a?x 1? 2 x 2?
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0<x<a) (ii)当|BD|=0 时,∠BOA=π ,则点 C 的坐标为(0,0),满足上式 综合(i)、(ii),得点 C 的轨迹方程为 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a) 以下同解法一 解法三
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设 C(x,y)、B(–1,b),

则 BO 的方程为 y=–bx,直线 AB 的方程为 y ? ? ∵当 b≠0 时,OC 平分∠AOB,设∠AOC=θ ,

b ( x ? a) 1? a

∴直线 OC 的斜率为 k=tanθ ,OC 的方程为 y=kx 于是

tan 2? ?

2 tan ? 2k ? 2 1 ? tan ? 1 ? k 2

又 tan2θ =–b ∴–b=

2k 1? k 2



∵C 点在 AB 上

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∴ kx ? ?

b ( x ? a) 1? a



由①、②消去 b,得 (1 ? a )kx ? 又k ?

2k ( x ? a) 1? k 2



y ,代入③,有 x

y y x ( x ? a) (1 ? a) ? ? x x y2 1? 2 x 2?
整理,得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ④
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当 b=0 时,即 B 点在 x 轴上时,C(0,0)满足上式

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a 2 ) 2 1? a ? y ? 1 a≠1 时,④式变为 a 2 a2 ( ) 1? a 1? a2 (x ?
当 0<a<1 时,④表示椭圆弧段; 当 a>1 时,④表示双曲线一支的弧段; 当 a=1 时,④表示抛物线弧段 例 3 若函数 f ( x) ? 为 解析
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1 1 1 1 (a ? 1) x 3 ? ax 2 ? x ? 在其定义域内有极值点,则 a 的取值 3 2 4 5

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即 f(x)=(a–1)x2+ax–

1 =0 有解 4

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当 a–1=0 时,满足

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当 a–1≠0 时,只需Δ =a2–(a–1)>0

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?2? 5 ?2? 5 ?a? 或 a=1 2 2
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例 4 设函数 f(x)=x2+|x–a|+1,x∈R (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求函数 f(x)的最小值
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(1)当 a=0 时,函数 f(–x)=(–x)2+|–x|+1=f(x),
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此时 f(x)为偶函数

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当 a≠0 时,f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2|a|+1

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f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)
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此时函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数

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(2)①当 x≤a 时,函数 f(x)=x2–x+a+1=(x–

1 2 3 ) +a+ 2 4
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若 a≤

1 ,则函数 f(x)在(–∞,a]上单调递减 2

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从而函数 f(x)在(–∞,a ] 上的最小值为 f(a)=a2+1

若 a>

1 1 3 ,则函数 f(x)在(–∞,a ] 上的最小值为 f( )= +a, 2 2 4
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且 f(

1 )≤f(a) 2

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②当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x–a+1=(x+

1 2 3 ) –a+ 2 4

若 a≤–

1 1 3 ,则函数 f(x)在[a,+∞]上的最小值为 f(– )= –a, 2 2 4

且 f(–

1 )≤f(a); 2 1 ,则函数 f(x)在[a,+∞)单调递增 2
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若 a>–

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从而函数 f(x)在[a,+∞]上的最小值为 f(a)=a2+1 综上,当 a≤–

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1 3 时,函数 f(x)的最小值为 –a; 2 4

当–

1 1 <a≤ 时,函数 f(x)的最小值是 a2+1; 2 2 1 3 时,函数 f(x)的最小值是 a+ 2 4
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当 a>

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2n ? a n ? 1 其中 a∈R,则 a 的取值范围是( 已知 lim n n?? 2 ? a n
a<0 –2<a<2 B
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)

A C 2 有( A 3

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a<2 或 a≠–2 a<–2 或 a>2

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D

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四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共 )

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150 种

B

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147 种

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141 种

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已知线段 AB 在平面α 外,A、B 两点到平面α 的距离分别为 1 和 3,则线段 AB 的中
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点到平面α 的距离为
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4 已知集合 A={x|x2–3x+2=0},B={x|x2–ax+(a–1)=0}, C={x|x2–mx+2=0}, A∪B=A, 且
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A∩C=C,则 a 的值为 5
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,m 的取值范围为

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已知集合 A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},A,B 同时满足
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①A∩B≠ ? ,②A∩B={–2} 6
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求 p、q 的值

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已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C
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x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与|
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MQ|的比等于常数λ (λ >0) 7
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求动点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线
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已知函数 y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线

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当 n≤y≤n+1(n=0,1,2,?)时, 该图
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象是斜率为 bn 的线段(其中正常数 b≠1) ,设数列{xn}由 f(xn)=n(n=1,2,?)定义 (1)求 x1、x2 和 xn 的表达式; (2)计算 lim xn;
n??

