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长郡中学实验班选拔考试试卷(数学)


长郡中学 2008 年高一实验班选拔考试试卷(数学 12)
注意: (1) 试卷共有三大题 16 小题,满分 120 分,考试时间 80 分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.

一、 选择题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)下面每小题给出的四个选项中,只有一 个是正确的,请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1.在直角坐标系中,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数,则该点一定不在( (A) 直线 y = –x 上 (C) 直线 y = x 上 (B) 抛物线 y = x 上 (D) 双曲线 xy = 1 上
2

)

2.以等速度行驶的城际列车,若将速度提高 25%,则相同距离的行车时间可节省 k%,那么 k 的值是 ( (A) 35 ) (B) 30 (C) 25 (D) 20 )

3.若-1< a <0,则 a, a 3 , 3 a ,

1 一定是 ( a
3

(A) (C)

1 3 最小, a 最大 a 1 最小,a 最大 a

(B) (D)

a 最小, a 最大
3

1 最小, a

a 最大

4.如图,将△ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90°,得 △ABF,连结 EF 交 AB 于 H,则下列结论错误的是( (A) AE⊥AF (C) AF2 = FH·FE (B)EF:AF = 2 :1 (D)FB :FC = HB :EC )
第4题

5.在△ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 上,且 CD 与 BE 相交于点 F,已知△BDF 的面积 为 10,△BCF 的面积为 20,△CEF 的面积为 16,则四边形区域 ADFE 的面积等于( (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44 )

6.某医院内科病房有护士 15 人,每 2 人一班,轮流值班,每 8 小时换班一次,某两人同值一 班后,到下次两人再同班,最长需要的天数是( (A)30 (B)35 (C)56 )

(D) 448

二、填空题(本题有 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7.若 4sin2A – 4sinAcosA + cos2A = 0, 则 tanA = ___ ___ .

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第1页

8.在某海防观测站的正东方向 12 海浬处有 A、B 两艘船相会之后,A 船以每小时 12 海浬的速 度往南航行,B 船则以每小时 3 海浬的速度向北漂流. 则经过 A、B 两船恰成一个直角三角形. 9.如右图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其 长、宽分别为 4、2,则通过 A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式 是 .
(第 9 题)

小时后,观测站及

10.桌面上有大小两颗球,相互靠在一起。已知大球的半径为 20cm,小 球半径 5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm. 11.物质 A 与物质 B 分别由点 A(2,0)同时出发,沿正方形 BCDE 的周界做环绕运动, 物质 A 按逆时针方向以 l 单位/秒等速运动, 物质 B 按顺时针方向,以 2 单位/秒等速运动,则两个物质运动 后的第 11 次相遇地点的坐标是 .
(第 11 题)

12.设 C1 , C 2 , C 3 , … … 为一群圆, 其作法如下:C1 是半径为 a 的圆, 在 C1 的圆内作四个相等的圆 C2 (如图), 每个圆 C2 和圆 C1 都内切, 且相邻的两个圆 C2 均外切, 再在每一个 圆 C2 中, 用同样的方法作四个相等的圆 C 3 , 依此类推作 出 C 4 , C 5 , C 6 , …… , 则 (1) 圆 C2 的半径长等于 表示); (2) 圆 Ck 的半径为 正整数,用 a 表示,不必证明) ( k 为 (用 a

第 12 题

三、解答题(本题有 4 个小题,共 60 分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 13.(本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,且 AD 是圆 O 的直径,DC 与 AB 的延长线相交于 E 点,OC∥AB. (1) 求证 AD = AE; (2) 若 OC=AB = 4,求△BCE 的面积.

第 13 题

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第2页

14.(本题满分 14 分)已知抛物线 y = x2 + 2px + 2p –2 的顶点为 M, (1) 求证抛物线与 x 轴必有两个不同交点; (2) 设抛物线与 x 轴的交点分别为 A,B,求实数 p 的值使△ABM 面积达到最小.

15 (本小题满分 16 分)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表: 胜一场 平一场 积分 奖励(元/每人) 3 1500 1 700 负一场 0 0

当比赛进行到 12 轮结束(每队均要比赛 12 场)时,A 队共积 19 分。 (1) 试判断 A 队胜、平、负各几场? (2) 若每一场每名参赛队员均得出场费 500 元,设 A 队中一位参赛队员所得的奖金与出场 费的和为 W(元) ,试求 W 的最大值.

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第3页

16(本小题满分 18 分)已知:矩形 ABCD, (字母顺序如图) 的边长 AB=3,AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系 xOy 中, 使 AB 在 x 轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限, 且直线 y =
3 x-1 经过这两个顶点中的一个. 2
(第 16 题)

(1)求出矩形的顶点 A、B、C、D 的坐标; (2) AB 为直径作⊙M, 以 经过 A、 两点的抛物线, = ax2 B y +bx+c 的顶点是 P 点. ① 若点 P 位于⊙M 外侧且在矩形 ABCD 内部,求 a 的取值范围; ② 过点 C 作⊙M 的切线交 AD 于 F 点,当 PF∥AB 时,试判断抛物线与 y 轴的交点 Q 是 位于直线 y =

3 x-1 的上方?还是下方?还是正好落在此直线上?并说明理由. 2

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第4页

2005 年高一实验班选拔考试数学卷评分标准
一、 选择题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.D 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B

二、填空题(本题有 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7.

