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三角函数及平面向量测试题



姓名________

成绩________

三角函数和平面向量综合测试题
160 分
公式: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
令 ? ? ? 得 sin 2? ?

2 sin ? cos ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1.设 a ? (1, ?2), b ? (?3, 4), c ? (3, 2) ,则 (a ? 2b ) ? c =________. 2.已知两点 M (?2,0), N (2,0) ,点 P 为坐标平面内的动点, 满足 MN ? MP ? MN ? NP ? 0 ,则动点 P( x, y) 的轨迹方程为_____. 3.已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量, a ? i ? 2 j , b ? i ? ? j ,且 a 与 b 的夹角为锐角, 则实数 ? 的取值范围是________.

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???? ???? ?

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1 1 ? = . a b ? ? ? ? 5.设向量 a ? (1,0), b ? (cos? ,sin ? ), 其中 0 ? ? ? ? ,则 a ? b 的最大值是
4.若三点 A(2, 2), B(a,0), C (0, b)(ab ? 0) 共线,则 6.设 i , j 是平面直角坐标系内 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量, 且 AB ? 4i ? 2 j , AC ? 3i ? 4 j ,则 ?ABC 面积的值等于 7.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b =
0



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8.向量 a ? (cos , sin? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是 ? _______. ? ? ? ? 9.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________. ? ? ? ? 10.向量 a ? (cos? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是 . 11.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP ? ?cos? , sin? ?, 1
OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P P2 长度的最大值是________. 1

? ? ? ? ? ? 12、定义 a * b 是向量 a 和 b 的“向量积”,它的长度 | a * b |?| a | ? | b | ? sin ? , 其中? 为向量 a 和 b ? ? ? ? ? ? 的夹角,若 u ? (2,0), u ? v ? (1, ? 3), 则 | u *(u ? v) | = .
2 13 在 ?ABC 中,若 AB ? BC ? AB ? 0, 则?A ? ______ .

14.在三角形 ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线交直线 AB,AC 于不同两点 M,N, 若有 AB ? m AM, AC ? n AN, 则 m+n=______ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤.

15. (本小题满分 14 分) ? ? ? ? ? ? ? ? (1) 已知向量 a与b 的夹角为 60? , b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。 |
(2)求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.

?

?

?

16. (本小题满分 14 分) 用向量的方法证明:对于任意的 a, b, c, d ? R ,恒有不等式

(ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 )

17. (本小题满分 14 分) ? 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,

? ? ? ? (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

? ? (2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

18. (本小题满分 16 分) 已知 O 为坐标原点, A(0,2), B(4,6), OM ? t1 OA ? t2 AB ⑴ 求点 M 在第一象限或第三象限的充要条件; ⑵ 求证:当 t1 ? 1时,不论 t 2 为何实数, A, B, M 三点都共线.

??? ?

??? ?

19.(本小题满分 16 分) 在三角形 ABC 中,角 BAC=120? ,AB=2,AC=1,D 是边 BC 上一点(包括端点) , 求 AD? BC 的取值范围。

20. (本小题满分 16 分) 设 A, B 为圆 x ? y ? 1 上两点, O 为坐标原点( A, O, B 不共线)
2 2

⑴ 求证: OA ? OB 与 OA ? OB 垂直. ⑵ ?xOA ? 当

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

?

? ? ? ? ? ? ??? ??? 3 , ?xOB ? ? ,? ? ? ? , ? 且 OA ? OB ? 时,求 sin ? 的值. 5 4 ? 4 4?

参考答案:

1. -3 9. ?

2. y ? ?8x

3. ?? ? ?

? ?

1? ? 2?

4.

1 2

5. 2

6. 5 7. 7

8. 4,0

4 5

10. 4 11. 3 2

12. 2 3

13. 90?

14. 2

15,16.17 略 18.⑴ M 在第一象限的充要条件为 ? 点

?t1 ? 3t2 ? 0 ; ? t2 ? 0

点 M 在第三象限的充要条件为 ? ⑵ A ? M ?A t A 2 ∵ M O O ? B ∴ 不论 t 2 为何实数, AM ? AB

?t1 ? 3t2 ? 0 ? t2 ? 0

?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ?

?? ? ?

???? ??? ? ?

∴ 不论 t 2 为何实数, A, B, M 三点都共线 19. ?? 5,2? 20. ⑴ 证明:设 A(cos ? ,sin ? ), B(cos ? ,sin ? ) 则 OA ? OB ? (cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ),

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? OA ? OB ? (cos? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ) ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ∴(OA ? OB) ? (OA ? OB) ? cos2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 0 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ∴OA ? OB 与 OA ? OB 垂直.
⑵ 解:∵?xOA ?

?

? ? ?? , ?xOB ? ? ,? ? ? ? , ? 4 ? 4 4?

,sin ), B(cos ? ,sin ? ) 4 4 ??? ??? ? ? ? ? ? 3 ∴OA ? OB ? cos cos ? ? sin sin ? ? sin( ? ? ) ? 4 4 4 5
∴ A(cos ∵? ? ? ?

?

?

? ? ?? , ? ? 4 4?

∴? ?

?

? ?? ? ? 0, ? 4 ? 2?

∴cos(? ?

?
4

)?

4 5



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