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福建师大附中2016届高三上学期数学(理)第十一周周练试题



11 周练.高三(理科)数学滚动试卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、 已知集合 M ? ( x, y) x ? y ? 2 , N ? ( x, y) x ? y ? 4 ,那么集合 M ? N 为

?

?

?


?





A. x ? 3, y ? ?1

B. (3,?1)

C. ?3,?1?

D. ?(3,?1)? ( )

? 1 x ( ) , ?1 ? x ? 0 ,则 f (log 3) ? 2、 若函数 f ( x) ? ? 4 ? 4 x ? 4 , 0 ? x ? 1 ?

A.

1 3
1 1 ? a b

B.

4 3

C. 3

D. 4 ( C. a ? b ? 2 ab D. a 2 ? b2 ? 2ab ( ) )

3、若 a>b,则下列不等式中正确的是 A. B. a 2 ? b 2

4、已知 {a n } 是公比为 q 的等比数列,且 a 1 , a 3 , a 2 成等差数列. 则 q ?

A.1 或 ?

1 2

B.1

C. ?

1 2

D . ?2

5、在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 都成立, 则实数 a 的取值范围是 ( )

1? A. ?? 1,

B. ?0,2 ?

C. (? 1 ,3 )
2 2

1 6、 D. (? 3 , 若函数 y =f (x)( x ) 2 2

∈R) 满足 f (x + 2) = f (x),且 x∈(–1,1]时,f (x) = | x |, 则 log3|x|-f(x) =0 实根个数为 A.2 B.3 C.4 D.6 ( )

2 2 7、已知抛物线 y 2 ? 36 x 的准线与双曲线 x ? y ? 1? b ? 0? 的左准线重合,则此双曲线 5 9 b

的渐近线方程是 A. y ? ?

( B. y ? ?



3 x 4

4 x 3

C. y ? ? 5 x
3

3 D. y ? ? x 8、给出四个函 5

数,分别满足:① f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ② g ( x ? y) ? g ( x) ? g ( y) ③ ? ( x ? y) ? ? ( x) ? ? ( y) ④ h( x ? y) ? h( x) ? h( y) 又给出四个函数的图像,则正确的匹 配方案是

y
x
O

y
x
O

y
O

y
x

O

x

A.①-甲,②-乙,③-丙,④-丁 C.①-丙,②-甲,③-乙,④-丁

B.①-乙,②-丙,③-丁,④-甲 D.①-丁,②-甲,③-乙,④-丙





? ? 9、若 f ?x ? ? 2 cos(?x ? ? ) ? m ,对任意实数 t 都有 f (t ? ) ? f (?t ) ,且 f ( ) ? ?1 ,则实数 m 8 4
的值等于 A.±1 B.±3 C.-3 或 1 D.-1 或 3 ( )

10 、设 f ( x) 和 g ( x) 是定义在同一区间 [a, b] 上的两个函数,若对任意的 x ? [a, b] ,都有
f ( x) ? g ( x) ? 1,则称 f ( x ) 和 g ( x) 在 [ a, b] 上是“密切函数”, [ a, b] 称为“密切区间”,

设 f ( x) ? x2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? 3 在 [a, b] 上是“密切函数”,则它的“密切区间”可以是

A.

B.

C.

D.

非选择题部分(共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11、若函数 y ? f ( x) 的值域是 ? 1 ,3? ,则函数 F ? x ? ? f ? x ? ? ? ?
?2 ?

1 的值域是 f ( x)

.

12、已知 y ? ln a ?1 有意义,且 y ? loga x 在 [2, ??) 上恒有 y ? 1,则 a 的取值范围为_ 13、已知平面上三点 A、B、C 满足 AB ? 3 , BC ? 4 , CA ? 5 ,则 AB? BC ? BC ? CA ? CA ? AB

的值等于

. .

14、在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A ,角 C= 15、函数 f ( x) 对任意正整数 a、 b 满足条件 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,且 f (1) ? 2 。则
f (2) f (4) f (6) f (2010) =_________ . ? ? ? …… ? f (1) f (3) f (5) f (2009)
2 2 16、已知 F1 、 F2 分别为椭圆 x ? y ? 1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,Q 是 y 轴上的

