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三角函数和恒等变形高中数学组卷6



2016 年 07 月 01 日 ztfsdu2011 的 高 中 数 学 组 卷 6
一 . 选 择 题 ( 共 30 小 题 ) 1. ( 2016 春 ? 洛 阳 校 级 月 考 ) 已 知 △ ABC 是 锐 角 三 角 形 , P =sinA+sinB , Q=cosA+cosB , 则 ( ) A. P> Q B. P< Q C . P =Q D . P 与

Q 的 大 小 不 能 确 定 2. ( 2016 春 ? 舒 城 县 校 级 月 考 ) 的值 是( ) A. B. C. 0 D. 1 ) , β ∈( 0 , π )且 tan( a ﹣ β ) = ,

3. ( 2016 春 ? 太 原 校 级 月 考 )若 α ∈( 0 , tan β = ﹣ A. ﹣ , 则 2α﹣ β( B. ﹣ C. ﹣ ) π D. ﹣

4. ( 2015 秋 ? 衡 水 校 级 期 末 ) 当 的( )

时 , 函 数 f ( x ) =sinx+

cosx

A. 最 大 值 是 1, 最 小 值 是 ﹣ 1 B. 最 大 值 是 1, 最 小 值 是 ﹣ C. 最 大 值 是 2, 最 小 值 是 ﹣ 2 D. 最 大 值 是 2, 最 小 值 是 ﹣ 1 5. ( 2015 春 ? 宝 鸡 校 级 期 中 ) sin20 °cos70 °+sin10 °sin5 0 °的 值 是 ( A. B. C. D. )



6. ( 2015 ? 河 北 ) sin20 °cos10 °﹣ co s160 °sin10 °= ( A. B. C. D.

7. ( 2015 ? 四 川 )下 列 函 数 中 ,最 小 正 周 期 为 π 且 图 象 关 于 原 点 对 称 的 函 数 是 ( ) A . y=cos ( 2x+ ) B . y=sin ( 2x+ )

C . y=sin2x+cos2x D . y=sinx+cosx 8. ( 2015 ? 重 庆 ) 若 ta n α = A. B. C. D.
2

, tan ( α + β ) =

, 则 tan β = (



9. ( 2015 ? 铜 川 模 拟 ) 函 数 y=2cos x 的 一 个 单 调 增 区 间 是 ( A. B. C. D.



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10 . ( 2015 ? 重 庆 ) 若 tan α =2tan

,则

=(



A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11 . ( 2015 ? 广 西 校 级 学 业 考 试 )若 3sinx ﹣ π) , 则 φ=( ) A. ﹣ B. C. D. ﹣

cosx=2

sin( x ﹣ φ ) ,φ ∈( ﹣ π ,

12 . ( 2015 ? 哈 尔 滨 校 级 模 拟 ) 化 简 A. 1 B. 2 C. D. ﹣ 1

=(



13 . ( 2015 ? 河 北 区 一 模 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ﹣ f ( x 1 ) +f ( x 2 ) =0 , 则 |x 1 +x 2 | 的 最 小 值 为 ( A. B. C. D.

sinx+3co sx , 若 x 1 ? x 2 > 0 , 且 )

14 . ( 2015 ? 乌 鲁 木 齐 模 拟 ) 若 函 数 f ( x ) = cos2x+asinx 在 区 间 (



)是

减函数,则 a 的取值范围是( ) A. ( 2, 4) B. ( ﹣ ∞, 2]C. ( ﹣ ∞ , 4 ] D . [4 , + ∞ ) 15 . ( 2015 ? 贵 阳 二 模 ) 函数 ( f x) =sinx+co sx 图 象 的 一 条 对 称 轴 方 程 是 ( A . x= B . x=0 C . x= ﹣ D . x=



16 . ( 2015 ? 江 西 模 拟 )已 知 函 数 f( x ) =( > sin + cos

) ﹣ lnx ,若 实 数 x 0 满 足 f( x 0 ) )

x

, 则 x0 的 取 值 范 围 是 (

A. ( ﹣ ∞, 1) B. ( 0, 1) C. ( 1, +∞) D. ( 17 . ( 2015 ? 延 边 州 一 模 ) 已 知 函 数

, +∞)

, 将 函 数 f( x) 的图象向左平移 A. B. C. 个单位后得到函数 g ( x) 的图象, 且 D. 的值域是( ) , 则 φ= ( )

18 . ( 2015 ? 文 峰 区 校 级 一 模 ) 函 数

A. [﹣ 4, 0) B. [﹣ 4, 4) C. ( ﹣ 4, 0]D. [﹣ 4, 0]

第 2 页(共 20 页)

