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第五章线性系统的频域分析法



第五章 线性系统的频率法分析

提示: 提示: 信号的分解: 信号的分解:信号可分解为三角函数的线 性组合(傅里叶级数与傅里叶变换) 性组合(傅里叶级数与傅里叶变换) 基本信号: 基本信号:正弦信号 特点: 特点: 1. 图解法,计算量小 图解法, 2. 物理意义明确,可实验测定 物理意义明确, 3. 可兼顾系统动态特性与噪声抑制 4. 可适用于某些非线性系

统 频率特性

本章主要内容
频率特性的基本概念 特性曲线的绘制 性能指标的求取:稳定性与动态性能指标 频域分析方法

5-2 频 率 特 性

一、基本概念
C (s) G (s) = R (s)

r(t) = Asinωt
k1 k2 = + + s + jω s jω

Aω R(s) = 2 2 s +ω

Aω C ( s) = 2 G(s) 2 s +ω



n

i =1

ki s si

Aω(s + jω) AG( jω) k1 = C(s)(s + jω) |s = jω = G(s) = (s + jω)(s jω ) s = jω 2j
Aω ( s jω ) k 2 = C ( s )( s jω ) |s = jω = G ( s ) ( s + jω )( s jω ) AG ( jω ) = 2j

s = jω

G( jω) =| G( jω) | e

j∠G( jω)

= A(ω)e

j (ω)

G( jω) = G(s) |s= jω

G( jω) = G(s)|s= jω =| G( jω)| e j∠G( jω) = A(ω)e j(ω)

A A j (ω ) k1 = G( jω ) e    k2 = G( jω ) e j (ω ) 2j 2j

c (t ) = k1e

jω t

+ k2 e

jω t

A G ( jω ) e j (ω t + ) e j (ω t + ) = 2j

= A G ( jω ) sin(ω t + (ω ))
正弦信号作用下线性时不变系统稳态响应是同频的正弦信号

G ( jω )

:反映幅值衰减

(ω ) :相移
可以作为系统模型

G( jω) = G(s) |s= jω = G( jω) e j(ω)

定义 幅频特性

A(ω ) =| G( jω ) |
(ω ) = ∠G ( jω )

它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性; 它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性; 相频特性

它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性; 它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性; 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 G ( jω ), 频率特性。 频率特性 G ( jω ) = A(ω )e j (ω ) ,它也是 ω 的函数。G( jω) 称为频率特性 还可将 G ( jω ) 写成复数形式,即

G ( jω ) = P(ω ) + jQ(ω ) 这里 P(ω ) = Re[G ( jω )] 和 Q(ω ) = Im[G( jω )] 分别称为系统的实
频特性和虚频特性。

例:

K G (s) = Ts + 1
求T、K的值 、 的值

r(t) = sin t

2 c (t ) = sin(t 45o ) 2

K G ( jω ) = 1 + jT ω

A(ω ) =

K 1 + ω 2T 2

ω =1
由相频特性可得, 由相频特性可得,T=1 由幅频特性可得, 由幅频特性可得,K=1

(ω ) = arctan T ω

二、频率特性的几何表示法 极坐标频率特性曲线(又称奈魁斯特曲线) 对数频率特性曲线(又称波德图) 对数幅相特性曲线(又称尼柯尔斯图)

一、极坐标频率特性曲线(奈魁斯特Nyquist曲线) 极坐标频率特性曲线(奈魁斯特Nyquist曲线) Nyquist曲线 它是在复平面上用一条曲线表示ω 由 0 → ∞ 时的频率特性。 即用矢量 G ( jω ) 的端点轨迹形成的图形。 ω 是参变量。在曲线 的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。 由于 | G ( jω ) |是偶函数, 所以当 ω 从 ∞ → 0 和 0 → ∞ 变化时,奈魁 斯特曲线对称于实轴。
ω =0

Q(ω )
A(ω ) (ω ) ω =∞

ω

P(ω )

G(s) =

s +1 s2 + s +1

num=1; den=[1 1]; nyquist(num,den)

K 例 G (s) = Ts + 1
取两个特殊点: 取两个特殊点:

