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2014届高考一轮复习数学8.4空间中的平行关系



第 4 讲 空间中的平行关系

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考纲展示
1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识 和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理: ( 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 1) 则 该直线与此平面平行. ( 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 2) 则这两

个平面平行. 理解以下性质定理, 并能够证明. ( 一条直线与一个平面平行, 1) 则过该直线的任意一 个平面与此平面的交线和该直线平行. ( 两个平行平面同时和第三个平面相交, 2) 则它们的 交线相互平行. 2. 能运用公理、定理和已获得的结论,证明一些空 间图形的位置关系的简单命题.

考纲解读
1. 直线、平面平行的判定 和性质仍是考查的重点, 一般考查线线、线面、面 面平行的判定和性质.解 答题中多以几 何体为载 体, 在第一问中进行考查, 同时考查转化能力,难度 不大. 2.考查方式灵活多变,选 择、填空、解答题都可能 出现, 其中选择、 填空题多 考查概念.

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1.直线与平面的位置关系 直线 a 和平面 α 的位置关系有平行、相交、在平面内,其中平行与相交 统称为直线在平面外. 2.直线与平面平行的判定与性质
判定 图形 性质

条件

a 与 α 无交点

a?α b?α b∥a
b∥α

a∥α

a∥α, a? β, α∩β=b

结论

a∥α

a∩α=?

a∥b

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3.面面平行的判定与性质
判定 图形 a,b? β, a∩b=P, a∥α,b∥α 结论 α∥β α∥β a'∩b'=P',a∩ b=P,a∥a',b ∥b',a',b'? β, a,b? α α∥β a∥b a∥α α∥β,β∩γ=b, α∩γ=a α∥β,a? β 性质

条件

无公共点

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4.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α? a∥b; (2)a⊥α,a⊥β? α∥β. 5.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转换

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(1)直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、 直线与 平面相交、直线与平面平行,后面两种又统称为直线在平面外. (2)证明线面平行是高考中常见的问题,常用的方法就是证明这条直线 与平面内的某条直线平行,但一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平 面内. (3)在判定和证明直线与平面的位置关系时,除熟练运用判定定理和性 质定理外,切不可丢弃定义,因为定义既可作判定定理使用,亦可作性质定理 使用. (4)辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定 理及性质定理,往往需要作辅助线(面).

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1.下列条件中,能判断两个平面平行的是( A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面

)

B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 【答案】D 【解析】根据两个平面平行的判定定理可知 D 项正确.

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2.直线 a∥平面 α,则(

)

A.平面 α 内有且只有一条直线与直线 a 平行 B.平面 α 内有无数条直线与直线 a 平行 C.平面 α 内不存在与直线 a 垂直的直线 D.平面 α 内有且只有一条直线与直线 a 垂直 【答案】B 【解析】 如图,在正方体中,直线 BC∥平面 A'C',但是平面 A'C'内的直线 B'C' 和 A'D'均平行于直线 BC,所以 A 错;直线 A'B'⊥BC,直线 C'D'⊥BC,即平面 A'C'内有两条直线垂直于 BC,所以 C 和 D 错,应选 B.

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3.已知平面 α∥平面 β,直线 a? α,B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中( A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线 【答案】D 【解析】因为 a 与 B 可确定一个平面, 所以该平面与 β 的交线即为符合条件的直线.

)

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4.(2013 届·吉林长春月考)a,b,c 为三条不重合的直线,α,β,γ 为三个不重合 的平面,现给出四个命题: ∥ ∥ ① ? α∥β; ② ? α∥β; ∥ ∥ ∥ ③ ? a∥α; ∥ 其中正确的命题是( A.①②③ C.② 【答案】C 【解析】 命题②正确.命题①错在 α 与 β 可能相交.命题③④错在 a 可能在 α 内. ∥ ④ ? α∥a. ∥ ) B.①④ D.①③④

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5.如图,在四面体 ABCD 中,M,N 分别是平面△ACD,△BCD 的重心,则四面体 的四个面中与 MN 平行的是 .

