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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):10.3相关性 统计案例



课时跟踪检测(六十九) 相关性 统计案例

1.(2011· 陕西高考)设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如 图),以下结论正确的是( )

A.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 B.x 和 y 的相关系数在 0 到 1

之间 C.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 D.直线 l 过点( x , y ) 2.(2011· 山东高考)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

根据上表可得线性回归方程 y=bx+a 中的 b 为 9.4, 据此模型预报广告费用为 6 万元时 销售额为( ) B.65.5 万元 D.72.0 万元

A.63.6 万元 C.67.7 万元 3.(2012· 东北三校联考)下列说法:

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②设有一个回归方程 y=3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位; ③回归方程 y=bx+a 必过( x , y ); ④有一个 2×2 列联表中,由计算得 χ2=13.079,则有 99%的把握确认这两个变量间有 关系.其中错误的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

4.对两个变量 y 与 x 进行回归分析,分别选择不同的模型,它们的相关系数 r 如下, 其中拟合效果最好的模型是( )

A.模型Ⅰ的相关系数 r 为 0.98 B.模型Ⅱ的相关系数 r 为 0.80 C.模型Ⅲ的相关系数 r 为 0.50 D.模型Ⅳ的相关系数 r 为 0.25 5.(2012· 湖南高考)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关 关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为 y=0.85x

-85.71,则下列结论中不正确的是( . A.y 与 x 具有正的线性相关关系

)

B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 6.已知 x,y 之间的一组数据如下表: x y 2 3 3 4 4 6 5 8 6 9 )

对于表中数据则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是( A.y=x+1 8 2 C.y= x- 5 5 B.y=2x-1 3 D.y= x 2

7. (2011· 辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位: 万元)和年饮食支出 y(单位: 万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的 回归直线方程:y=0.254x+0.321.由回归方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出 平均增加______万元. 8.(2012· 嘉兴联考)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关,现随机抽取 50 名学生,得到如下 2×2 列联表: 理科 男 女 合计 13 7 20 文科 10 20 30 合计 23 27 50

50×?13×20-10×7?2 根据表中数据,得到 χ2= ≈4.844,则有________的把握认为选修 23×27×20×30 文科与性别有关. 9.(2012· 潍坊适应性训练)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学从理工类专业的 A 班和文史类专业的 B 班各抽取 20 名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联 表: 优秀 A班 B班 总计 14 7 21 非优秀 6 13 19 总计 20 20 40

则有________的把握认为环保知识测试成绩与专业有关.

10.(2012· 嘉兴模拟)某学生对其亲属 30 人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表 示 30 人的饮食指数.说明:图中饮食指数低于 70 的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于 70 的人,饮食以肉类为主.

(1)根据茎叶图,帮助这位学生说明其亲属 30 人的饮食习惯; (2)根据以上数据完成下列 2×2 的列联表: 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计 主食肉类 合计

(3)能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析.

11.(2012· 珠海模拟)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比,得到如下 表格:

人数 xi 件数 yi

10 4

15 7

20 12

25 15

30 20

35 23

40 27

其中 i=1,2,3,4,5,6,7. (1)以每天进店人数为横轴,每天商品销售件数为纵轴,画出散点图. (2)求线性回归方程.(结果保留到小数点后两位) (参考数据:?xiyi=3 245, x =25, y =15.43,?x2=5 075,7 x 2=4 375,7x y =2 700) i
i=1 i=1 7 7
--

(3)预测进店人数为 80 人时,商品销售的件数.(结果保留整数)

1.(2012· 东北三校联考)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持 两种态度)的关系,运用 2×2 列联表进行独立性检验,经计算 χ2=7.069,则所得到的统计 学结论是:有________的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”. 2.某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm、170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ________cm. 3.2011 年 3 月,日本发生了 9.0 级地震,地震引发了海啸及核泄漏.某国际组织用分 层抽样的方法从心理专家、 核专家、 地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工 作,有关数据见表 1(单位:人).核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响, 随机选取了 110 只羊进行了检测,并将有关数据整理为不完整的 2×2 列联表(表 2). 表1 相关人员数 心理专家 核专家 地质专家 24 48 72 表2 抽取人数 x y 6

高度辐射 身体健康 身体不健康 合计 30 B C

轻微辐射 A 10 D

合计 50 60 E

(1)求研究小组的总人数; (2)写出表 2 中 A、B、C、D、E 的值,并判断有多大的把握认为羊受到高度辐射与身体 不健康有关.