25

9

一个动点,若 | PF1 | ? | PF2 |? 4 ,则 PQ ? PF __________. 1 ? PF 2 ? 17、将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 ?????????? 第 1 行 3 ???????? 第 2 行 按照以上排列的规律,从左向右记第 n 行的第 j 个数为 2 4 5 6 ?????? 第 3 行 f ?n, j ? , n, j ? N * ,我们称 f ?n, n ? 为三角数,现将所有的三 7 8 9 10 ???? 第 4 行 角 数 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 成 一 三 角 数 列 , 则 满 足 等 式 11 12 13 14 15 ?? 第 5 行 ?????? f ?n, n? ? f ?28,28? ? 59 的 f ?n, n ? 是 三 角 数 列 中 的 第 个。 三、解答题:本大题共 5 小题;共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分)已知 f ( x) ? sin 2 ?x ? 期为 2? 。 (I)求 f ( x)的表达式和f ( x) 的单调递增区间; 大值和最小值 19、如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD ⊥ 底面 ABCD,E,F 分别为 AB,SC 的中点。 (1)证明 EF ∥ 平面 SAD ; (2)设 SD ? 2 DC ,求二面角 A ? EF ? D 的大小。 (14 分)
S F

?

?

3 1 sin 2?x ? ( x ? R, ? ? 0).若f ( x) 的最小正周 2 2
(II)求 f ( x)在区间[? ? , 5? ] 的最 6 6

D

C B

A

E
第 22题图

20.(本题满分 15 分) 已知函数 f ?x ? ? x ? 3ax 2 ? bx ,其中 a , b 为实数.
3 2

(Ⅰ) 若 f ? x ? 在 x ? 1 处取得的极值为 2 ,求0a , b 的值; 0 b ? 9a ,求 a 的取值范围. (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ?? 1, 2? 上为减函数,且 9 0 4 2 3 21. (本题满分 15 分) 已知二次函数 y ? f ? x ? 的图像经过坐标原点, 其导函数 f'(x)=2x+2, 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y ? f ? x ? 的图像上. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn=

1 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求 Tn . a n a n ?1

22.(本题满分 15 分)已知定点 C(-1,0)及椭圆 x +3y =5,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. ⑴若线段 AB 中点的横坐标是- ,求直线 AB 的方程; ⑵在 x 轴上是否存在点 M,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由.
1 2

2

2

2 0 0 9 0 4 2 3

高三(理科)数学滚动试卷答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 A 5 C 6 C 7 B 8 D 9 C 10 B

非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. 12. (1,2] 13.-25 14.

? 3

15.2010 16.20

17.30

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分)平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题: (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d. 解 (1)∵(a+kc)∥(2b-a), 又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, (2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), ∴? ?
?4?x ? 4? ? 2? y ? 1? ? 0
2 2 ? ??x ? 4? ? ? y ? 1? ? 1

?????? ??

2分
16 . 13

4 分 ∴k=-

????

6分

又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,??8 分



???? 10 分

? ? 5 5 ?x ? 4 ? ?x ? 4 ? ? ? 5 5 解得 ? 或? . 2 5 2 5 ? ? y ? 1? y ? 1? ? ? 5 5 ? ?

????

12 分

???? 14 分 2 0 0 3 1 2 sin 2?x ? ( x ? R, ? ? 0).若f ( x) 的最小 19.(本题满分 14 分)已知 f ( x) ? sin ?x ? 29 2 0 正周期为 2? 。 4 2 f ( x) 的单调递增区间; (I)求 f ( x)的表达式和 3 (II)求 f ( x)在区间[?

∴d= ? ?

? 20 ? 5 5 ? 2 5 ? ? ? ? 或 d= ? 20 ? 5 ,5 ? 2 5 ? . , ? ? ? 5 5 5 5 ? ? ? ?

? 5?
6 , 6

] 的最大值和最小值

解:(I)由已知 f ( x) ? sin

2

?x ?

3 1 sin 2?x ? ( x ? R, ? ? 0) 2 2

?

1 3 1 3 1 (1 ? cos2?x) ? sin 2?x ? ? sin 2?x ? cos 2?x 2 2 2 2 2

? sin( 2?x ?

?
6

) ??????3 分 2? 1 ? ? ? ????4 分 2? 2

又由 f ( x) 的周期为 2? ,故 2? ?

? f ( x) ? sin( x ? 2k? ?

?
6

)

????5 分

?
2

? x?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ? 2k? ?

?
3

? x ? 2k? ?

即 f ( x) 的单调递增区间为 [ 2k? ? (II) x ? [ ?

?
3

,2k? ? ?

? 5?
6 , 6

]? ?

?
3

? x?

?
6

2? ????10 分 3

2? ]( k ? Z ) ??7 分 3

2? (k ? Z ) 3

?

