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三角函数图像公式大全



幂函数的图形

指数函数的图形

对数函数的图形

三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号

sinα·cscα 三角函数的性质

cosα·secα

tanα·cotα

函数 定义域

y=sinx R

y=cosx R

y=tanx {x|x∈R 且 x≠kπ+

y=cotx {x|x∈R 且 x≠kπ,k∈Z}

? ,k∈Z} 2

[-1,1]x=2kπ+ 值域 ymax=1 x=2kπ周期性 奇偶性

? 时 2

[-1,1] x=2kπ 时 ymax=1 x=2kπ+π 时 ymin=-1

R 无最大值 无最小值 周期为 π 奇函数

R 无最大值 无最小值

? 时 ymin=-1 2
周期为 2π 偶函数

周期为 2π 奇函数 在 [2kπ-

周期为 π 奇函数

? ? ? ? 在[2kπ-π,2kπ]上都是 在(kπ,kπ+π)内都 ,2kπ+ ] 上 在(kπ- , kπ+ )内都 增函数; [2kπ, 在 2kπ+π] 是减函数(k∈Z) 2 2 2 2
上都是减函数(k∈Z) 是增函数(k∈Z)

单调性

都是增函数;在 [2kπ+

? 2 ,2kπ+ π] 上 2 3

都是减函数(k∈Z)

反三角函数的图形

反三角函数的性质
名称 反正弦函数 y=sinx(x∈ 〔定义 反余弦函数 反正切函数 y=tanx(x∈(反余切函数

? ? , 2 2



y=cosx(x∈〔0,π〕) 的反函数,叫做反 余弦函数,记作 x=arccosy

? 2

,

y=cotx(x∈(0,π))的 反函数, 叫做反余切 函数,记作 x=arccoty

的反函数,叫做反正弦 函数,记作 x=arsiny

? 2

)的反函数,叫做反

正切函数,记作 x=arctany arcsinx 表示属于 理解 [arccosx 表示属于 [0,π] ,且余弦值 等于 x 的角 arctanx 表示属于 (arccotx 表示属于(0, π)且余切值等于 x 的角

? ? , 2 2



? ? , 2 2

),且正切值等

且正弦值等于 x 的角

于 x 的角

定义域 值域 性 质 单调性

[-1,1] [-

[-1,1] ] [0,π] 在[-1,1]上是减 函数 arccos(-x)=π-arcco sx

(-∞,+∞) (-

(-∞,+∞) ) (0,π) 在(-∞, +∞)上是减函 数 arccot(-x)=π-arccot x

? 2



? 2

? 2



? 2

在〔-1,1〕上是增函数 arcsin(-x)=-arcsinx 都不是同期函数

在(-∞,+∞)上是增数 arctan(-x)=-arctanx

奇偶性 周期性

sin(arcsinx)=x(x∈ [-1, cos(arccosx)=x(x∈ 1])arcsin(sinx)=x(x∈ 恒等式 [[-1,1]) arccos(cosx)=x(x∈ [0,π])

tan(arctanx)=x(x∈ R)arctan(tanx)=x(x∈ (-

cot(arccotx)=x(x∈ R) arccot(cotx)=x(x∈ (0,π))

? ? , 2 2

])

? ? , 2 2

))

互余恒等式

arcsinx+arccosx=

? 2

(x∈[-1,1])

arctanx+arccotx=

? 2

(X∈R)

三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tan(A-B) =
tanA ? tanB 1 - tanAtanB tanA ? tanB

和差化积

a?b a?b cos 2 2 a?b a?b sina-sinb=2cos sin 2 2 a?b a?b cosa+cosb = 2cos cos 2 2 a?b a?b cosa-cosb = -2sin sin 2 2 sin( a ? b )

sina+sinb=2sin

cot(A+B) = cot(A-B) = 倍角公式 tan2A =

1 ? tanAtanB cotAcotB - 1 cotB ? cotA cotAcotB ? 1 cotB ? cotA

tana+tanb=
积化和差

cos a cos b

2tanA 1 ? tan 2 A

Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA ? ? tan3a = tana·tan( +a)·tan( -a)
3 3