K G ( jω ) = 1 + jT ω

A(ω ) =

K 1 + ω 2T 2

(ω ) = arctan T ω
(ω) = 0

ω =0

A(ω) = K

ω =∞

A(ω) = 0

(ω) = 90

o


σ

二、对数频率特性曲线(波德Bode图) 对数频率特性曲线(波德Bode图 Bode 它由两条曲线组成:幅频特性曲线和相频特性曲线。 波德图坐标(横坐标是频率,纵坐标是幅值和相角)的分度: 横坐标分度: 横坐标分度:它是以频率 ω 的对数值 log ω 进行分度的。所以 横坐标(称为频率轴)上每一线性单位表示频率的十倍变化, 称为十倍频程(或十倍频),用Dec表示。如下图所示:
Dec Dec Dec Dec

∞...
0

2
0.01

1
0.1

0 1

1 10

2 100

log ω

ω

ω 由于 以对数分度,所以零频率线在 ∞ 处。

纵坐标分度: 纵坐标分度:幅频特性曲线的纵坐标是以log A(ω )或20 log A(ω ) 表示。其单位分别为贝尔(Bl)和分贝(dB)。直接将log A(ω ) 或 20 log A(ω ) 值标注在纵坐标上。
dB

L = 20 log A

在半对数坐标中,自变量是 在半对数坐标中,

-40dB/dec -20dB/dec

log ω

20 k = = 20 log1 log0.1 ω
A(ω ) = 1

直线方程: L = 20 log ω 直线方程:

ω

L = 40 log ω

A(ω ) =

1

ω2

使用对数坐标图的优点: 使用对数坐标图的优点: 可以展宽频带;频率是以10倍频表示的,因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐进线) 近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示,并用分段直线近 似的方法,可以很容易的写出它的频率特性表达式。 对数幅相特性曲线(又称尼柯尔斯图) 三、 对数幅相特性曲线(又称尼柯尔斯图) 尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成 一条曲线。横坐标为相角特性,单位度或弧度。纵坐标为对数 幅频特性,单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。

5-3 典型环节频率特性和 开环频率特性

一、典型环节的频率特性
比例环节: ⒈ 比例环节: G ( s ) = K ;

G ( jω ) = K

幅频特性: (ω ) = K ;相频特性: (ω ) = 0 A L(ω ) / dB 对数幅频特性:
20 log K K >1 20 log K 20 log K K = 1 log ω K <1

> 0 L(ω ) = 20 lg K = 常数 = = 0 < 0

K >1 K =1 K <1

相频特性:
log ω
0° (ω ) = ∠ K = 180° K ≥0 K <0

(ω )

180°

K ≥0
K <0

180°

K 积分环节的频率特性: ⒉ 积分环节的频率特性:G ( s ) = s π K (ω) = tg1(ω /0) = A(ω) =

K K K π G ( jω ) = =j = e 2 jω ω ω
L(ω) = 20log A(ω) = 20log = 20log K 20log ω, K

ω

2

ω

L(ω ) / dB 40 20
20 40

K = 10

当K = 1 时,ω = 1, L(ω) = 0;

ω

当ω = 10时,L(ω) = 20

1 10 100
K =1

可见斜率为- 可见斜率为-20/dec
当K ≠ 0时,ω = 1, L(ω) = 20log K;

(ω )
90°

ω
1 10 100

当ω = K时,L(ω) = 0

当有两个积分环节时可见斜率为 -40/dec

与零分贝线的交点=? 与零分贝线的交点=?

ω= K

惯性环节的频率特性: ⒊ 惯性环节的频率特性:
A(ω ) = 1 1 + T 2ω 2 ,

G (s) =

1 Ts + 1

G ( jω ) =

1 jT ω + 1

(ω ) = tg 1T ω

幅频特性 L(ω) = 20log A(ω) = 20log K 20log 1+ T 2ω2 低频段:当Tω << 1时,ω 高频段:当 Tω >> 1时, ω

1/T
1/ T

L(ω) ≈ 0

L(ω) ≈ 20log Tω = 20logω 20logT

这是一条斜率为 斜率为-20dB/Dec的直线 斜率为 的直线 低频高频渐近线的交点为: log K = 20 log K 20 log Tω , 20
1 Tω = 1, ω o = ,称为转折频率或交接频率。 T

