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2011年全国高中数学联合竞赛一试试题



2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1 .设集合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
B ? {?1, 3, 5, 8} ,则集

合 A ?

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 9. (本小题满分 16 分)设函数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | ,实数 a, b(a ? b) 满足 f (a) ? f (? b ? 1 ) ,
b?2
f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a , b 的值.



2.函数 f ( x) ?

x 2 ?1 x ?1

的值域为



10 . ( 本 小 题 满 分 20 分 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 : a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) , 3.设 a , b 为正实数, 1 ? 1 ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ?
a b



a n ?1 ?

(2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 a n ? 2t ? 1
n

(n ? N * ) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 an ?1 与 an 的大小. 4.如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是 .

6.在四面体 ABCD中,已知 ?ADB? ?BDC? ?CDA? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则四 面体 ABCD的外接球的半径为 .

1

2009 年全国高中数学联合竞赛加试
一、填空(共 4 小题,每小题 50 分,共 200 分) 1. 如图,M ,N 分别为锐角三角形 ?ABC( ?A ? ?B ) 的外接圆 ? 上弧 BC 、AC 的中点. 过 点 C 作 PC ∥ MN 交圆 ? 于 P 点, I 为 ?ABC 的内心,连接 PI 并延长交圆 ? 于 T . ⑴求证: MP ? MT ? NP ? NT ; ⑵在弧 AB (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , T , B ) ,记 ?AQC , △QCB 的内心 分别为 I1 , I 2 ,
P N I T A Q C M

2008 年全国高中数学联合竞赛加试( A 卷)
一、 (本题满分 50 分) 如 题 一 图 , 给 定 凸 四 边 形 ABCD , ?B ? ?D ? 180 , P 是 平 面 上 的 动 点 , 令 f ( P) ? PA ? BC ? PD ? CA ? PC ? AB . (Ⅰ)求证:当 f ( P ) 达到最小值时, P,A,B,C 四点共圆;

AE 3 BC 1 , ? 3 ? 1 , ?ECB ? ?ECA , ? EC 2 AB 2 又 DA, DC 是 O 的切线, AC ? 2 ,求 f ( P ) 的最小值.
(Ⅱ)设 E 是 ?ABC 外接圆 O 的 AB 上一点,满足:

B

求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆.

2

2007 年全国高中数学联合竞赛加试试卷
(考试时间:上午 10:00—12:00) 一、 (本题满分 50 分) 如图,在锐角△ABC 中,AB<AC,AD 是边 BC 上的高,P 是线段 AD 内一点。过 P 作 PE ⊥AC, 垂足为 E ,做 PF ⊥AB ,垂足为 F 。O1 、O2 分别是△BDF 、△CDE 的外心。求证:O1 、O2 、E 、F 四点共圆的充要条件为 P 是△ABC 的垂心。

塞瓦定 理

在 △ ABC 内任取一点 O,直线 AO、 BO 、 CO 分别交对 边于 D、 E、 F,则

(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

A E F O1 B D P O2

三角形 垂心的性质
C
设 ⊿ABC 的三条高 为 AD、 BE 、 CF, 其中 D、 E、 F 为 垂足,垂心为 H,角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c , p=(a+b+c)/2. 1 、锐角三角形的 垂心在三角形内;直角三角形的垂心 在直角顶点上;钝角三角形的垂 心在三角形外 . 2 、三角形的垂心 是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内 心是它旁心三角形的垂 心; 3 、垂心 H 关于 三边的对称点,均在 △ ABC 的外接圆上。 4 、 △ ABC 中 , 有 六 组 四 点 共 圆 , 有 三 组 ( 每 组 四 个 ) 相 似 的 直 角 三 角 形 , 且 AH· HD=BH· HE=CH· HF 。 5 、 H、A、B、C 四点中任一点是其余 三点为顶点的三角形的垂心 (并称这样的四点为一 — 垂心组 )。 6 、 △ ABC , △ ABH, △ BCH, △ ACH 的外接圆是等圆。 7、 在非直角三 角形中, 过 H 的直线交 AB、 AC 所在直线 分别于 P、 Q, 则 AB/AP · tanB+

3

4 、点 O 是平面 ABC 上 任意一点,点 I 是 △ ABC 内心 的充要条件是:

OI ? aOA ? bOB ? cOC / ?a ? b ? c ?
三角形的 垂心与外心的位置关系 AC/AQ· tanC=tanA+tanB+tanC。 8 、 三角形任一顶 点到垂心的距离,等于外心到对 边的距离的 2倍 。 9 、 设 O, H 分别为 △ ABC 的 外心和垂心, 则∠BAO= ∠HAC , ∠ABH= ∠OBC , ∠BCO=∠HCA。 10、 锐 角 三 角 形 的 垂 心 到 三 顶 点 的 距 离 之 和 等 于 其 内 切 圆 与 外 接 圆 半 径 之 和 的 2 倍 。 11 、 锐角三角 形的垂心 是垂足三 角形的内 心;锐 角三角形 的内接三 角形 ( 顶点在原 三角形 的边上 )中 ,以垂足三角形的周长最短。 12、 西姆松 (Simson) 定理(西姆松线) 线的充要条件 是该点落在三角形的外接圆上。 13 、 设 锐 角 ⊿ABC 内 有 一 点 T , 那 么 T 是 垂 心 的 充 分 必 要 条 件 是 PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC= AB*BC*CA。 三角形的重心 性质 1. 重心到顶点的 距离与重心到对边中点的距离之 比为 2: 1。 2.2. 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 3.3. 重心到三角形 3 个顶点距离 的平方和最小。 5. 重心是三角形内到三边距离 之积最大的点。 三角形内心的 性质 1 、三角形的内心 到三边的距离相等,都等于内切 圆半径 r. 2 、∠BIC=90° + ∠A/2 . 3 、如图 在 RT △ ABC 中 ,∠A=90° △ 内切圆切 BC 于 D 则 S△ ABC=BD*CD 从一点向三角形的 三边所引垂线的垂足共 6、(欧拉定理 ) ⊿ABC 中,R 和 r 分别为外 接圆为和内切圆的半径, O 和 I 分别为其外心和内 心,则 OI^2=R^2-2Rr.

?

?

7 、点 O 是平 面 ABC 上 任意一点, 点 O 是 △ ABC 内 心的充要条件是 : 0 ? aOA ? bOB ? cOC . 8 、 △ ABC 中 ,内切圆分别与 AB, BC , CA 相切于 P, Q, R,则 AP=AR=( b+c-a) /2, BP =BQ =(a +c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。 10 、 (内角平分线定理) BC 、 AC 、 AB 于 Q、 P、 R, △ ABC 中 , 0为 内心,∠A 、 ∠B、 ∠C 的内 角平分线分别交 则 BQ/QC=c /b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

?

?

4



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