19 . ( 2015 ? 马 鞍 山 三 模 ) 将 函 数 f ( x ) = 平移 个 单 位 得 到 函 数 g( x) 的 图 象 , 则 函 数 g( x) 是 (

的图象向左 )

A. 周 期 为 π 的 奇 函 数 B. 周 期 为 π 的 偶 函 数 C. 周 期 为 2π 的 奇 函 数 D. 周 期 为 2π 的 偶 函 数 20. ( 2015?河 南 校 级 模 拟 ) 已 知 函 数 则 函 数 f( x) 在 [﹣ 1, 1]上 的 单 调 增 区 间 为 ( A. B. C. D. ,则 = ) ,

21 . ( 2015 ? 南 昌 校 级 二 模 ) 已 知 ( A. ) B. C. ﹣ 1 D. ±1 ,则

22 . ( 2015 ? 河 南 模 拟 ) 若 A. B. C. D.

等于(



23 . ( 2015 ? 兴 国 县 一 模 ) 已 知 角 α 在 第 一 象 限 且 cos α =

, 则

等于( A. B.

) C. D. ﹣

24 . ( 2015 秋 ? 哈 尔 滨 校 级 期 中 ) 已 知 P 、 Q 是 圆 心 在 坐 标 原 点 O 的 单 位 圆 上 的两点,分别位于第一象限和第四象限,且 P 点的纵坐标为 标为 A. . 则 cos ∠ P OQ= ( B. C. ﹣ D. ﹣ ,sin ( α ﹣ β )= , ) ,Q 点的横坐

25 . ( 2015 ? 吉 林 校 级 一 模 )设 α ,β 都 是 锐 角 ,且 cos α = 则 cos β = ( A. B. ﹣ ) C. 或﹣ D. 或 )= 则 cos ( x

26 . ( 2015 ? 安 康 三 模 ) 已 知 sin ( A. ﹣ B. ﹣ C. D.

)等于(



27 . ( 2015 ? 泸 州 模 拟 ) 计 算 sin43 °co s13 °﹣ cos43 °sin13 °的 结 果 等 于 (
第 3 页(共 20 页)



A.

B.

C.

D.

28 . ( 2015 ? 武 汉 校 级 模 拟 )已 知 函 数 f( x ) =sin x+ λ cosx 的 图 象 的 一 个 对 称 中 心是点( 线( A . x= ) B . x= C . x= D . x= ﹣ sin ( x+ ) +cos ( ﹣ x) 的 最 大 , 0) , 则 函 数 g ( x ) = λ sinx cosx+sin x 的 图 象 的 一 条 对 称 轴 是 直
2

29 . ( 2015 ? 哈 尔 滨 校 级 模 拟 ) 函 数 y= 值为( A. B. ) C. D.

30 . ( 2015 ? 宁 城 县 三 模 ) 设 函 数 ,且 其 图 象 关 于 y 轴 对 称 ,则 函 数 y= f ( x ) 的 一 个 单 调 递 减 区 间 是 ( A. B. C. ) D.

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2016 年 07 月 01 日 ztfsdu2011 的 高 中 数 学 组 卷 6
参考答案与试题解析

一 . 选 择 题 ( 共 30 小 题 ) 1. ( 2016 春 ? 洛 阳 校 级 月 考 ) 已 知 △ ABC 是 锐 角 三 角 形 , P =sinA+sinB , Q=cosA+cosB , 则 ( ) A. P> Q B. P< Q C . P =Q D . P 与 Q 的 大 小 不 能 确 定 【 分 析 】 先 化 简 P ﹣ Q=( sinA+sinB ) ﹣ ( co sA+cosB ) =2cos 2cos ) , 然 后 根 据 锐 角 三 角 形 得 出 sin > 2cos , cos ( sin ﹣

>0 从而得

出结论. 【 解 答 】解 :P ﹣ Q= ( sinA+sinB )﹣( cosA+cosB )=2sin cos =2cos ( sin ﹣ cos ) cos ﹣ 2cos

由 于 是 锐 角 三 角 形 A+ B=180 °﹣ C > 90 ° 所以 sin > 45 ° > 2cos

0 < A , B < 90 ° 所 以 ﹣ 45 °< cos >0 < 45 °

综 上 , 知 P﹣ Q> 0. P> Q 故 选 : A. 【点评】 此题考查了两角和与差公式以及三角函数的单调性, 对于比较大小, 可以采用作差法. 2. ( 2016 春 ? 舒 城 县 校 级 月 考 ) 是( ) A. B. C. 0 D. 1 的值

【 分 析 】 由 11 °+19 °=30 °, 利 用 两 角 和 的 正 切 函 数 公 式 化 简 后 , 即 可 得 到 tan11 °+tan 19 °与 tan11 °tan19 °之 间 的 关 系 式 ,然 后 将 原 式 的 前 两 项 提 取 ,把 求出的关系式代入即可求出值.

