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必修5 数列 2-2-3



第2章

2.2

第 3 课时

等差数列的前 n 项和
一、选择题 1.(2011· 大纲全国)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d =2,Sk+2-Sk=24,则 k=( A.8 C.6 [答案] [解析] D ∵Sk + 2 -Sk =ak + 1 +ak + 2 =a1+

kd+a1 +(k+1)d=2a1 +(2k+ ) B.7 D.5

1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,∴k=5. 1 2.记等差数列{an}的前 n 项和 Sn.若 a1= ,S4=20,则 S6=( 2 A.16 C.36 [答案] D B.24 D.48 )

[解析] 设等差数列{an}的公差为 d, 1 1 4×3 ∵a1= ,S4=4× + d=2+6d=20, 2 2 2 1 6×5 ∴d=3,故 S6=6× + ×3=48,故选 D. 2 2 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-a2 =0,S2m-1= m 38,则 m=( A.38 C.10 [答案] C ) B.20 D.9

[解析] 由等差数列的性质,得 am-1+am+1=2am,

∴2am=a2 ,由题意,得 am≠0,∴am=2. m 又 S2m-1= ?2m-1??a1+a2m-1? 2am?2m-1? = 2 2

=2(2m-1)=38,∴m=10. 4.数列{an}是等差数列,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此 数列的前 20 项和等于( A.160 C.200 [答案] B ) B.180 D.220

[解析] ∵{an}是等差数列, ∴a1+a20=a2+a19=a3+a18, 又 a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78, ∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54. ∴3(a1+a20)=54, ∴a1+a20=18. ∴S20= 20?a1+a20? =180. 2

5.等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,当首项 a1 和 d 变化时, a2+a8+a11 是一个定值,则下列各数中也为定值的是( A.S7 C.S13 [答案] C B.S8 D.S15 )

[解析] 由已知 a2+a8+a11=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7 为定值,则 S13 = 13?a1+a13? =13a7 也为定值,故选 C. 2 6.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=( )

A.138 C.95 [答案] C

B.135 D.23

[解析] 本题考查等差数列的性质及前 n 项和. 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d.
?a2+a4=4 ? 则? ?a3+a5=10 ?

① ②



②-①得 2d=6,∴d=3. a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d =2a1+4×3=4, ∴a1=-4, S10=10×(-4)+ 故选 C. 二、填空题 1 12 7.在等差数列{an}中,a1>0,d= ,an=3,Sn= ,则 a1=________, 2 5 n=________. [答案] 2;3 10×9 ×3=-40+135=95. 2

[解析]

?3=a1+?n-1?×1 ? 2 由题意,得? ?12=na1+1n×?n-1?×1 ?5 2 2



? ?a1=2 解得? . ? ?n=3

8.(2011· 湖南理)设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 a1=1, a4=7,则 S5=________.

[答案] 25 1 [解析] ∵a4-a1=3d,∴3d=6,∴d=2,∴S5=5a1+ ×5×4×d=5 2 1 + ×5×4×2=25. 2 三、解答题 9.在等差数列{an}中: (1)已知 a5+a10=58,a4+a9=50,求 S10; (2)已知 S7=42,Sn=510,an-3=45,求 n. [解析] (1)解法一:由已知条件得

?a5+a10=2a1+13d=58 ? ? , ? ?a4+a9=2a1+11d=50 ? ?a1=3 解得? . ? ?d=4

∴S10=10a1+ =10×3+

10×?10-1? ×d 2

10×9 ×4=210. 2

?a5+a10=?a1+a10?+4d=58 ? 解法二:由已知条件得? , ?a4+a9=?a1+a10?+2d=50 ?

∴a1+a10=42, ∴S10= 10?a1+a10? =5×42=210. 2

解法三:由(a5+a10)-(a4+a9)=2d=58-50, 得 d=4 由 a4+a9=50,得 2a1+11d=50,∴a1=3. 故 S10=10×3+ 10×9×4 =210. 2

(2)S7= ∴Sn=

7?a1+a7? =7a4=42,∴a4=6. 2

n?a1+an? n?a4+an-3? n?6+45? = = =510. 2 2 2

∴n=20. 10.在等差数列{an}中,(1)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8; (2)已知 a3+a15=40,求 S17. [解析] (1)∵a6=10,S5=5,

? ? ?a1+5d=10 ?a1=-5 ∴? ,解得? . ?5a1+10d=5 ?d=3 ? ?

