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实验作业7 微 分 方 程初稿



实验作业 7

微 分 方 程

1. 一个小孩借助长度为 a 的硬棒,拉或推某玩具.此小孩沿 某曲线行走,计算并画出玩具的轨迹. 解:
假设小孩拉的玩具如图 1 所示,由于整个推拉过程中(图 2) ,玩具走的轨迹, 只与 C 在地面上的投影点 B 的轨迹有关。所以我们把模型简化为图 3。
C

A 图 1 图 2

B

假设 1:小孩 B 点所走曲线为沿着小 棒 a 的方向(直线 AB) ,则玩具 A 走的轨 迹为直线(沿 AB 方向的) 。此时,小孩行 走的速度与玩具的速度相同。 a 假设 2:小孩 B 点所走曲线为一个 A 点 A 为心的圆,则玩具不动。此时,如果小孩 B 图 3 行走的速度为 v,而玩具 A 的速度却为零, 这说明,在推玩具的过程中,小孩 B 的速度 与玩具 A 的速度不同。 由此特殊情况,我们可以看到,当小孩 B 行走的路线是曲线时,小孩 B 的速 度 v B 与玩具 A 的速度 v A 是不同的。 假设 3:如果小孩 B 点走的轨迹是一条曲线 c(图 4 ) ,不妨设曲线的轨迹 方程是一个与时间 t 有关的参数方程。而玩具 A 走的轨迹为曲线 c?。

? X ? X (t ), c:? ?Y ? Y (t ),

? x ? x(t ), c? : ? ? y ? y(t ).

A
( x(t ), y(t ))

a
A'

B B'

图4

则 t 时刻小孩 B ? 的坐标为 B?( X (t ),Y (t )) , 玩具 A? 的坐标为 A?( x(t ), y(t )) 。

( X ( t ),Y ( t ))

(1) t 时刻,由于 A?B ? 的距离为 a,由于小孩拉的是硬棒,在小孩拉玩具的过 程中,假设棒与地面的角度不变,因此有:

( X (t ) ? x(t ))2 ? (Y (t ) ? y(t ))2 ? a 2 ,
即 ( X ? x) 2 ? (Y ? y) 2 ? a 2 (1)

(2) 设玩具在 A?点的速度 v A? ,则 v A? 的方向应为玩具所走曲线 c?的切线方向, 而玩具始终是沿着小棒 A?B?的方向,所以:

A?B? ?? v A'
而 A?B? ? ( X ? x, Y ? y), vA? ? ( x?, y?) 所以:

X ?x Y ?y ? ?? ?0 x? y?

X ? x ? ?x?, Y ? y ? ?y? (2)



vB? ? ( X ?, Y ?) ,由向量知识有 A?B? ? vB? ?| A?B? | ? Pr j A?B? vB?
A?B? ? v B? | A?B? |

简化得: | v A ' |?
?

故有 v A? ? ( x?) 2 ? ( y ?) 2 ?
?

( X ? x, Y ? y) ? ( X ?, Y ?) ( X ? x) 2 ? (Y ? y) 2



化简得 v A? ? ( x?) 2 ? ( y ?) 2 ?

( X ? x) ? X ? ? (Y ? y) ? Y ? ( X ? x) ? (Y ? y)
2 2



小孩所走曲线为一个以原点为圆心半径为 R 的圆时,小孩所走路径的曲线方 程为:

? X ? a ? cost , ? ?Y ? a ? sin t
函数文件:
建立函数文件fun1.m function dy=fun1(t,y) dy=[(-5*sin(t)*(5*cos(t)-y(1))+5*cos(t)*(5*sin(t)-y(2)))*(5*cos(t)-y(1))./((5*cos( t)-y(1))^2+(5*sin(t)-y(2))^2), (-5*sin(t)*(5*cos(t)-y(1))+5*cos(t)*(5*sin(t)-y(2)))*(5*sin(t)-y(2))./((5*cos(t)-y (1))^2+(5*sin(t)-y(2))^2)]

主程序:zuoye1.m clear,clc close all [t,y]=ode45('fun1',[0,100],[10,0]); X=5*cos(t); Y=5*sin(t);

figure(1) plot(X,Y,'r.') hold on plot(y(:,1),y(:,2),'*') untitled1.fig

%玩具的初始位置为(12,0)zuoye2.m t0=0;tf=100; [t,y]=ode45('fun1',[t0,tf],[12,0]); X=5*cos(t); Y=5*sin(t); figure(2) plot(X,Y,'r.') hold on plot(y(:,1),y(:,2),'*') untitled2.fig