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【 解 答 】 解 : 因 为 tan 30=tan ( 11+19 ) =

=



所以 ( tan11 °+ tan19 °) =1 ﹣ tan11 °tan19 ° 则原式= =1 ﹣ tan11 °? tan19 °+tan 11 °? tan19 ° =1 . 故选 D 【点评】此题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值,是一 道 基 础 题 . 学 生 做 题 时 应 注 意 11 °+19 °=30 °这 个 条 件 . 3. ( 2016 春 ? 太 原 校 级 月 考 )若 α ∈( 0 , tan β = ﹣ A. ﹣ , 则 2α﹣ β( B. ﹣ C. ﹣ ) π D. ﹣ , 然 后 , 根 据 2 α ﹣ β = ( α ﹣ β ) + α , 求 解 tan ( 2 α ) , β ∈( 0 , π )且 tan( a ﹣ β ) = ,

【 分 析 】 首 先 , 求 解 tan α =

﹣ β ) =tan[ ( α ﹣ β ) + α ] =1 , 最 后 , 结 合 2 α ﹣ β ∈ ( ﹣ π , 0 ) , 从 而 确 定 2α﹣ β 的值.

【 解 答 】 解 : ∵ tan α =tan[ ( α ﹣ β ) + β ] =

=

=



∴ tan α =



∵ tan ( 2 α ﹣ β ) =tan[ ( α ﹣ β ) + α ] =

=

=1 .

∵α∈( 0, ∵ tan β = ﹣ ∴β∈(

) , β∈( 0, π) < 0,

, π)

∴2α﹣ β∈( ﹣ π, 0) , ∴2α﹣ β=﹣ .

故 选 : D. 【点评】本题重点考查了两角和与差的正切公式,掌握公式的运用是解题的 关键,属于中档题.

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4. ( 2015 秋 ? 衡 水 校 级 期 末 ) 当 的( )

时 , 函 数 f ( x ) =sinx+

cosx

A. 最 大 值 是 1, 最 小 值 是 ﹣ 1 B. 最 大 值 是 1, 最 小 值 是 ﹣ C. 最 大 值 是 2, 最 小 值 是 ﹣ 2 D. 最 大 值 是 2, 最 小 值 是 ﹣ 1 【分析】首先对三角函数式变形,提出 2 变为符合两角和的正弦公式形式, 根据自变量的范围求出括号内角的范围,根据正弦曲线得到函数的值域. 【 解 答 】 解 : ∵ f ( x ) =sinx+ cosx =2 ( sinx+ cosx ) ) , ,

=2sin ( x+ ∵

∴f( x) ∈[﹣ 1, 2], 故选 D 【点评】了解各公式间的内在联系,熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及 某 些 公 式 变 形 后 的 应 用 .掌 握 两 角 和 与 差 的 正 弦 、余 弦 、正 切 公 式 及 其 推 导 , 本题主要是公式的逆用和对三角函数值域的考查. 5. ( 2015 春 ? 宝 鸡 校 级 期 中 ) sin20 °cos70 °+sin10 °sin5 0 °的 值 是 ( A. B. C. D. )

【分析】 从题目的结构形式来看, 本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式, 但是题目又不完全符合,因此有一个整理的过程,整理发现,刚才直观的认 识不准确,要前后两项都用积化和差,再合并同类项. 【解答】解:原式= = = , ]

故选 A 【点评】在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结 构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.本题开始考虑时差点 出错,这是解题时好多同学要经历的过程. 6. ( 2015 ? 河 北 ) sin20 °cos10 °﹣ co s160 °sin10 °= ( A. B. C. D. )

【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数,化简求解即可. 【 解 答 】 解 : sin20 °co s10 °﹣ cos1 60 °sin10 ° =sin20 °co s10 °+cos20 °sin10 °
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=sin30 ° = .

故 选 : D. 【点评】 本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用, 基本知识的考查. 7. ( 2015 ? 四 川 )下 列 函 数 中 ,最 小 正 周 期 为 π 且 图 象 关 于 原 点 对 称 的 函 数 是 ( ) A . y=cos ( 2x+ ) B . y=sin ( 2x+ )

C . y=sin2x+cos2x D . y=sinx+cosx 【分析】求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可. 【解答】解: y=cos ( 2x+ 正确 y=sin ( 2x+ 不正确; y=sin2x+cos2 x= 正确; y=sinx+cosx= sin( x+ ) ,函 数 是 非 奇 非 偶 函 数 ,周 期 为 2π,所 以 D 不 正 sin ( 2 x+ ) ,函 数 是 非 奇 非 偶 函 数 ,周 期 为 π,所 以 C 不 ) =cos2x , 函 数 是 偶 函 数 , 周 期 为 : π , 不 满 足 题 意 , 所 以 B ) = ﹣ sin2x , 是 奇 函 数 , 函 数 的 周 期 为 : π , 满 足 题 意 , 所 以 A

确; 故 选 : A. 【点评】本题考查两角和与差的三角函数,函数的奇偶性以及红丝带周期的 求法,考查计算能力.

