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2017.1西城区高一第一学期数学期末试题及答案



子川教育——致力于西城区名校教师课外辅导

北京市西城区 2016 — 2017 学年度第一学期期末试卷

高一数学
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 本卷满分:100 分 三 题号 分数 一 二 17 18 19

2017.1

A 卷 [必修 模块 4]

/>本卷总分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1. 如果 ? 是第三象限的角,那么( (A) sin ? ? 0 (B) cos ? ? 0 ) (C) tan ? ? 0 (D)以上都不对

2. 若向量 a ? (1, ?2) , b ? ( x, 4) 满足 a ? b ,则实数 x 等于( ( A) 8 (B) ?8 ( C) 2

) (D) ?2

3. 若角 ? 的终边经过点 (?4,3) ,则 tan ? ? ( ( A)

) ( C)

4 3
π 2

(B) ?

4 3

3 4

(D) ?

3 4

4. 函数 f ( x) ? sin( ? x) 是(



π 2 π (C)偶函数,且在区间 (0, ) 上单调递增 2

(A)奇函数,且在区间 (0, ) 上单调递增

π 2 π (D)偶函数,且在区间 (0, ) 上单调递减 2
(B)奇函数,且在区间 (0, ) 上单调递减

5. 函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的图象(



π 对称 4 π (C)关于直线 x ? 对称 2
(A)关于直线 x ?
高一数学第一学期期末试卷

π 对称 4 π (D)关于直线 x ? ? 对称 2
(B)关于直线 x ? ?
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在 △ ABC 中, 点 D 在线段 BC 上, 且 BD=2DC, 若 AD ? ? AB ? ? AC , 则 6. 如图, ( A)

????

??? ?

????

? ? ( ?



1 2

(C)2

1 3 2 ( D) 3
( B) ) (C) y ?| sin x |

A

B

D

C

7. 定义在 R 上,且最小正周期为 π 的函数是 ( (A) y ? sin | x | (B) y ? cos | x |

(D) y ?| cos 2 x |

8. 设向量 a, b 的模分别为 2 和 3,且夹角为 60? ,则 | a + b | 等于 ( (A) 13 (B) 13 (C) 19

) (D) 19

9. 函数 y ? 2 2 sin(? x ? ? ) (其中 ? ? 0, 0 ? ? ? π ) 的图象的一部分如图所示, 则 (



π , 8 π (B) ? ? , 8 π (C) ? ? , 4 π ( D) ? ? , 4
( A) ? ?

3π 4 π ?? 4 π ?? 2 3π ?? 4

??

y
2 2

O
?2 2

2

6

x

10. 如图,半径为 1 的 ? M 切直线 AB 于 O 点,射线 OC 从 OA 出发, 绕着点 O, 顺时针方向旋转到 OB, 在旋转的过程中, OC 交 ? M 于点 P,记 ? PMO ? x ,弓形 PNO (阴影部 分)的面积 S ? f ( x ) ,那么 f ( x ) 的图象是( y y y ) A y C P N O B M

π 2
O

π

π
( A)

2π x

π 2
O

π

π

π

π
( B)

2π x O

π
(C)

2π x

O

π
(D)

2π x

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上.
高一数学第一学期期末试卷 第 2 页 共 10 页

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11. 若向量 a ? ( ?1, 2) 与向量 b = ( x , 4) 平行,则实数 x =______. 12. 若 ? 为第四象限的角,且 sin ? ? ? ,则 cos ? ? ______; sin 2? ? ______. 13. 将函数 y ? cos 2 x 的图象向左平移

1 3

π 个单位,所得图象对应的函数表达式为______. 4

14. 若 a , b 均为单位向量,且 a 与 b 的夹角为 120 ? ,则 a ? b 与 b 的夹角等于______. 15. 已知 sin x ? sin y ?

1 1 , cos x ? cos y ? ,则 cos( x ? y ) ? _____. 3 5 π 5π 16. 已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0, ? ? (0, π)) 满足 f ( ) ? f ( ) ? 0 ,给出以下四 6 6
个结论: 1 ○ 3 ○

? ? 3; ? 可能等于 3 π ; 4

2 ? ? 6k , k ? N ? ; ○ 4 符合条件的 ? 有无数个,且均为整数. ○

其中所有正确的结论序号是______.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 ? ? (0, π) ,且 tan(? ? (Ⅰ)求 tan 2? 的值; (Ⅱ)求

π 1 )?? . 4 3

sin ? ? cos ? 的值. 2 cos ? ? sin ?