3 ? ? sin(x ? ) ? 1??13分 2 6

? 5? 3 ????14 分 f ( x)在区间 [? , ]的最大值和最小值分别 为1和 ? 6 6 2
20.(本题满分 15 分).已知函数 f ?x ? ? x ? 3ax ? bx ,其中 a , b 为实数.
3 2

(Ⅰ) 若 f ? x ? 在 x ? 1 处取得的极值为 2 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ?? 1, 2? 上为减函数,且 b ? 9a ,求 a 的取值范围. 解 (Ⅰ)由题设可知:

f ??1? ? 0 且 f ?1? ? 2 ,
即?

?????? 3 分 ?????? 6 分 ?????? 8 分

?3 ? 6a ? b ? 0 4 ,解得 a ? , b ? ?5. 3 ?1 ? 3a ? b ? 2
2 2

(Ⅱ)? f ??x? ? 3x ? 6ax ? b ? 3x ? 6ax ? 9a , 又 f ? x ? 在 ?? 1, 2? 上为减函数,

? f ?? x ? ? 0 对 x ? ?? 1, 2? 恒成立,
即 3x ? 6ax ? 9a ? 0 对 x ? ?? 1, 2? 恒成立.
2

??????

10 分

? f ??? 1? ? 0 且 f ?2? ? 0 ,
2 0 0 9 0 4

?????? 13 分

?a ? 1 ?3 ? 6a ? 9a ? 0 ? 即? ?? 3 ? a ? 1, ?12 ? 12a ? 9a ? 0 ?a ? 7 ?

? a 的取值范围是 a ? 1.

?????? 15 分

21.(本题满分 15 分)已知二次函数 y ? f ? x ? 的图像经过坐标原点,其导函数 f'(x)=2x+2, 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y ? f ? x ? 的图像上. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn=
2

1 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求 Tn . a n a n ?1
???? 2分

解:(1)f(x)=x +2x
2

所以,Sn=n +2n,当 n=1,a1=S1=3,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1, ∴an=2n+1(n∈N*) (2) 因为 bn= ??????6 分 ???? 10 分

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

所以 Tn=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ? ? ? ... ? ? )? ( ? )? 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3 6n ? 9
2 2

?15 分

22. (本题满分 14 分)已知定点 C(-1,0)及椭圆 x +3y =5,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A, 2 B 两点. 0 1 (1)若线段 AB 中点的横坐标是- ,求直线 AB0 的方程; 2 9 0 (2)在 x 轴上是否存在点 M,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请 4 说明理由. 2 3AB 的方程为 y=k(x+1), 解 (1)依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 将 y=k(x+1)代入 x +3y =5, 消去 y 整理得(3k +1)x +6k x+3k -5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
?? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 0, ? 则? 6k 2 . ? x1 ? x 2 ? ? 2 3k ? 1 ?
2 2 2 2 2 2

????2 分



????4 分


由线段 AB 中点的横坐标是- , 2 0 0 9 0 4

1 2



x1 ? x 2 1 3 3k 2 =- 2 =- ,解得 k=± ,适合①. 2 2 3 3k ? 1

?????6 分

所以直线 AB 的方程为 x- 3 y+1=0,或 x+ 3 y+1=0.??????7 分 (2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使 MA ? MB 为常数. (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(1)知 x1+x2=- ?
6k 2 3k 2 ? 1

,x1x2=

3k 2 ? 5 3k 2 ? 1

.



所以 MA ? MB =(x1-m)(x2-m)+y1y2 =(x1-m)(x2-m)+k (x1+1)(x2+1) =(k +1)x1x2+(k -m)(x1+x2)+k +m . 将③代入,整理得
MA ? MB =
(6m ?1)k 2 ? 5 3k ? 1
2
2 2 2 2 2

????9 分

+m

2

1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? 3 3 +m2 = 2 3k ? 1

=m +2m- -

2

1 3

6m ? 14 3(3k 2 ? 1)

.

??????11 分

注意到 MA ? MB 是与 k 无关的常数,从而有 6m+14=0,m=- ,此时 MA ? MB = . (ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时, 此时点 A,B 的坐标分别为
? ? ? ? ? ? 1, 2 ? 、 ? ? 1,? 2 ? , ? ? ? 3? 3? ? ? ?

7 3

4 9

??????12 分

当 m=- 时,亦有 MA ? MB = .
? 综上,在 x 轴上存在定点 M ? ? ? ,0 ? ,使 MA ? MB 为常数. ????14 分 7 ? 3 ?

7 3

4 9



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