%玩具的初始位置为(8,0)zuoye3.m t0=0;tf=100; [t,y]=ode45('fun1',[t0,tf],[8,0]); X=5*cos(t); Y=5*sin(t); figure(3) plot(X,Y,'r*') hold on plot(y(:,1),y(:,2),'.')

untitled3.fig

2. 讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系. (1)若国民平均收入 x 与按人口平均资金积累 y 成正比, 说明仅当总资金积累的相对增长率 k 大于人口的相对增长率 r 时,国民平均收入才是增长的. (2)作出 k(x)和 r(x)的示意图,分析人口激增会引起什么 后果. 解: (1 )
根据题意,我们可以设第 t 年的总人口为 Z(t).则有第(t+1)年的 总人口为 Z(t+1)=(1+r)*Z(t). 设第 t 年的资金总积累为 P(t),第(t+1)年的资金总积累为 P(t+1)=(1+k)*P(t). 第(t+1)年的人口平均积累 y(t+1)=P(t+1)/Z(t+1).

因为国民平均收入 x(t)=m*y(t),x(t+1)=m*y(t+1)(m 为常数).由 y(t+1)=[(1+k)*P(t)]/[(1+r)Z(t)] 可知(因为 P Z 为常)要使

y(t+1)大于 y(t),则必须(1+k)/(1+r)要大于 1,即总资金的相对 增长率 k 要大于人口的相对增长率 r.

(2 )
网上获得数据,自 2007 年起的国民平均收入,人口数,总资金累积 量的图表。 总资金积累与时间的图象

人口数与时间的图象

国民收入与时间的关系

若资金积累增长率 k 和人口增长率 r 由国民平均收入 x 确定, 一般情况下 k(x),r(x)都是升函数[2]。 二曲线交点 M 的横坐标 X0 是平衡点。因为 X=X0 时, K=0,dx=0。该平衡点的稳定性取决于平衡点附近 k(x)和 r(x)的 增长速度。若 k’(x)>r’(x),则平衡点不稳定,即国民平均收入 将不断增长,反之,则 X0 稳定,即国民平均收入将停滞。 在不稳定平衡点 X0 的情况下,国民平均收入不断增长。假定 人口增长率突然增加,造成 r(x)函数上提,此时平衡点将左移, 此时 r‘(x)将增大,k’(x)趋于 0。此时 r‘(x)>k’(x).表现出国民平 均收入的停滞。 由此可见:人口激增会导致国民平均收入降低,对生存空间将更 具压力,坚持计划生育,调控人口,是我国健康发展的必需途径。

模型假设

1 国民平均收入与人口平均资金积累成正比,所以设 a

为总资金积累量占总国民收入的比例,且在所取时间段内 a 为定值, 增长率 k 和 r;2 增长率 k 和 r 以及总资金积累量、总国民收入和总 人口数量之间的关系不受其他因素干扰; 3 结合实际情况, 我们只选

取最近的具有代表性的某一个时间段内的数据进行分析, 并把它作为 最终的结果;

符号说明
x1(t) —总资金积累量 x2(t) —总人口数量 x3(t) —总国民收入 t—所选取的时间 a—总资金积累量占总国民收入的比例 x—国民平均收入 y—??人口平均积累 k—总资金积累的相对增长率 r—人口的相对增长率

建立模型
不考虑其他外界因素
dx1(t ) ? k * x1(t ) d (t ) dx2(t ) ? r * x 2(t ) d (t ) dx3(t ) ? a * (k ? r ) * x3(t ) d (t )

针对一组具体的数据用 MATLB 软件进行计算, 首先根据以上微分 方程组建立以下 M 文件 renkou.m 如下 function dx=renkou(t,x) dx=zeros(3,1); dx(1)=k*x1; dx(2)=r*x2; dx(3)=a*(k-r)*x3
其次建立主程序如下

[t,x]=ode23('renkou',[0,15],[0,0]);

plot(t,x(:,1),'b*',t,x(:,2),'r+',t,x(:,3),'gs') figure(3); plot(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) 模型求解 求解结果: 数值解如下图:x1(t) 为 “*”线 ,x2(t)为“+”线 ,x3(tt) 为“。 ”线。

资金积累与时间关系图

人口与时间关系图

国民收入与时间关系图
由图可知,当 r>k 时,国民平均收入是增长的,结论显然成立。



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