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? cos x ? cos( x ?

π ). 3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调增区间; (Ⅱ)若直线 y ? a 与函数 f ( x ) 的图象无公共点,求实数 a 的取值范围.

高一数学第一学期期末试卷

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19.(本小题满分 12 分)

??? ? ???? ??? ? ??? ? BC ? a ( a ? 0) ,P 为线段 AD (含端点)上一个动点,设 AP ? x AD , PB ? PC ? y ,则
得到函数 y ? f ( x ) . (Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)对于任意 a ? (0, ??) ,求函数 f ( x ) 的最大值. P A B D C

如图,在直角梯形 ABCD 中, AB //CD , AB ? BC , AB ? 2 , CD ? 1 ,

B卷

[学期综合]


本卷满分:50 分

题号 分数



6

7

8

本卷总分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x || x |? 1} ,则 A ? (? U B ) ? _____.

? x ?2 , x ? 0, 2.已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( a ) ? 2 ,则实数 a ? ?ln x, x ? 0,

.

3 .定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数,且 f ( x) 在 (0, ??) 是增函数, f (3) ? 0 ,则不等式

f ( x) ? 0 的解集为_____.
? x ? 1? ? x ? 4.函数 f ( x) ? ? ? ? ? ? ( x ? N ) 的值域为_____.(其中[x]表示不大于 x 的最大整数,例 ? 2 ? ?2?

如[3.15]=3,[0.7]=0.) 5. 在如图所示的三角形空地中,欲建一个面积不小于 200 m2 的 内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x(单位:m)的取 值范围是______. x
30 m 30 m

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二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 6.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log 4 (Ⅰ)若 f ( a ) ?

1 ,求 a 的值; 2

x ?1 . x ?1

(Ⅱ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明你的结论.

7.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? 3 , g ( x ) ?| x ? a | ?3 ,其中 a ? R . (Ⅰ)若函数 h ( x ) ? f [ g ( x )] 的图象关于直线 x ? 2 对称,求 a 的值; (Ⅱ)给出函数 y ? g [ f ( x )] 的零点个数,并说明理由.
x

8.(本小题满分 10 分) 设函数 f ( x ) 的定义域为 R,如果存在函数 g ( x ) ,使得 f ( x )≥g ( x ) 对于一切实数 x 都 成立,那么称 g ( x ) 为函数 f ( x ) 的一个承托函数. 已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (?1, 0) . (Ⅰ)若 a ? 1 , b ? 2 .写出函数 f ( x ) 的一个承托函数(结论不要求注明); (Ⅱ)判断是否存在常数 a , b , c ,使得 y ? x 为函数 f ( x ) 的一个承托函数,且 f ( x ) 为 函数 y ?
2

1 2 1 x ? 的一个承托函数?若存在,求出 a , b, c 的值;若不存在,说明理由. 2 2

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北京市西城区 2016 — 2017 学年度第一学期期末试卷

高一数学参考答案及评分标准
A 卷 [必修 模块 4] 满分 100 分
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.C 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 9.B

2017.1

10.A.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. ?2 14. 150? 12.

2 2 4 2 , ? 3 9 208 225

13. y ? cos(2 x ? 16. ○ 2 ○ 3

π ) ( 或 y ? ? sin 2 x ) 2

15. ?

注:第 16 题少选得 2 分,多选、错选不得分. 三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 17.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由 tan(? ?

tan ? ? 1 1 π 1 ?? , ) ? ? ,得 4 3 1 ? tan ? 3

………………3 分 ………………5 分 ………………8 分

解得 tan ? ? ?2 . 所以 tan 2? ?

2 tan ? 4 ? . 2 1 ? tan ? 3

(Ⅱ)由 tan ? ? ?2 ,得 cos ? ? 0 . 将分式

sin ? ? cos ? 的分子分母同时除以 cos ? , 2 cos ? ? sin ?
………………12 分



sin ? ? cos ? tan ? ? 1 1 ? ?? . 2 cos ? ? sin ? 2 ? tan ? 4

18.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x ) ? cos x ? cos( x ?

π ) 3 π π ? cos x ? (cos x cos ? sin x sin ) 3 3 1 3 cos 2 x ? sin 2 x 2 4 3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 4 4 4 1 π 1 sin(2 x ? ) ? , 2 6 4
第 6 页 共 10 页

………………2 分

?

………………3 分

? ?