8. ( 2015 ? 重 庆 ) 若 ta n α = A. B. C. D.

, tan ( α + β ) =

, 则 tan β = (



【 分 析 】由 条 件 利 用 查 两 角 差 的 正 切 公 式 ,求 得 tan β =tan [( α + β )﹣ α ] 的 值 . 【 解 答 】 解 : ∵ tan α = , tan ( α + β ) = , 则 tan β =tan[ ( α + β ) ﹣ α ] =

=

=



故 选 : A. 【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用,属于基础题. 9. ( 2015 ? 铜 川 模 拟 ) 函 数 y=2cos x 的 一 个 单 调 增 区 间 是 (
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2



A.

B.

C.

D.

【 分 析 】 要 进 行 有 关 三 角 函 数 性 质 的 运 算 , 必 须 把 三 角 函 数 式 变 为 y=Asin ( ω x+ φ ) 的 形 式 , 要 先 把 函 数 式 降 幂 , 降 幂 用 二 倍 角 公 式 . 2 【 解 答 】 解 : 函 数 y=2 cos x=1+cos2x , 由 ﹣ π +2k π≤ 2x ≤ 2k π , 解 得 ﹣ π +k π≤ x ≤ k π , k 为 整 数 , , 故 选 D.

∴ k=1 即 有 它 的 一 个 单 调 增 区 是

【点评】利用同角三角函数间的关系式、诱导公式、二倍角公式可以化简三 角函数式,化简的标准:第一,尽量使函数种类最少,次数最低,而且尽量 化 成 积 的 形 式 ; 第 二 , 能 求 出 值 的 要 求 出 值 ; 在 化 简 三 角 函 数 时 , 应 注 意 “1” 的代换, 1=sin α +cos α , 1=tan α? cot α 等 , 对于函数种类较多的式子, 化简时, 常 用 “切 化 弦 法 ”, 遇 到 象 本 题 高 次 数 的 要 用 二 倍 角 公 式 降 幂 .
2 2

10 . ( 2015 ? 重 庆 ) 若 tan α =2tan

,则

=(



A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式,利用同角三角函 数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可.

【 解 答 】 解 : tan α =2ta n

,则

=

=

=

=

=

=

=

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=

=

=

=

=

=3 .

故 答 案 为 : 3. 【点评】本题考查两角和与差的三角函数,积化和差以及诱导公式的应用, 考查计算能力. 11 . ( 2015 ? 广 西 校 级 学 业 考 试 )若 3sinx ﹣ π) , 则 φ=( ) A. ﹣ B. C. D. ﹣ cosx=2 sin( x ﹣ φ ) ,φ ∈( ﹣ π ,

【 分 析 】 先 利 用 两 角 和 公 式 对 等 号 左 边 进 行 化 简 进 而 根 据 φ 的 范 围 求 得 φ. 【 解 答 】解 : 3sinx ﹣ sin ( x ﹣ φ ) , ∴ φ =2k π + , k∈Z, cosx=2 ( sinx ﹣ cosx ) =2 sin( x ﹣ ) =2

∵φ∈( ﹣ π, π) , ∴φ= ,

故 选 : B. 【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,诱导公式的应 用.对三角函数的基础公式应能够熟练记忆和灵活运用.

12 . ( 2015 ? 哈 尔 滨 校 级 模 拟 ) 化 简 A. 1 B. 2 C. D. ﹣ 1

=(



【分析】用倍角公式化简后,再用诱导公式即可化简求值. 【解答】解: = = =2 .

故 选 : B. 【点评】本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用,三角函数中的恒等变换 应用,属于基本知识的考查. 13 . ( 2015 ? 河 北 区 一 模 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ﹣ f ( x 1 ) +f ( x 2 ) =0 , 则 |x 1 +x 2 | 的 最 小 值 为 (
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sinx+3co sx , 若 x 1 ? x 2 > 0 , 且 )

A.

B.

C.

D.

