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《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 》



2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角

学习目标
1.掌握平面向量数量积的坐 标表示,会进行平面向量数量积 的坐标运算. 2.掌握向量垂直的坐标表示、 夹角的坐标表示、模的坐标表示 及平面两点间的距离公式.

一、复习引入

1、数量积的定义: a ? b ?| a || b | cos ?

r />
| b | cos ? 叫做 b在a方向上的投影 2、投影:
3、数量积的几何意义
O B

b
θ B1

a

A

| b | cos ?

3.数量积的性质

(1)a ? b ? a ? b ? _______ . 0

证明向量 垂直的依据

| a || b | ; (2)若 a 与 b 同向,a ? b ? _______
| a | . | a |? a ? a ? _____
(4) cos? ? _________
a b a ?b
2

若 a 与 b 反向,a ? b ? _______ ? | a || b | ;

a?a

≤ | a || b | .( 填 ? 或 ?) (3) | a ? b | ____

我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表示 a ? b呢?

二、探究解疑
1、平面向量数量积的坐标表示
i 是x轴上的单位向量, 问题1、如图, 是y轴上的单位向量, j
1 i ?i ? . j ? j ? . 1

y

A(x1,y1)
a
i

B(x2,y2)
b
j

0 i ? j ? j ?i ? .

o

x

问题2 已知两非零向量 a? (x1,y1 ), b? (x2,y2)
设, i j分别为与x轴和y轴方向相同的单位向量,则

a ? x1 i ? j表示? b ? x2 i ? y2 j a、 b如何用与 i y1 j ?a ? b ? (x1 i ? y1 j ) ( ? x 2 i ? y2 j )

? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 j ? i ? y1 y2 j

2

2

? x1 x2 ? y1 y2

? a ? b ? x1 x 2 ? y1 y2

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

例1 设a = (5, ?7),b = (?6, ?4),
? ?

?

?

求a · b及|a|的值

?

a b=5 ? ? -6 ? + ? -7 ? ? ? -4 ? =-2
a = a a = ?5,-7? ?5,-7? =5 ? 5+ ? -7? ? ?-7? =74
2

a = 74

思考:在求 a 问题中,能否推广到一般情况?

2.向量的长度(模)
设a =(x,y),则 |a|2=

x ? y 或|a |= _______ x ?y
2 2
2 2
2 2

思考:知道向量的起点和终点坐标,如何表示 a

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|= ___________
平面内两点间的距离公式

3、向量平行和垂直的坐标表示式
设两个非零向量a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则

a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
a⊥ b

a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

a· b=0

x1x2+y1y2=0

4、两向量夹角余弦的坐标运算
两 非零 向量 a? (x1,y1 ), b? (x2,y2) ,夹 角为 ?

a?b cos ? ? | a || b |
? x1 x2 ? y1 y2 x ?y
2 1 2 1

x ?y
2 2

2 2

例题2、已知a = 1, 3 ,b=

?

? ?
?
2

3+1, 3-1 ,求a与b的夹角

?

设a与b的夹角为?,
cos ? = ab a b =

? 1 +? 3? ?
1?
2

3+1 + 3 ?

?
2

3-1

? ?
2

3+1 +

? ?

3-1

2 = 2

? =45

三、典例分析 例3已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), y 向量的数量积 C(-2,5) ?2 ?1,3 ? 2? ? ?1,1? 是否为零,是
判断相应的两 B(2,3) 条线段或直线 是否垂直的重 要方法之一 A(1,2)

试判断?ABC的形状,并给出证明.

证明: ? 方法 1 AB ?

? AB? AC ? 1? ?? 3? ?1? 3 ? 0
? AB ? AC
∴ △ABC是直角三角形

AC ? ? ?2 ? 1,5 ? 2? ? ? ?3,3?

0

x

方法2: AB = ?1,1?, AC = ? -3,3?, BC = ? -4,2 ? | AB |? 2,|AC |? 3 3,|BC |? 2 5 | AB | ?|AC | ?|BC | ,?ABC是直角三角形
2 2 2

例题4、已知a = ?1,-2 ? ,b= ? 2,0 ? ,求同时满足 a c =4,b c =0的向量c。

设c = ? x,y ?
? ?a c =4 ?x-2y = 4 由? 得? , ? x =0,y =-2 ? ?b c =0 ?2x=0

c = ? 0,-2 ?

四、反思提高
33 的余弦值为 65

? ? ? ? 1、若 a ? (?3,4),b ? (5,12),则a 与 b 夹角
.

5 2、已知a ? (?3,4), b ? (5,2),则 a ? ___

29 a ? b ? ______ ?7 . b ? ____,

四、反思提高 3、 1/2 4、
23 . 3

解:
2a ? b ? ( 2 ? n, 3 ) ? ( a ? 2b ) // ( 2a ? b )
? ( 1 ? 2n) ? 3 ? 4? ( 2 ? n) ?0 1 ?n ? 2

解: ( 1, 5 ) a ? mb ? (3 ? 2m, 4 ? m) a ? b ?
? ( a ? mb ) ? ( a?b ) ? ( a ? mb ) ( ? a?b ) ?0
即( 3 ? 2m) ?1 ? ( 4 ? m) ?5 ? 0
23 ?m ? 3

内容小结

a ?b
向 量 a ?b ? 形 式 a ? b ? cos ?

a

夹角?

a ? b a // b a ?b ? 0
b ? ?a ( a ? 0)

cos ? ?
a? a
2

a ?b | a |?|b |
cos? ? x1 x2 ? y1 y2

坐 标 a ?b ? 形 xx ?yy 1 2 式 1 2

a? x1 ? y1
2 2

x1 x2 ? y1 y2 x1 y2 ? x2 y1
2 2

x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2

?0

?0



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