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高中数学数列求和例题精讲


高中数学数列求和例题精讲
1. 公式法求和 (1)等差数列前 n 项和公式 (2)等比数列前 n 项和公式
Sn ? n(a1 ? a n ) n(a k ?1 ? a n ?k ) n(n ? 1) ? ? na1 ? d 2 2 2

q ? 1时
q ? 1时

S n ? na1
a1 (1 ? q n ) a1 ? an q Sn ? ? 1? q 1? q
n(n ? 1) 2

(3)前 n 个正整数的和

1? 2 ? 3 ??? n ?

n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 n(n ? 1) 2 ] 前 n 个正整数的立方和 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? [ 2 公式法求和注意事项 (1)弄准求和项数 n 的值;

前 n 个正整数的平方和

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?

(2)等比数列公比 q 未知时,运用前 n 项和公式要分类。

4, 7, ?, 3n ? 1 的所有项的和 例 1.求数列 1,

例 2.求和 1 ? x ? x 2 ? ? ? x n?2 ( n ? 2, x ? 0 )

1

2.分组法求和 例 3.求数列 1, 1 ? 2 , 1 ? 2 ? 3 ,…, 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 的所有项的和。

? ?5n ? 1 (n为奇数) 例 4.已知数列 ?an ? 中, a n ? ? ,求 S 2 m 。 n ? ( 2 ) ( n 为偶数 ) ?

3.并项法求和 例 5.数列 ?an ? 中, an ? (?1) n?1 n 2 ,求 S100 。

例 6.数列 ?an ? 中, , an ? (?1) n 4n ,求 S 20 及 S 35 。

4.错位相减法求和

若 ?a n ?为等差数列,?b n ?为等比数列,求数列 ?a n b n ?(差比数列)前n项

2

和,可由Sn ? qSn 求Sn ,其中q为?b n ?的公比。

例 7.求和 1 ? 2 x ? 3x 2 ? ? ? nxn?1 ( x ? 0 ) 。

5.裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 例 8.求和
1 1 1 1 。 ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)

例 9.求和

1 2 ?1

?

1 3? 2

?

1 2? 3

???

1 n ?1 ? n



[练习]
求和:1 ? 1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n
(a n ? …… ? ……,S n ? 2 ? 1 ) n ?1
3

6 . 倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。
? S n ? a 1 ? a 2 ? …… ? a n ?1 ? a n ? ?相加 S n ? a n ? a n ?1 ? …… ? a 2 ? a 1 ? ?

2Sn ? ?a1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n?1 ? ? …… ? ?a1 ? a n ?……
[ 练 习 ]

x2 ? 1? ? 1? ? 1? 已知f ( x) ? ,则f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1? x

x ? 1? (由f ( x) ? f ? ? ? ? ? x? 1 ? x2

2

? 1? ? ? ? x?

2

? 1? 1? ? ? ? x?

2

?

x2 1 ? ?1 2 1? x 1 ? x2

? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ∴原式 ? f (1) ? ?f (2) ? f ? ? ? ? ?f (3) ? f ? ? ? ? ?f (4) ? f ? ? ? ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? 4? ? ?
? 1 1 ?1?1?1 ? 3 ) 2 2

1 (

2 (

专题训练 数列求和练习 1 、 数 列 {an } 的 通 项 an ? , 则 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 1? 2 ? 3 ??? n ) 2n 2n n?2 n A. B. C. D. n ?1 2n ? 1 n ?1 2n ? 1 1 1 1 1 、 数 列 1 ,2 ,3 ,4 ,? 的 前 n 项 和 可 能 为 2 4 8 16 ) 1 1 1 1 A. (n 2 ? n ? 2) ? n B. (n 2 ? n) ? 1 ? n ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 C . ( n 2 ? n ? 2) ? n D. (n 2 ? n) ? 2(1 ? n ) 2 2 2 2
2 2 等 于 ? ?an n 项 和 Sn ? 2n ?1 , 则 a12 ? a2

3 、 已 知 数 列 {an } 的 前 ( )

4

A. (2n ? 1) 2

1 B. (2 n ? 1) 3

C. 4 n ? 1
1

1 D. (4 n ? 1) 3

4 、数列 {an } 的通项公式 an ? ( ) A.11

n ? n ?1

(n ? N * ) , 若前 n 项和为 10 ,则项数 n 为

B.99

C.120

D.121 . .

5、在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N * ) ,则 S100 ? 6、已知 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? 21? ? ? (?1) n?1 (4n ? 3) ,则 S15 ? S 22 ?

2 7、已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 m ? 1, m ? N , am?1 ? am?1 ? am ? 0, S 2m?1 ? 38 ,

则 m=



1 2 8、已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 S n 满足 S n ? a n ( S n ? ) 。 2

(1)求 S n 的表达式;

(2)设 bn ?

Sn ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2n ? 1

9、 等比数列 {an } 同时满足下列条件: ① a1 ? a6 ? 33, ② a3 a4 ? 32 , ③三个数 4a2 ,2a3 , a4 依次成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ? 项和 Tn.
n ,求数列 {bn } 的前 n an

5

10、 等差数列 {an } 各项均为正整数,a1 ? 3 , 前 n 项和为 S n , 在等比数列 {bn } 中,b1 ? 1 且 b2 S 2 ? 64 ,公比为 8。 (1)求 an 和 bn ; (2)证明:
1 1 1 3 ? ??? ? 。 S1 S 2 Sn 4

6


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