【 分 析 】 题 干 错 误 : x 1 ? x 2 > 0 , 且 f ( x ) +f ( x 2 ) =0 , 应 该 x 1 ? x 2 > 0 , 且 f ( x 1 ) +f ( x 2 ) =0 . 利 用 三 角 函 数 的 恒 等 变 换 化 简 函 数 f( x) 的 解 析 式 为 =﹣ 2 sin ( x ﹣ ) ,

由 题 意 可 得 |x 1 +x 2 | 的 最 小 值 等 于 函 数 f ( x ) 的 绝 对 值 最 小 的 零 点 的 2 倍 , 求 出 函 数 f( x) 的 绝 对 值 最 小 的 零 点 , 即可求得结果. 【 解 答 】解 :∵ ﹣ x) =﹣ 2 sin ( x ﹣ =2 (﹣ sinx+ cosx ) =2 sin(

) , x 1 ? x 2 > 0 , 且 f ( x 1 ) +f ( x 2 ) =0 ,

∴ x 1 +x 2 等 于 函 数 的 零 点 的 2 倍 , ∴ |x 1 +x 2 | 的 最 小 值 等 于 函 数 f ( x ) 的 绝 对 值 最小的零点的 2 倍. ∴令 ﹣ 2 sin ( x ﹣ ) =0 可 得 sin ( x ﹣ ) =0 , x ﹣ =k π , k ∈ z . 故 函 数 ,

f( x) 的 绝 对 值 最 小 的 零 点 为

, 故 |x 1 +x 2 | 的 最 小 值 为

故 选 D. 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,求函数的零点,体 现了转化的数学思想,属于中档题.

14 . ( 2015 ? 乌 鲁 木 齐 模 拟 ) 若 函 数 f ( x ) = cos2x+asinx 在 区 间 (



)是

减函数,则 a 的取值范围是( ) A. ( 2, 4) B. ( ﹣ ∞, 2]C. ( ﹣ ∞ , 4 ] D . [4 , + ∞ ) 【 分 析 】 利 用 二 倍 角 的 余 弦 公 式 化 为 正 弦 , 然 后 令 t=sinx 换 元 , 根 据 给 出 的 x 的范围求出 t 的范围, 结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式 求解 a 的范围. 【 解 答 】 解 : 由 f ( x ) =cos2x+asinx 2 = ﹣ 2sin x+asinx+1 , 令 t=sinx , 2 则 原 函 数 化 为 y= ﹣ 2 t +at+1 . ∵x∈( ,
2

) 时 f( x) 为 减 函 数 , , 1) 上 为 减 函 数 , .

则 y= ﹣ 2 t +at+1 在 t ∈ (
2

∵ y= ﹣ 2 t +at+1 的 图 象 开 口 向 下 , 且 对 称 轴 方 程 为 t= ∴ ≤ , 解 得 : a≤2.

∴a 的 取 值 范 围 是 ( ﹣ ∞, 2].
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故 选 : B. 【点评】本题考查复合函数的单调性,考查了换元法,关键是由换元后函数 为减函数求得二次函数的对称轴的位置,是中档题. 15 . ( 2015 ? 贵 阳 二 模 ) 函数 ( f x) =sinx+co sx 图 象 的 一 条 对 称 轴 方 程 是 ( A . x= B . x=0 C . x= ﹣ D . x= sin( x+ ) ,令 x+ =k π + ,k ∈ z , )

【 分 析 】化 简 函 数 f( x )的 解 析 式 为 可 得 x=k π + 得出结论. 【 解 答 】 解 : 函 数 f ( x ) =sinx+cosx= 令 x+ =k π + , k ∈ z , 可 得 x=k π +

, k∈z 就 是 函 数 的 对 称 轴 , 由 此

sin ( x + , k∈z.

) .

故 选 A. 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换,正弦函数的对称性,化简函数 f( x) 的 解 析 式 为 属于中档题.
x

sin ( x+

) ,是解题的关键,

16 . ( 2015 ? 江 西 模 拟 )已 知 函 数 f( x ) =( > sin + cos

) ﹣ lnx ,若 实 数 x 0 满 足 f( x 0 ) )

, 则 x0 的 取 值 范 围 是 (

A. ( ﹣ ∞, 1) B. ( 0, 1) C. ( 1, +∞) D. (

, +∞)

【 分 析 】首 先 利 用 函 数 的 定 义 域 排 除 A ,进 一 步 求 出 的 值 , 最 后 利 用 特 殊 值 法 排 除 C 和 D, 最 后 求 出 结 果 . 【 解 答 】 解 : 已 知 函 数 f( x) =( ) ﹣ lnx ,
x

所 以 : 函 数 自 变 量 x 的 定 义 域 为 : x∈( 0, +∞) 故 排 除 A. 由 于 存 在 实 数 x0 满 足 f( x0) > sin + cos ,