………………4 分 ………………6 分

高一数学第一学期期末试卷

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π π π π π ≤2 x ? ≤2 kπ+ ,得 kπ ? ≤ x≤ kπ+ , 2 6 2 3 6 π π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [ kπ ? ,kπ+ ], ( k ? Z ) . 3 6 π (Ⅱ)因为 sin(2 x ? ) ? [ ?1,1] , 6 1 π 1 1 3 所以函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ) ? 的值域为 [ ? , ] . 2 6 4 4 4
由 2 kπ ? 因为直线 y ? a 与函数 f ( x ) 的图象无公共点, 所以 a ? ( ?? , ? ) ? ( , ?? ) . 19.(本小题满分 12 分)

………………8 分

………………10 分

1 4

3 4

………………12 分

解:(Ⅰ)如图,以点 B 为原点,以 AB,BC 所在的直线分别为 x,y 轴建立直角坐标系, 则 B (0, 0) ,A( ?2, 0) , C (0, a ) ,D ( ?1, a ) ,AD ? (1, a) ,AB ? (2,0) ,BC ? (0, a) .

????

??? ?

??? ?

由 AP ? x AD , 得 AP ? ( x, ax) . 所以 PB ? PA ? AB ? (2 ? x, ?ax) ,

??? ?

????

??? ?

………………2 分 y D P A B x C

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? PC ? PB ? BC ? (2 ? x, a ? ax) . ………4 分
所以 y ? PB ? PC ? (2 ? x ) 2 ? a 2 x ? a 2 x 2 , 即 f ( x ) ? ( a ? 1) x ? ( a ? 4) x ? 4 . 所以 f (1) ? 1 . (注:若根据数量积定义,直接得到 f (1) ? 1 ,则得 3 分)
2 2 2

??? ? ??? ?

………………6 分 ………………7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ),知函数 f ( x ) ? ( a ? 1) x ? ( a ? 4) x ? 4 为二次函数,其图象开口向上,

2

2

2

a2 ? 4 且对称轴为 x ? , 2(a 2 ? 1)
因为对称轴 x ?

………………8 分

a2 ? 4 (a 2 ? 1) ? 3 1 3 1 ? ? ? ? , x ? [0,1] , ……10 分 2 2 2 2(a ? 1) 2(a ? 1) 2 2(a ? 1) 2
………………12 分

所以当 x ? 0 时, f ( x ) 取得最大值 f (0) ? 4 .

B卷

[学期综合] 满分 50 分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.
高一数学第一学期期末试卷 第 7 页 共 10 页

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1. [ ?1, 0)

2. ?

2 或 e2 2

3. ( ?3, 0) ? (3, ?? )

4. {0,1}

5. [10, 20]

注:第 2 题少解不得分. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 6.(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)由 f ( a ) ? log 4 解得 a ? ?3 . (Ⅱ)由函数 f ( x) ? log 4

a ?1 1 a ?1 ? ,得 ? 2, a ?1 2 a ?1 x ?1 x ?1 有意义,得 ? 0. x ?1 x ?1

………………2 分 ………………4 分 ………………5 分 ………………6 分

所以函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? 1 ,或 x ? ?1} . 因为 f (? x) ? log 4

?x ?1 x ? 1 ?1 x ?1 ? log 4 ( ) ? ? log 4 ? ? f ( x) , ?x ?1 x ?1 x ?1

所以 f (? x) ? ? f ( x) , 即函数 f ( x ) 为奇函数. 7.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由函数 f ( x ) ? 3 , g ( x) ?| x ? a | ?3 ,
x

………………10 分

得函数 h ( x ) ? f [ g ( x )] ? 3| x ? a | ? 3 . 因为函数 h( x ) 的图象关于直线 x ? 2 对称, 所以 h(0) ? h(4) ,即 3|a|?3 ? 3|a ? 4|?3 , 解得 a ? ?2 . (Ⅱ)方法一:由题意,得 g[ f ( x )] ?| 3 ? a | ?3 . 由 g[ f ( x )] ?| 3 x ? a | ?3 ? 0 ,得 | 3x ? a |? 3 , 当 a≥3 时, 由 3x ? 0 ,得 3x ? a ? 3 , 所以方程 | 3x ? a |? 3 无解, 即函数 y ? g[ f ( x )] 没有零点; 当 ?3≤a ? 3 时,
x