∴a8=a6+2d=16,S8= (2)∵a1+a17=a3+a15, ∴S17=

8?a1+a8? =44. 2

17?a1+a17? 17?a3+a15? 17×40 = = =340. 2 2 2

能力提升
一、选择题 1.已知一个等差数列的前四项之和为 21,末四项之和为 67,前 n 项 和为 286,则项数 n 为( A.24 C.27 [答案] B ) B.26 D.28

[解析] 设该等差数列为{an}, 由题意,得 a1+a2+a3+a4=21, an+an-1+an-2+an-3=67, 又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3, ∴4(a1+an)=21+67=88,

∴a1+an=22. ∴Sn= n?a1+an? =11n=286, 2

∴n=26. → → → 2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若OB=a1OA+a200OC,且 A、 B、C 三点共线(该直线不过点 O),则 S200=( A.100 C.200 [答案] A B.101 D.201 )

→ → → [解析] ∵OB=a1OA+a200OC,且 A、B、C 三点共线, ∴a1+a200=1,S200= 二、填空题 3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 18,若 S3=1,an+an-1+an-2=3, 则 n=________. [答案] 27 [解析] Sn= n· 1+an? ?a =18, 2 200?a1+a200? =100. 2

?an+an-1+an-2=3 ? 由 S3=1 和? , ? ?a1+a2+a3=1

4 得 3(a1+an)=4,故 a1+an= , 3 故 n= 36 36 = =27. a1+an 4 3

4. 已知某等差数列共有 10 项, 其奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则其公差为________.

[答案] 3 [解析] S 奇=a1+a3+a5+a7+a9=15,

S 偶=a2+a4+a6+a8+a10=30, ∴S 偶-S 奇=5d=15,∴d=3. 三、解答题 5.已知等差数列{an}, (1)若 a2+a7+a12=21,求 S13; (2)若 S15=75,求 a8. [解析] (1)∵a2+a12=a1+a13=2a7,a2+a7+a12=21,

∴3a7=21,即 a7=7. ∴S13= 13?a1+a13? 13×2a7 = =91. 2 2 15?a1+a15? 15×2a8 = =75,∴a8=5. 2 2

(2)∵S15=

1 6.已知在正整数数列{an}中,前 n 项和 Sn 满足:Sn= (an+2)2, 8 (1)求证:{an}是等差数列; 1 (2)若 bn= an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2 [解析] 1 (1)由 Sn= (an+2)2, 8 (n≥2).

1 则 Sn-1= (an-1+2)2 8

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 1 1 = (an+2)2- (an-1+2)2, 8 8 整理得(an+an-1)(an-an-1-4)=0. ∴an-an-1=4,即{an}为等差数列.

1 1 (2)∵S1= (a1+2)2.∴a1= (a1+2)2. 8 8 解得 a1=2.∴an=2+4(n-1)=4n-2 1 1 ∴bn= an-30= (4n-2)-30 2 2 =2n-31. 31 令 bn<0 得 n< , 2 ∴S15 为前 n 项和最小值. S15=b1+b2+…+b15=2(1+2+…+15)-15×31=-225. 7.甲、乙两物分别从相距 70m 的两处同时相向运动,甲第 1 分钟走 2m,以后每分钟比前一分钟多走 1m,乙每分钟走 5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多 走 1m,乙继续每分钟走 5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? [分析] 可将问题化为等差数列问题. [解析] (1)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意有 2n+ n?n-1? +5n=70, 2

整理得 n2+13n-140=0 解得 n=7,n=-20(舍去) 第一次相遇是在开始运动后 7 分钟. (2)设 n 分钟后第二次相遇,依题意有 2n+ n?n-1? +5n=3×70 2

整理得 n2+13n-6×70=0 解得 n=15 或 n=-28(舍去) 第二次相遇是开始运动 15 分钟. 8.数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-7n-8.

(1)求{an}的通项公式; (2)求{|an|}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)当 n=1 时,a1=S1=-14;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-8,
?-14 ?n=1? ? 故 an=? . ?2n-8 ?n≥2? ?

(2)由 an=2n-8 可知:当 n≤4 时,an≤0,当 n≥5 时,an>0. ∴当 n≤4 时,Tn=-Sn=-n2+7n+8, 当 n≥5 时, n=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-7n-8-2×(-20)=n2 T -7n+32,
?-n2+7n+8 ?1≤n≤4? ? ∴Tn=? 2 . ? ?n -7n+32 ?n≥5?



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