又由于:

=

=



第 12 页(共 20 页)

即:

当 x=e 时 ,

, lne=1

所以:



矛盾,

故排除:C 和 D 故 选 : B. 【点评】本题考查的知识要点:利用排除法和特殊值法解决一些复杂的函数 问题,对数的值得求法和特殊的三角函数值. 17 . ( 2015 ? 延 边 州 一 模 ) 已 知 函 数 , 将 函 数 f( x) 的图象向左平移 A. B. C. 个单位后得到函数 g ( x) 的图象, 且 D. cos( 2x ﹣ φ ) ,再 将 函 数 平 移 得 到 g( x )= ,即可得到 φ 的值. sin 2x sin φ +cos φ ( cos x ﹣
2

, 则 φ= (



【 分 析 】先 将 三 角 函 数 整 理 为 ( 2x+ ﹣ φ) ,由且

cos

【 解 答 】 解 : ∵f( x) = = = sin 2x sin φ +



cos φ c os 2 x

cos ( 2x ﹣ φ ) , cos ( 2x+ , ∴2× ﹣ φ) , + ﹣ φ =2k π ( k ∈ Z ) ,

∴g( x) = ∵g( 即 φ= ∴φ= )=

﹣ 2k π ( k ∈ Z ) , ∵0< φ< π, .

故答案为:D 【点评】本题考查的知识点是三角恒等变换及函数图象的平移变换,其中熟 练 掌 握 图 象 的 平 移 变 换 法 则 “左 加 右 减 , 上 加 下 减 ”, 是 解 答 本 题 的 关 键 .

第 13 页(共 20 页)

18 . ( 2015 ? 文 峰 区 校 级 一 模 ) 函 数

的值域是(



A. [﹣ 4, 0) B. [﹣ 4, 4) C. ( ﹣ 4, 0]D. [﹣ 4, 0] 【 分 析 】利 用 和 差 化 积 公 式 化 简 函 数 性求出函数的值域. 【 解 答 】 解 : y= 即 sinx ≠± 1 2 因 为 0 ≤ sin x ≤ 1 且 sin x ≠± 1 2 所 以 0 ≤ sin x < 1 所以函数 的值域是: ( ﹣ 4, 0] =﹣ = ﹣ 4sin x ( cosx ≠ 0 )
2

后 ,根 据 正 弦 函 数 的 有 界

故选 C 【点评】本题考查三角函数的恒等变形,和差化积公式的应用,注意正弦函 数的值域,余弦函数的值域这一隐含条件的挖掘,是解好题目的注意点.

19 . ( 2015 ? 马 鞍 山 三 模 ) 将 函 数 f ( x ) = 平移 个 单 位 得 到 函 数 g( x) 的 图 象 , 则 函 数 g( x) 是 (

的图象向左 )

A. 周 期 为 π 的 奇 函 数 B. 周 期 为 π 的 偶 函 数 C. 周 期 为 2π 的 奇 函 数 D. 周 期 为 2π 的 偶 函 数 【 分 析 】 由 三 角 函 数 中 的 恒 等 变 换 应 用 化 简 函 数 解 析 式 可 得 f ( x ) =sin( 2x+ ) , 可 得 g ( x ) =co s2x , 由 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 可 得 函 数 g ( x ) 是 周 期 为 π 的偶函数. 【解答】 解: ∵f ( x) = ∴ g ( x ) =sin [2 ( x+ ∴ T= )+ ] =sin ( 2x+ = sin2x+ cos2x=sin ( 2x+ )

) =cos2x

=π, 即 函 数 g( x) 是 周 期 为 π 的 偶 函 数 .

故 选 : B. 【点评】本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质、图象变换,属于 中等题.

20. ( 2015?河 南 校 级 模 拟 ) 已 知 函 数 则 函 数 f( x) 在 [﹣ 1, 1]上 的 单 调 增 区 间 为 ( A. B. C. D. )



【 分 析 】 利 用 二 倍 角 公 式 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 化 简 函 数 f( x) 为 一 个 角 的 一 个 三 角 函 数 的 形 式 , 然 后 求 解 在 [﹣ 1, 1]上 的 单 调 增 区 间 .
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【解答】解:函数 = =sin ( π x+ 由 可 得 : 2k ﹣ , k∈Z, )﹣ , k∈Z.

当 k=0 时 , 可 得 函 数 f ( x ) 在 [ ﹣ 1 , 1 ] 上 的 单 调 增 区 间 为 : 故 选 : A. 【点评】本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数,正弦函数的单调 性的应用,考查转化思想以及计算能力.