………………1 分

………………3 分

………………5 分

………………6 分

高一数学第一学期期末试卷

第 8 页 共 10 页

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因为 y ? 3 x ? a 在 R 上为增函数,值域为 ( a, ?? ) ,且 ?3≤a ? 3 , 所以有且仅有一个 x0 使得 3x0 ? a ? 3 ,且对于任意的 x ,都有 3x ? a ? ?3 , 所以函数 y ? g[ f ( x )] 有且仅有一个零点; 当 a ? ?3 时, 因为 y ? 3 x ? a 在 R 上为增函数,值域为 ( a, ?? ) ,且 a ? ?3 , 所以有且仅有一个 x0 使得 3x0 ? a ? 3 ,有且仅有一个 x1 使得 3x1 ? a ? ?3 , 所以函数 y ? g[ f ( x )] 有两个零点. 综上,当 a≥3 时,函数 y ? g[ f ( x )] 没有零点; 当 ?3≤a ? 3 时,函数 y ? g[ f ( x )] 有且仅有一个零点;当 a ? ?3 时,函数 y ? g[ f ( x )] 有两个零点. 方法二:由题意,得 g[ f ( x )] ?| 3 ? a | ?3 . 由 g[ f ( x )] ?| 3 x ? a | ?3 ? 0 ,得 | 3x ? a |? 3 , 即 3x ? a ? 3 ,或 3x ? a ? ?3 , 整理,得 3x ? 3 ? a ,或 3x ? ?3 ? a . 1 考察方程 3x ? 3 ? a 的解, ○ 由函数 y ? 3 x 在 R 上为增函数,且值域为 (0, ?? ) , 得当 3 ? a ? 0 , 即 a ? 3 时, 方程 3x ? 3 ? a 有且仅有一解; 当 3 ? a≤0 , 即 a≥3 时,方程 3x ? 3 ? a 有无解; 2 考察方程 3x ? ?3 ? a 的解, ○ 由函数 y ? 3 x 在 R 上为增函数,且值域为 (0, ?? ) , 得当 ?3 ? a ? 0 ,即 a ? ?3 时,方程 3x ? ?3 ? a 有且仅有一解;当 ?3 ? a≤0 , 即 a≥-3 时,方程 3x ? ?3 ? a 有无解. ………………9 分 ………………7 分 ………………5 分
x

………………8 分

………………10 分

综上,当 a≥3 时,函数 y ? g[ f ( x )] 没有零点; 当 ?3≤a ? 3 时,函数 y ? g[ f ( x )] 有且仅有一个零点;当 a ? ?3 时,函数 y ? g[ f ( x )] 有两个零点.
高一数学第一学期期末试卷 第 9 页 共 10 页

………………10 分

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注:若根据函数图象便得出答案,请酌情给分,没有必要的文字说明减 2 分. 8.(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)答案不唯一,如函数 y ? 0 , y ? x 等. (Ⅱ)因为函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 ( ?1, 0) , 所以 a ? b ? c ? 0 . 1 ○
2

………………3 分

因为 y ? x 为函数 f ( x ) 一个承托函数,且 f ( x ) 为函数 y ? 数, 所以 x≤f ( x)≤ x ?

1 2 1 x ? 的一个承托函 2 2

1 2

2

1 对 x ? R 恒成立. 2
2 ○ ………………5 分

所以 1≤f (1)≤1 ,即 f (1) ? a ? b ? c ? 1 . 由○ 1 ○ 2 ,得 b ?

1 1 ,a ? c ? . 2 2
1 1 x? ?a. 2 2
2

………………6 分

所以 f ( x) ? ax ?

2

由 f ( x)≥x 对 x ? R 恒成立,得 ax ?

1 1 x ? ? a≥0 对 x ? R 恒成立. 2 2
………………7 分

当 a ? 0 时,得 ?

1 1 x ? ≥0 对 x ? R 恒成立,显然不正确; 2 2

?a ? 0, ? 2 当 a ? 0 时,由题意,得 ? 即 (4a ? 1) ≤0 , 1 1 ? ? ? 4a( ? a)≤0, ? ? 4 2
所以 a ?

1 . 4 1 2
2

………………9 分

代入 f ( x)≤ x ?
2

1 1 1 1 ,得 x 2 ? x ? ≥0 , 2 4 2 4

化简,得 ( x ? 1) ≥0 对 x ? R 恒成立,符合题意. 所以 a ?

1 1 1 ,b ? ,c ? . 4 2 4

………………10 分

高一数学第一学期期末试卷

第 10 页 共 10 页



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