1 . 2

8.2. 11.( –

9. y = –

5 2 1 20 x – x + . 2 12 3

10.20.

4 ,–2). 3
.

12.(1) 圆 C2 的半径 ( 2 ? 1) a ; (2)圆 Ck 的半径 ( 2 –1 )n – 1 a 三、解答题 13.(本小题满分 12 分) (1)证 1.∵AD 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, ∴∠ACD = 90?,即 AC⊥DE. 又∵OC∥AE,O 为 AD 中点, ∴AD = AE. 4分

证 2 ∵O 为 AD 中点,OC∥AE,
∴2OC = AE, 又∵AD 是圆 O 的直径, ∴ 2OC = AD, ∴AD = AE. 分 (2)由条件得 ABCO 是平行四边形, ∴BC∥AD, 又 C 为中点,∴AB =BE = 4, ∵AD = AE, ∴BC = BE = 4, 连接 BD,∵点 B 在圆 O 上, ∴∠DBE= 90?, ∴CE = BC= 4, 即 BE = BC = CE= 4, ∴ 所求面积为 4 3 . 4分 4分 4

14.(本题满分 14 分) 解:(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 ,

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第5页

∴抛物线与 x 轴必有两个不同交点. (2) 设 A (x1, 0 ), B( x2, 0), 则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = ∴|AB| = 2 (p ?1) 2 ? 1 . 又设顶点 M ( a , b ), 由 y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得 b = – ( p – 1 )2 – 1 . 当 p =1 时,|b|及|AB|均取最小,此时 S△ABM =
1 |AB||b|取最小值 1 . 2

4分

[4 ( p –1)2 + 4]2, 5分

5分

15 (本小题满分 16 分) 解: (1)设 A 队胜 x 场,平 y 场,负 z 场,
?x ? y ? z ? 12 ?y ? 19 ? 3x 得? ,可得: ? 3x ? y ? 19 ? ?z ? 2x ? 7

4分

依题意,知 x≥0,y≥0,z≥0,且 x、y、z 均为整数,
?19 ? 3x ? 0 ? ∴ ?2 x ? 7 ? 0 ?x ? 0 ?

解得:

7 19 ≤x≤ 2 3

,∴ x 可取 4、5、6

4分

∴ A 队胜、平、负的场数有三种情况: 当 x=4 时, y=7,z=1; 当 x=5 时,y= 4,z = 3 ; 当 x=6 时,y=1,z= 5. (2)∵W=(1500+500)x + (700+500)y +500z= – 600x+19300 当 x = 4 时,W 最大,W 最大值= – 60×4+19300=16900(元) 答略. 4分 4分

16(本小题满分 18 分) 解:(1)如图,建立平面直有坐标系, ∵矩形 ABCD 中,AB= 3,AD =2, 设 A(m 0) m > 0 ), 则有 B(m+3 0); ( C(m+3 2), D(m 2); 若 C 点过 y =

3 3 x-1;则 2= (m+3)-1, 2 2

m = -1 与 m>0 不合; ∴C 点不过 y=

3 x-1; 2

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第6页

若点 D 过 y=

3 3 x-1,则 2= m-1, m=2, 2 2
5分

∴A (2, 0), B(5,0),C(5,2 ), D(2,2); (2)①∵⊙M 以 AB 为直径,∴M(3.5 0), 由于 y = ax2+bx+c 过 A(2, 0)和 B(5 ,0)两点, ∴?

?0 ? 4a ? 2b ? c ?b ? ?7a ∴? ?0 ? 25a ? 5b ? c ?c ? 10a

2分

∴y = ax2-7ax+10a ( 也可得:y= a(x-2)(x-5)= a(x2-7x+10) = ax2-7ax+10a ) ∴y = a(x-

7 2 9 ) - a; 2 4 7 9 , - a) 2 4
2分

∴抛物线顶点 P(

∵顶点同时在⊙M 内和在矩形 ABCD 内部, ∴

3 9 8 2 <- a < 2,∴- <a<– . 9 3 2 4

3分

② 设切线 CF 与⊙M 相切于 Q,交 AD 于 F,设 AF = n, n>0; ∵AD、BC、CF 均为⊙M 切线,∴CF=n+2, DF=2-n; 在 Rt?DCF 中, ∵DF2+DC2=CF2; ∴32+(2-n)2=(n+2)2, ∴n=

9 9 , ∴F(2, ) 8 8 9 9 9 1 ;∴- a = ,∴a = - ; 8 4 8 2
3分

∴当 PF∥AB 时,P 点纵坐标为 ∴抛物线的解析式为:y= -

1 2 7 x + x-5 2 2

抛物线与 y 轴的交点为 Q(0,-5) , 又直线 y =

3 x-1 与 y 轴交点( 0,-1) ; 2 3 x-1 下方. 2
3分

∴Q 在直线 y=

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