21 . ( 2015 ? 南 昌 校 级 二 模 ) 已 知 ( A. ) B. C. ﹣ 1 D. ±1

,则

=

【 分 析 】 先 利 用 两 角 和 公 式 把 cos ( x ﹣ 用 两 角 和 的 余 弦 公 式 化 简 , 把 cos ( x ﹣ 【 解 答 】 解 : ∵ co s ( x ﹣ ∴ cosx+cos ( x ﹣ = cosx+ sinx= ) =﹣ cosx+ ,

) 展 开 后 加 上 co sx 整 理 , 进 而 利 )的值代入即可求得答案.

) =cosx+ (

sinx cos ( x ﹣ ) =﹣ 1.

cosx+

sinx ) =

故选 C 【点评】 此题考查了两角和与差的余弦函数公式, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握公式是解本题的关键.

22 . ( 2015 ? 河 南 模 拟 ) 若 A. B. C. D.

,则

等于(



【分析】将

看作整体,将

化作

的三角函数.

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【解答】解: =2

= ﹣ 1=2 × ﹣ 1=

=﹣ .

=﹣

故选 A 【点评】观察已知的角与所求角的练习,做到整体代换.

23 . ( 2015 ? 兴 国 县 一 模 ) 已 知 角 α 在 第 一 象 限 且 cos α =

, 则

等于( A. B.

) C. D. ﹣

【 分 析 】 利 用 两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 公 式 cos ( α ﹣ β ) =cos α cos β + sin α sin β 化 简 原 式 , 然 后 根 据 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 求 出 sin α , 代 入 求 出 值 即 可 . 【 解 答 】解 :因 为 角 α 在 第 一 象 限 且 co s α = , ,利 用 sin α +cos α =1 得 到 sin α =
2 2

则原式=

=

=

=2 ×

( cos α +sin α ) =2 × (

+

)=



故选 C 【点评】考查学生灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式的能力,以及 掌握同角三角函数间基本关系的能力. 24 . ( 2015 秋 ? 哈 尔 滨 校 级 期 中 ) 已 知 P 、 Q 是 圆 心 在 坐 标 原 点 O 的 单 位 圆 上 的两点,分别位于第一象限和第四象限,且 P 点的纵坐标为 标为 A. . 则 cos ∠ P OQ= ( B. C. ﹣ D. ﹣ ) ,Q 点的横坐

【 分 析 】 由 条 件 利 用 直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系 求 得 sin ∠ xOP 和 cos ∠ xOQ 的 值 , 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 求 得 co s ∠ xOP 和 sin ∠ xOQ , 再 利 用 两 角和的余弦公式求得 cos ∠ P OQ=cos ( ∠ xOP+ ∠ xOQ ) 的 值 . 【 解 答 】 解 : 由 题 意 可 得 , sin ∠ xOP = , ∴ cos ∠ xOP = ;

第 16 页(共 20 页)

再 根 据 cos ∠ xOQ=

, 可 得 sin ∠ xOQ=



∴ cos ∠ P OQ=cos ( ∠ xOP+ ∠ xOQ ) =cos ∠ xOP ? cos ∠ xOQ ﹣ sin ∠ xOP ? sin ∠ xOQ= ﹣ =﹣ ,

故 选 : D. 【点评】 本题主要考查直角三角形中的边角关系, 同角三角函数的基本关系, 两角和的余弦公式的应用,属于基础题.

25 . ( 2015 ? 吉 林 校 级 一 模 )设 α ,β 都 是 锐 角 ,且 cos α = 则 cos β = ( A. B. ﹣ ) C. 或﹣ D. 或

,sin ( α ﹣ β )=



【 分 析 】注 意 到 角 的 变 换 β = α ﹣( α ﹣ β ) ,再 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 计 算 可 得 结果. 【 解 答 】 解 : ∵ α , β 都 是 锐 角 , 且 co s α = ∴ sin α = 同理可得 = ; , ? + , sin ( α ﹣ β ) = ,

∴ cos β =cos[ α ﹣( α ﹣ β )] =cos α co s( α ﹣ β )+sin α sin( α ﹣ β )= ? = ,

故 选 : A. 【点评】本题考查两角和与差的余弦公式,考查同角三角函数间的关系式的 应用,属于中档题.

26 . ( 2015 ? 安 康 三 模 ) 已 知 sin ( A. ﹣ B. ﹣ C. D.

)=

则 cos ( x

)等于(



【分析】由诱导公式化简后即可求值. 【 解 答 】 解 : co s ( x ) =sin[ ﹣(x ) ] =sin ( ﹣ x) = .