【答案】平面 ABC,平面 ABD 【解析】 连接 AM 并延长,交 CD 于 E,连接 BN 并延长交 CD 于 F,图略.由重 心性质可知,E,F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,由 MN∥AB,因此,MN∥平面 ABC 且 MN∥平面 ABD.
1 2

=

= 得

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T 题型一线 面平行的判定及性质
例 1 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB,在
AE,BD 上各有一点 P,Q,且 AP=DQ,求证:PQ∥平面 BCE. 证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理, 也可以利用面面平行的性质.

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【证明】方法一:如图所示.

作 PM∥AB 交 BE 于点 M,作 QN∥AB 交 BC 于点 N,连接 MN. ∵ 正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB, ∴ AE=BD.又 AP=DQ,∴ PE=QB.又 PM∥AB∥QN, ∴


=



=

,

=

.于是

=

.

因此 PMQN,即四边形 PMNQ 为平行四边形. 故 PQ∥MN.又 MN? 平面 BCE,PQ? 平面 BCE,∴ PQ∥平面 BCE.

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方法二:如图,连接 AQ,并延长交 BC 延长线于点 K,连接 EK,

∵ AE=BD,AP=DQ, ∴ PE=BQ,


=

.

又 AD∥BK,∴ 于是


=

.

=

,从而可知

PQ∥EK.

又 PQ? 平面 BCE,EK? 平面 BCE, ∴ PQ∥平面 BCE.
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方法三:如图,在平面 ABEF 内,过点 P 作 PM∥BE,交 AB 于点 M,连接 QM.

由题意可知 PM∥平面 BCE,又∵ 平面 ABEF∩平面 BCE=BE, ∴ PM∥BE,从而有 于是


=

.又 ,

AE=BD,AP=DQ,∴ PE=BQ.

=

,即

=

因此 MQ∥AD.又 AD∥BC,∴ MQ∥BC.故 MQ∥平面 BCE.又 PM∩MQ=M,BE∩BC=B,∴ 平面 PMQ∥平面 BCE.∵ PQ? 平面 PMQ,∴ PQ∥ 平面 BCE.
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判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公 共点);(2)利用线面平行的判定定理(a? α,b? α,a∥b? a∥α);(3)利用面面平 行的性质定理(α∥β,a? α? a∥β);(4)利用面面平行的性质 (α∥β,a? β,a∥α? a∥β).

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1.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,侧面对角线 AB1,BC1 上分别有 两点 E,F 且 B1E=C1F,求证:EF∥平面 ABCD.

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【证明】方法一:分别过点 E,F 作 EM⊥AB 于点 M,FN⊥BC 于点 N,连 接 MN.∵ 1⊥平面 ABCD, BB ∴ 1⊥AB,BB1⊥BC. BB 又结合题意易知 EM∥BB1,FN∥BB1,∴ EM∥FN. ∵ 1E=C1F,∴ B EM=FN. 故四边形 MNFE 是平行四边形.从而可知 EF∥MN. 又 MN? 平面 ABCD,EF? 平面 ABCD, ∴ EF∥平面 ABCD.
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方法二:过点 E 作 EG∥AB 交 BB1 于点 G,连接 GF,则

1 E 1 A

=

1 G , 1 B

∵ 1E=C1F,B1A=C1B,∴ 1 = B

F 1 B

1 G . 1 B

故 FG∥B1C1∥BC. 又 EG∩FG=G,AB∩BC=B, ∴ 平面 EFG∥平面 ABCD. ∵ EF? 平面 EFG,∴ EF∥平面 ABCD.
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T 题型二面 面平行的判定与性质

例 2 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,求证:平面
AB1D1∥平面 C1BD. 证明面面平行,先找线线平行,从而得到面面平行.
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【证明】∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体, ∴ 1D1∥BD.∵ B BD? 平面 C1BD,B1D1? 平面 C1BD, ∴ 1D1∥平面 C1BD.同理 D1A∥平面 C1BD. B ∵ 1D1 和 D1A 是平面 AB1D1 内的两相交直线, B ∴ 平面 AB1D1∥平面 C1BD.

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证明面面平行的方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面,那么这两个平面平行; (3)面面平行的判定定理的推论:如果一个平面内有两条相交直线分别 平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行; (4)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.