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(3)求 f(x)的表达式,并写出其定义域

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参考答案 1
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分 a=2、|a|>2 和|a|<2 三种情况分别验证

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答案 2

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C
4 任取 4 个点共 C 10 =210 种取法

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四点共面的有三类

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4 (1)每个面上有 6 个点,则有 4×C 6 =60 种取共面的取法; (2)相比较的 4 个中点共

3 种; (3)一条棱上的 3 点与对棱的中点共 6 种 答案 3
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C
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分线段 AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决

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1或2
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A={1,2},B={x|(x–1)(x–1+a)=0},

由 A∪B=A 可得 1–a=1 或 1–a=2; 由 A∩C=C,可知 C={1}或 ? 答案 5
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2 或 3 3 或(–2 2 ,2 2 )
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设 x0∈A,x0 是 x02+px0+q=0 的根

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若 x0=0,则 A={–2,0},从而 p=2,q=0,B={– 此时 A∩B= ? 与已知矛盾,故 x0≠0

1 } 2

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将方程 x02+px0+q=0 两边除以 x02,得

q(

1 2 1 ) ? p( ) ? 1 ? 0 x0 x0

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1 1 满足 B 中的方程,故 ∈B x0 x0

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∵A∩ B ={–2},则–2∈A,且–2∈ B

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设 A={–2,x0},则 B={ ?

1 1 , },且 x0≠2(否则 A∩B= ? ) 2 x0

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若 x0=–

1 1 ,则 –2∈B,与–2 ? B 矛盾 2 x0

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又由 A∩B≠ ? ,∴x0=

1 ,即 x0=±1 x0
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即 A={–2,1}或 A={–2,–1}

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故方程 x2+px+q=0 有两个不相等的实数根–2,1 或–2,–1

∴?

? p ? ?(?2 ? 1) ? 1 ? p ? ?(?2 ? 1) ? 3 或? ?q ? (?2) ?1 ? ?2 ?q ? (?2) ? (?1) ? 2

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如图, MN 切圆 C 于 N, 设 则动点 M 组成的集合是 P={M||MN|=λ |MQ|,

λ >0}

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∵ON⊥MN,|ON|=1, ∴|MN|2=|MO|2–|ON|2=|MO|2–1 设动点 M 的坐标为(x,y),
2 2 2 2 则 x ? y ? 1 ? ? ( x ? 2) ? y

y N

M

o

Q

x

即(x2–1)(x2+y2)–4λ 2x+(4λ 2+1)=0

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经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合 P, 故方程为所求的轨迹方程
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(1)当λ =1 时,方程为 x=

5 5 ,它是垂直于 x 轴且与 x 轴相交于点( ,0)的直线; 4 4

(2)当λ ≠1 时,方程化为

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2?2 2 1 ? 3?2 2 (x ? 2 ) ? y ? 2 ? ?1 (? ? 1) 2
电话:025-86997559

地址:中山北路 88 号建伟大厦 13 楼 6A 室

它是以 (

2?2 1 ? 3?2 ,0) 为圆心, 2 为半径的圆 ?2 ? 1 | ? ?1|

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解 (1)依题意 f(0)=0,又由 f(x1)=1,当 0≤y≤1,函数 y=f(x)的图象是斜率为 b0=1
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的线段,

故由

f ( x1 ) ? f (0) ?1 x1 ? 0

∴x1=1 又由 f(x2)=2,当 1≤y≤2 时,函数 y=f(x)的图象是斜率为 b 的线段,

故由

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?b x2 ? x1
1 b

即 x2–x1=

∴x2=1+

1 b


记 x0=0,由函数 y=f(x)图象中第 n 段线段的斜率为 bn 1,

故得

f ( xn ) ? f ( xn?1 ) ? b n?1 xn ? xn?1

又由 f(xn)=n,f(xn–1)=n–1 ∴xn–xn–1=(

1 n–1 ) ,n=1,2,?? b 1 b
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由此知数列{xn–xn–1}为等比数列,其首项为 1,公比为
n

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因 b≠1,得 xn ?

?
k ?1

(xk–xk–1)

1 b ? ( ) n?1 1 1 b =1+ +?+ n?1 ? b b ?1 b

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1 b ? ( ) n?1 b 即 xn= b ?1 1 b ? ( ) n?1 b b (2)由(1)知,当 b>1 时, lim xn ? lim ? n?? n?? b ?1 b ?1
当 0<b<1,n→∞, xn 也趋于无穷大
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l i m n 不存在 x
n??

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(3)由(1)知,当 0≤y≤1 时,y=x,即当 0≤x≤1 时,f(x)=x; 当 n≤y≤n+1,即 xn≤x≤xn+1 由(1)可知 f(x)=n+bn(x–xn)(n=1,2,?),由(2)知 当 b>1 时,y=f(x)的定义域为[0,

b ); b ?1
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当 0<b<1 时,y=f(x)的定义域为[0,+∞)

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