故 选 : D. 【点评】本题主要考察了诱导公式的应用,属于基础题. 27 . ( 2015 ? 泸 州 模 拟 ) 计 算 sin43 °co s13 °﹣ cos43 °sin13 °的 结 果 等 于 ( A. B. C. D. )

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【 分 析 】 观 察 所 求 的 式 子 发 现 满 足 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式 sin α cos β ﹣ cos α sin β =sin ( α ﹣ β ) ,故利用此公式及特殊角的三角函数值化简即可求出原 式的值. 【 解 答 】 解 : sin43 °co s13 °﹣ cos4 3 °sin13 ° =sin ( 43 °﹣ 13 °) =sin30 ° = .

故选 A 【点评】 此题考查了两角和与差的正弦函数公式, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握公式是解本题的关键. 28 . ( 2015 ? 武 汉 校 级 模 拟 )已 知 函 数 f( x ) =sin x+ λ cosx 的 图 象 的 一 个 对 称 中 心是点( 线( A . x= ) B . x= C . x= D . x= ﹣ , 代入 g ( x) 由三角函数公式化简可得 g ( x) =k π + 解 x 可得对称轴,对照选项可得. , 0) , , 0) , 则 函 数 g ( x ) = λ sinx cosx+sin x 的 图 象 的 一 条 对 称 轴 是 直
2

【分析】 由 对 称 中 心 可 得 λ=﹣ = ﹣ sin ( 2x+ ) , 令 2x+

【 解 答 】 解 : ∵ f ( x ) =sinx+ λ cosx 的 图 象 的 一 个 对 称 中 心 是 点 ( ∴f( ) =sin + λ cos =
2

+

λ =0 , 解 得 λ = ﹣



∴g( x) =﹣ = = sin2x+ ﹣ sin ( 2x+ =k π +

sinx cosx+ sin x

) , 可 得 x= + + , k∈Z,

令 2x+

∴函 数 的 对 称 轴 为 x=

, k∈Z, 符合题意,

结 合 四 个 选 项 可 知 , 当 k= ﹣ 1 时 x= ﹣

故选:D 【 点 评 】本 题 考 查 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 ,涉 及 三 角 函 数 对 称 性 ,属 中 档 题 .

29 . ( 2015 ? 哈 尔 滨 校 级 模 拟 ) 函 数 y= 值为( A. B. ) C. D.

sin ( x+

) +cos (

﹣ x) 的 最 大

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【分析】将函数 y 解析式第一项利用诱导公式化简,第二项利用两角和与差 的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,整理后,再利用两角和与差的 正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数的值域,即可得出 y 的最 大值. 【 解 答 】 解 : y= = = = = cosx+ cosx+ ( cosx+ sinx cosx+ sinx ) , cos θ = ) , sin ( x + sinx ) +cos ( ﹣ x)

sin ( x+ θ ) ( 其 中 sin θ =

∵﹣ 1 ≤ sin ( x+ θ ) ≤ 1 , ∴函 数 y 的 最 大 值 为 .

故选 C 【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,正弦函数的定义域 与值域,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键. 30 . ( 2015 ? 宁 城 县 三 模 ) 设 函 数 ,且 其 图 象 关 于 y 轴 对 称 ,则 函 数 y= f ( x ) 的 一 个 单 调 递 减 区 间 是 ( A. B. C. ) D.

【分析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简函数解析式,由题意和正 弦函数的对称轴求出 θ 的值,代入解析式利用诱导公式化简,再由余弦函数 的 单 调 区 间 求 出 f( x) 的 单 调 增 区 间 , 结 合 答 案 项 进 行 判 断 即 可 . 【解答】解:由题意得, f ( x ) =2[ sin ( )﹣ cos ( =k π + ) ] =2sin ( , k∈Z, 满足题意, ﹣ ) = ﹣ 2cos , ﹣ ) ,

∵图 象 关 于 y 轴 对 称 , ∴ θ ﹣ 又 ∵ |θ |<

, ∴当 k= ﹣ 1 时 , θ = ﹣ ﹣

∴ f ( x ) =2sin ( 由 2k π ﹣ π≤

) =2sin (

≤ 2k π 可 得 4k π ﹣ 2 π≤ x ≤ 4k π ,

∴函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 [4 k π ﹣ 2 π , 4k π ] , k ∈ Z , 当 k=0 时 , 函 数 f ( x ) 的 一 个 单 调 递 增 区 间 为 [ ﹣ 2 π , 0 ] , 当 k=1 时 , 函 数 f ( x ) 的 一 个 单 调 递 增 区 间 为 [2 π , 4 π ] ,
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所 以 A、 B、 D 不 正 确 ; C 正 确 , 故 选 : C. 【点评】本题考查辅助角公式、两角差的正弦公式,诱导公式,以及正弦、 余弦函数的性质,属于中档题.

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