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2.如图所示,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上, 点 F 在 CC1 上,点 G 在 BB1 上,且 AE=FC1=B1G=1,H 是 B1C1 的中点. (1)求证:E,B,F,D1 四点共面; (2)求证:平面 A1GH∥平面 BED1F.

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【证明】(1)连接 FG. ∵ AE=B1G=1, ∴ BG=A1E=2. 因此 BGA1E.从而可知 A1G∥BE. 又∵ 1FB1G, C ∴ 四边形 C1FGB1 是平行四边形. 于是有 FGC1B1D1A1. 从而可知四边形 A1GFD1 是平行四边形. 因此 A1GD1F,D1FEB. 故 E,B,F,D1 四点共面.
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(2)∵ 是 B1C1 的中点, H ∴ 1H= . B 又 B1G=1, 又
2 3 1 G 1 H 3 2

= ,

2 3

= ,且∠FCB=∠GB1H=90° ,

∴ 1HG∽△CBF. △B 因此∠B1GH=∠CFB=∠FBG. 故 HG∥FB. 又由(1)知,A1G∥BE, 且 HG∩A1G=G,FB∩BE=B, ∴ 平面 A1GH∥平面 BED1F.
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T 题型三平 行的综合应用

例 3 如图所示,平面 α∥平面 β,点 A∈α,点 C∈α,点 B∈β,点
D∈β,点 E,F 分别在线段 AB,CD 上,且 AE∶ EB=CF∶ FD. (1)求证:EF∥β; (2)若 E,F 分别是 AB,CD 的中点,AC=4,BD=6,且 AC,BD 所成的角为 60° EF 的长. ,求
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将空间问题转化为平面问题,通常是构造平行线或构造三 角形.

【解】(1)证明:①当 AB,CD 在同一平面内时, ∵ α∥β,平面 α∩平面 ABDC=AC, 平面 β∩平面 ABDC=BD, ∴ AC∥BD. ∵ EB=CF∶ AE∶ FD, ∴ EF∥BD. 又 EF? β,BD? β,∴ EF∥β.
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②当 AB 与 CD 异面时, 设平面 ACD∩β=DH,且 DH=AC. ∵ α∥β,α∩平面 ACDH=AC, ∴ AC∥DH.故四边形 ACDH 是平行四边形. 在 AH 上取一点 G,使 AG∶ GH=CF∶ FD, 又∵ EB=CF∶ AE∶ FD, ∴ GF∥HD,EG∥BH. 又 EG∩GF=G, ∴ 平面 EFG∥平面 β. 又 EF? 平面 EFG,∴ EF∥β. 综上,EF∥β.

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(2)如图所示,连接 AD,取 AD 的中点 M,连接 ME,MF. ∵ 分别为 AB,CD 的中点,∴ E,F ME∥BD,MF∥AC, 且 ME= BD=3,MF= AC=2. 因此∠EMF 为 AC 与 BD 所成的角(或其补角). 故∠EMF=60° 120° 或 .在△EFM 中由余弦定理得, EF= 2 + M 2 -2ME·MF·cos∠ = 32 + 22 ± 2 × 3 × 2 × = 13 ± 6, 即 EF= 7或 EF= 19.
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1 2 1 2 1 2

面面平行的性质定理的应用问题.往往涉及面面平行的判定、 线面 平行的判定与性质的综合应用.解题时,要准确地找到解题的切入点,灵活地 运用相关定理来解决问题,应注意三种平行关系之间的相互转化.

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3.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是 BC,CC1,C1D1,A1A 的中点.求证: (1)BF∥HD1; (2)EG∥平面 BB1D1D; (3)平面 BDF∥平面 B1D1H.

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【证明】(1)如图所示,取 BB1 的中点 M,易证四边形 HMC1D1 是平行四 边形,

从而可知 HD1∥MC1. 又∵ 1∥BF,∴ MC BF∥HD1.