课时跟踪检测(六十九) A级 1.选 D 回归直线过样本中心( x , y ). 2.选 B 样本中心点是(3.5,42), 则 a= y -b x =42-9.4×3.5=9.1, 所以回归直线方程是 y=9.4x+9.1, 把 x=6 代入得 y=65.5. 3.选 B 一组数据都加上或减去同一个常数,数据的平均数有变化,方差不变(方差是 反映数据的波动程度的量),①正确;线性回归方程中 x 的系数具备直线斜率的功能,对于

回归方程 y=3-5x,当 x 增加一个单位时,y 平均减少 5 个单位,②错误;由线性回归方程 的定义知,线性回归方程 y=bx+a 必过点( x , y ),③正确;因为 χ2=13.079>6.635,故 有 99%的把握确认这两个变量有关系,④正确. 4.选 A 根据相关系数的定义和计算公式可知,|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越 大,拟合效果越好;|r|越接近于 0,相关程度越小,拟合效果越弱. 5.选 D 由于回归直线的斜率为正值,故 y 与 x 具有正的线性相关关系,选项 A 中的 结论正确;回归直线过样本点的中心,选项 B 中的结论正确;根据回归直线斜率的意义易 知选项 C 中的结论正确;由于回归分析得出的是估计值,故选项 D 中的结论不正确. - - 6.选 C 由题意知 x =4, y =6, - - ? ?xi- x ??yi- y ?
n i=1

∴b= - ? ?xi- x ?2
n i=1

8 = . 5

2 8 2 - - ∴a= y -b x =- ,∴y= x- . 5 5 5 7.解析:以 x+1 代 x,得 y=0.254(x+1)+0.321,与 y=0.254x+0.321 相减可得,年 饮食支出平均增加 0.254 万元. 答案:0.254 8.解析:由 χ2=4.844>3.841. 故有 95%的把握认为选修文科与性别有关. 答案:95% 40?14×13-6×7?2 9.解析:χ2= ≈4.912 3>3.841,可知有 95%的把握认为环保知识测 20×20×21×19 试成绩与专业有关. 答案:95% 10.解:(1)30 位亲属中 50 岁以上的人多以食蔬菜为主,50 岁以下的人多以食肉为主. (2) 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计 4 16 20 主食肉类 8 2 10 合计 12 18 30

30×?8-128?2 30×120×120 (3)χ2= = =10>6.635, 12×18×20×10 12×18×20×10

所以有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 11.解:(1)散点图如图.

(2)∵ ?xiyi=3 245, x =25, y =15.43,
i=1

7

?x2=5 075, i
i=1
--

7

7 x 2=4 375,7x y =2 700,

?xiyi-7x y
i=1

7

--

∴b=

≈0.78,a= y -b x =-4.07,

?x2-7 x i
i=1

7

2

∴线性回归方程是 y=0.78x-4.07. (3)进店人数 80 人时,商品销售的件数 y=0.78×80-4.07≈58 件. B级 1.解析:因为 7.069 大于 6.635,所以得到的统计学结论是:有 99%的把握认为“学生 性别与是否支持该活动有关系”. 答案:99% 2.解析:设父亲身高为 x cm,儿子身高为 y cm,则 x y 173 170 170 176 176 182

- - x =173, y =176, 0×?-6?+?-3?×0+3×6 b= =1, 02+9+9 - - a= y -b x =176-1×173=3, ∴y=x+3,当 x=182 时,y=185. 答案:185

72 48 24 3.解:(1)依题意知 = = , 6 y x 解得 y=4,x=2. 所以研究小组的总人数为 2+4+6=12. (2)根据列联表特点得 A=20,B=50, C=80,D=30,E=110. 110×?30×10-50×20?2 可求得 χ2= ≈7.486>6.635. 50×60×80×30 所以有 99%的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康有关.



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