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平面的基本性质



平面的基本性质

平面的基本性质:

公理1 如果一条直线上的两点在一个平
面内,那么这条直线上所有的点都在这 个平面内.
A B α l

A?? B ??

? AB ? ?

公理2 经过不在同一条直线上的三点,
有且只有一个平面.

B

B C C αA

α

A

推论1 经过一条直线和这条直线外的
一点,有且只有一个平面.

B

C
αA

已知:直线 l,点B ? l 求证:过直线 l 和点B有且只有一个平面.
分析:先在直线 l上任 取两点A,C,由公理3 可知不共线的A,B,C 三点就能惟一确定一个 平面,再证明 l 在这个 平面内.

B C αA

l

证明:在直线 l上任取两点A,C 因为点B不在直线 l上, 根据公理3

所以平面 ? 一定经过点A, B ,C 再据公理3,不共线的三点A,B,C确定惟一 平面,所以经过直线 l 和点 B的平面只有 一个.

经过不共线的三点A,B,C有一个平面 ? 因为 A∈ ?,C∈? , 所以根据公理1, l ? ? ,即平面 ? 经过直线 l 和点B, 因为A ,C 在直线 l 上,

推论2 经过两条相交直线 ,有且只有
一个平面.

B C α

A

推论3 经过两条平行直线,有且只有一
个平面.

B C αA

公理3 如果两个平面有一个公共点,那
么它们还有其他公共点,且所有这些公共 点的集合是经过这个公共点的一条直线.
β P α l

P ??

P??

? ? ? ? ? l 且P ? l

知识运用:
例1:已知: 求证: 直线 A ? l , B ? l , C ? l , D ? l 共面.
AD, BD, CD

(见下图)

D

?
C

A

B

l

课堂小结:
公 理 1
A B α l

A?? B ??

? AB ? ?

公 理 3

β

α

P

l

P ??

P??

? ? ? ? ? l 且P ? l

课堂小结:
α A

公理2
B C

推论1
B αA C A α

推论2
B C αA

推论3
B C



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