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(2)取 BD 的中点 O,连接 EO,D1O,则 OE DC, 又 D1G DC,∴ OED1G, 即四边形 OEGD1 是平行四边形.因此 GE∥D1O. 又 D1O? 平面 BB1D1D,EG? 平面 BB1D1D, ∴ EG∥平面 BB1D1D. (3)∵ 由(1)知 D1H∥BF,又 BD∥B1D1,B1D1,HD1? 平面 HB1D1,BF,BD? 平面 BDF, 且 B1D1∩HD1=D1,DB∩BF=B, ∴ 平面 BDF∥平面 B1D1H.
1 2

1 2

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线面平行的证明中的找线技巧
立体几何中线面关系的证明是同学们体会和理解逻辑推证的最好素 材,此处同学们都知道要通过线线关系或面面 关系去推导线面关系,但往往却找不到正确的直线或平面.下面对线面 平行证明中常见的找线方法进行分类评析,以供同学们参考.

一、利用中点寻找中位线,由中位线性质寻求线线平行或面面平行
例 1 已知四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD
为正方形,E,F 分别是 PA,BC 的中点. 求证:EF∥平面 PCD.

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【证明】如图所示,取 PD 的中点 N,连接 CN. 1 ∵ 分别是 PA,BC 的中点,∴ E,F EN∥AD 且 EN= AD. 又∵ CF= BC,AD∥BC,AD=BC,∴ EN∥CF 且 EN=CF. 因此四边形 ENCF 为平行四边形.从而可知 EF∥CN. 又 EF? 平面 PCD,CN? 平面 PCD,∴ EF∥平面 PCD.
1 2 2

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若题中出现中点或可以推出中位线的条件,则可作辅助 点画出中位线,利用三角形中位线平行于第三边的性质推导出线线平行,进 而得出线面平行.

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二、利用相似比寻求线线平行
例 2 点 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E∈PB,F∈AC,



=

,求证:EF∥平面

PCD.

【证明】如图所示,连接 BF 并延长交 CD 于点 H,连接 PH. ∵ AB∥CD,∴ △ABF∽△CHF.从而可知


=

.于是

=



=

.

故 EF∥PH.∵ EF? 平面 PCD,PH? 平面 PCD,∴ EF∥平面 PCD.
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若题中出现线段相等或所成比例相等,则可以利用相似比推导出 线线平行.

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1.过平面 α 外的直线 l,作一组平面与 α 相交,如果所得的交线为 a,b,c,…,则 这些交线的位置关系为( A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或都交于同一点 【答案】D 【解析】若 l∥α,则 a∥b∥c∥…;若 l 与 α 相交于一点 A,则 a,b,c,…都相交 于点 A. )

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2.给出下列关于互不相同的直线 l,m,n 和平面 α,β,γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l? α,m∥β,则 α∥β; ②若 α∥β,l? α,m? β,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数为( A.3 B.2 ) C.1 D.0

【答案】C 【解析】命题①中,当 α 与 β 不平行时,也能存在符合题意的 l,m,故错误. 命题②中,l 与 m 也可能异面,故错误. ∥ 命题③中, ? ? l∥m, ? = 同理 l∥n,则 m∥n,因此该命题正确.故选 C.
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3.已知 α,β 是两个不同的平面,直线 a? α,直线 b? β,命题 p:a 与 b 没有公共 点;命题 q:α∥β,则 p 是 q 的 【答案】必要不充分 条件.

【解析】 p q 反之 q? p,即 p 是 q 的必要不充分条件.

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4.已知不重合的直线 a,b 和平面 α,有下列命题: ①若 a∥α,b? α,则 a∥b; ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a∥b,b? α,则 a∥α; ④若 a∥b,a∥α,则 b∥α 或 b? α. 上面命题中正确的是 (填序号). 【答案】④ 【解析】命题①中 a 与 b 可能异面;命题②中 a 与 b 可能相交,平行或异面; 命题③中 a 可能在平面 α 内;命题④正确.

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5.如图,在空间四边形 ABCD 中,M∈AB,N∈AD,若 面 BDC 的位置关系是 【答案】平行 【解析】∵ 在平面 ABD 中,




=

,则直线

MN 与平

.
,

=

∴ MN∥BD. 又 MN? 平面 BCD,BD? 平面 BCD, ∴ MN∥平面 BCD.
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