1 [cos(a+b)-cos(a-b)] 2 1 cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1 sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] 2 1 cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 2

sinasinb = -

诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa ? sin( -a) = cosa

半角公式 sin(
1 ? cos A A )= 2 2 1 ? cos A A )= 2 2 1 ? cos A A )= 1 ? cosA 2 1 ? cos A A )= 1 ? cosA 2
A 1 ? cos A sin A )= = 2 sin A 1 ? cos A

cos(

2 ? cos( -a) = sina 2 ? sin( +a) = cosa 2 ? cos( +a) = -sina 2

tan(

sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =
sin a cos a

cot( tan(

万能公式

公式一

2 tan

a 2 a

sina=

1 ? (tan ) 2 2 a 1 ? (tan ) 2 2 cosa= a 1 ? (tan ) 2 2 a 2 tan 2 tana= a 1 ? (tan ) 2 2
其它公式

设 α 为任意角, 终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα
公式二

设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之 间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα
公式三

a?sina+b?cosa= (a 2 ? b 2 ) ×sin(a+c) [其中 tanc= ] a?sin(a)-b?cos(a) = [其中 tan(c)=
(a 2 ? b 2 ) ×cos(a-c)

b a

任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα
公式四

a ] b a a 1+sin(a) =(sin +cos )2 2 2 a a 1-sin(a) = (sin -cos )2 2 2
其他非重点三角函数

利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之 间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα
公式五

csc(a) =

1

sin a 1 sec(a) = cos a
双曲函数

sinh(a)=

e a - e -a 2 e a ? e -a 2

利用公式-和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之 间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα

cosh(a)=

tg h(a)=

sinh( a ) cosh(a )

公式六

三角函数公式证明(全部) ? 3? ±α 及 ±α 与 α 的三角函数值之间的关系: 2 2 ? 公式表达式 sin( +α)= cosα 2 ? 乘法与因式分解 cos( +α)= -sinα 2 ? a2-b2=(a+b)(a-b) tan( +α)= -cotα 2 ? a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) cot( +α)= -tanα 2 ? a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) sin( -α)= cosα 2 ? 三角不等式 cos( -α)= sinα 2 ? tan( -α)= cotα |a+b|≤|a|+|b| 2 ? cot( -α)= tanα |a-b|≤|a|+|b| 2 3? sin( +α)= -cosα |a|≤b<=>-b≤a≤b 2 3? |a-b|≥|a|-|b| cos( +α)= sinα 2 3? -|a|≤a≤|a| tan( +α)= -cotα 2 3? cot( +α)= -tanα 一元二次方程的解 2 3? sin( -α)= -cosα -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 2 3? cos( -α)= -sinα 2 根与系数的关系 3? tan( -α)= cotα 2 X1+X2=-b/a 3? cot( -α)= tanα 2 X1*X2=c/a (以上 k∈Z) 这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大 注:韦达定理 家有用 判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根 A?sin(ωt+θ)+ B?sin(ωt+φ) = A 2 ? B 2 ? 2 AB cos(? ? ? ) × sin
? t ? arcsin[(As in ? ? Bsin ? )
A 2 ? B 2 ? 2 AB cos(? ? ? )

b2-4ac>0 注:方程有一个实根 b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根

三角函数公式 两角和公式

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前 n 项和

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) 余弦定理 tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 正切定理 [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

圆的标准方程

a 是圆心角的弧度数 r >0
扇形面积公式

(x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程

s=1/2*l*r
锥体体积公式

x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0
抛物线标准方程

V=1/3*S*H
圆锥体体积公式

y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积

V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积

S=c*h
斜棱柱侧面积

V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长
柱体体积公式

S=c'*h
正棱锥侧面积

S=1/2c*h'
正棱台侧面积

V=s*h
圆柱体

S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积

V=pi*r2h ------------------------------------------------三角函数 积化和差 和差化积公式

S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l
球的表面积

记不住就自己推,用两角和差的正余弦:

S=4pi*r2
圆柱侧面积

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
这两式相加或相减,可以得到 2 组积化和差:

S=c*h=2pi*h
圆锥侧面积

相加:cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 相减:sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式

l=a*r

这两式相加或相减,可以得到 2 组积化和差:

相加:sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 相减:sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2
这样一共 4 组积化和差,然后倒过来就是和差化积了 正加正 正在前 正减正 余在前

余加余 都是余 余减余 没有余还负

正余正加 余正正减 余余余加 正正余减还负

3.三角形中的一些结论:(不要求记忆) (1)tanA+tanB+tanC=tanA· tanB· tanC (2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)· sin(B/2)· sin(C/2)+1 (4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA· sinB· sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1



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