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染色


染色问题是被国内外数学竞赛中广泛采用的一类问题,高考偶尔也 会在这里命题.这类问题不需要考生有很高深的理论知识,主要是考查 考生的思维能力、分析能力与观察能力.本文就高考中出现的一类染色 问题做一个深入的探究. [问题]如图 1,一个圆环被分成 n(n≥3)个区域,现用 m(m≥3)种颜 色给这 n 个区域染色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,同一种 颜色可以多次使用,则不同的染色方案有多少种? 解 设 an 表示圆环被分成 n(n≥3)个区域后的染色方案数,则区域 1 有 m 种染色方案,区域 2 有 m-1 种染色方案,区域 3 也有 m-1 种染 色方案,…,区域 n(n>3)也有 m-1 种染色方案,共有 m(m-1) 种染色 方案.但上述染色可能出现区域 1 和区域 n 同色的情况,故要排除这种 情部.若区域 1 和区域 n 同色,则可以把区域 1 和区域 n 看成是同一个 区域,根据假设知此时有 an-1 种染色方案.从而当 n≥4 时有 an=m(m-1)
-1 n-1 n n-1

-an-1.下面的任务就是求出 an 的通项公式. n≥4 时,∵an=m(m-1) -ann n-1 n 3

1

,∴an-(m-1) =-[an-1-(m-1) ].数列{an-(m-1) }是以 a3-(m-1) 为首项,
n

-1 为公比的等比数列.又∵a3=m(m-1)(m-2),∴an-(m-1) m(m-1)(m-2)(m-1) ](-1) =(m-1)(-1) . an=(m-1) +(m-1)(-1) (n≥3). [应用]让高考题做起来也很简单! 题 1 (2003 年全国卷)如图 2,一个地区分为 5 个
n n 3 n-3 n

行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法有____种. 题 2 (2003 年江苏卷)如图 3,某城市在中心广场建造一个花圃, 花圃分为 6 个部分.现要栽种 4 种不同颜色的花且相邻部分不能同 色,不同的栽种方法有____种. 分析 上述两个问题本质上都转化用 3 种颜色对图 4 和图 5 圆环区域的 染色问题.根据上面推导的结论易知有递推关系:an=2 +2(-1) .
n n

解:(题 1)∵an=2 +2(-1) , ∴a4=18. 区域 1 有 4 种染色方案,故由分步计数原理知不同的染色方案有 4×18 =72(种). (题 2)∵an=2 +2(-1) ,∴a5=30.又区域 1 有 4 种染色方案,故由分步计 数原理知不同的染色方案有 4×30=120(种).
n n

n

n

[反思]吃透本质,合理使用此类递推关系的模型. 题 3 (2005 年苏锡常一模)如图 6,在一个田字形区域 A,B,C,D 中栽 种观赏植物,要求同一个区域中种同一种植物,相邻两区域中种不同的 植物(A 与 D,B 与 C 不为相邻).现有 4 种不同的植物可供选择,则不同 的种植方案有____种.

题 4 (2005 年内蒙一模)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并 使一条棱的两端异色,若只有 4 种颜色可供选择,则不同的染色方案有 ____种.

分析 (如图 6、7)应用此类递推模型,关键是对具体的问题要看 清它的本质.比如题 4, 问题出现的环境是在正四棱锥中, 其实它的本质 就是一个环形的染色问题, 从而可以迅速的应用我们的结论得到问题的 答案. 解 (题 3)∵an=3 +3(-1) , ∴a4=84,故不同的种植方案有 84 种. (题 4)∵an=2 +2(-1) ,∴a4=18. 从而知 A,B,C,D 四点的染色方案有 18 种,又点 P 的染色方案有 4 种,由分步计数原理知共有不同的染色方案 4×18=72 种. 注 本题可以推广到正 n 棱锥的情况,结果为:2 +8(-1) .
n+2 n n n n n


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