渐近对数幅频特性曲线

1 20T

1 10T

1 5T

1 2T

1 T

2 T

5 T

10 T

20 T

图中,红、绿线分别是低频、高频渐近线,蓝线是实际曲线。

波德图误差分析(实际频率特性和渐近线之间的误差): 波德图误差分析(实际频率特性和渐近线之间的误差): 当ω ≤ ω o 时,误差为: 1 = 20 log 1 + T 2ω 2 当ω > ω o 时,误差为: 2 = 20 log 1 + T 2ω 2 + 20 log Tω 最大误差发生在
1 ω = ω o = 处,为 T

max = 20log 1 + T 2ω0 ≈ 3(dB)
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T

2

相频特性: 相频特性:

(ω ) = tg 1Tω

当 ω = 0时, (0) = 0; 当 ω = 1 / T 时, (1 / T ) = 45o ; 当 ω = ∞ 时, ( ∞ ) = 90 o 。
由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( ω0, -45°) 点是斜对称的,这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T 变化时,对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变,仅仅是 根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当 增益改变时,相频特性不变,幅频特性上下平移。

K Kω n = 2 振荡环节的频率特性: ⒋ 振荡环节的频率特性: G ( s ) = 2 2 T s + 2ζTs + 1 s + 2ζω n s + ω n 2
2

讨论 0 ≤ ζ ≤ 1时的情况。当K=1时,频率特性为:
1 G ( jω ) = (1 T 2ω 2 ) + j 2ζωT

幅频特性为: 相频特性为:

A(ω ) =

1

(1 T 2ω 2 ) 2 + ( 2ζωT ) 2 2ζωT (ω ) = tg 1 1 T 2ω 2

L 对数幅频特性为: (ω ) = 20 log A(ω ) = 20 log (1 T 2ω 2 ) 2 + (2ζωT ) 2

低频段渐近线: Tω << 1时,L(ω ) ≈ 0 高频段渐近线: Tω >> 1时,L(ω ) ≈ 20 log (T 2ω 2 ) 2 = 40 log Tω 1 两渐进线的交点 ω o = 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。 T

2ζωT 相频特性: (ω ) = tg 1 T 2ω 2
1

几个特征点: = 0,(ω) = 0;  ω = 1/ T,(ω) = 90o ;  ω = ∞,(ω) = 180o。 ω 由图可见:
K = 10,T = 1,ζ = 0.3 10 G( jω) = 2 s + 0.6s +1 1 ωo = T

40dB/ Dec



① 对数相频特性曲线 在半对数坐标系中 对于( ω0, -90°)点 是斜对称的。 ② 对数幅频特性曲线 有峰值。

对 A(ω ) 求导并令等于零,可解得 A(ω ) 的极值对应的频率 ω r 。

ω r = ω n 1 2ζ 2
该频率称为谐振峰值频率。可见,当 ζ = 当ζ
> 1 2

1 = 0.707 时, r = 0 ω 2



时,无谐振峰值。当 ζ
M r = A(ω r ) =

<
1

1 2

时,有谐振峰值。

2ζ 1 ζ 2

1 当ω = ω 0 , A(ω0 ) = ,(ω 0 ) = 20 lg 2ζ 。 2ζ L

因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能 有很大的误差。

L(ω )(dB )



= 0 .1 = 0 .2 = 0 .3 = 0 .5 = 0 .7 = 1 .0



= 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.4 = 0.5 = 0.6

= 0.7 = 0.8 = 1.0

(ω )(deg)

1 10T

1 5T

1 2T

1 T

2 T

5 T

10 T



= 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.5 = 0.7 = 1 .0

1 10T

1 5T

1 2T

1 T

2 T

5 T

10 T

左图是不同阻尼系数情况下的 对数幅频特性和对数相频特性 图。上图是不同阻尼系数情况 下的对数幅频特性实际曲线与 渐近线之间的误差曲线。

微分环节的频率特性: ⒌ 微分环节的频率特性: 微分环节有三种:纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为: G( s) = s

G ( s ) = 1 + Ts G ( s ) = T 2 s 2 + 2ζTs + 1 频率特性分别为: G ( jω ) = jω

G ( jω ) = 1 + jTω G ( jω ) = 1 T 2ω 2 + j 2ζωT

纯微分: ① 纯微分: 20 A(ω ) = ω L(ω ) = 20 log A(ω ) = 20 log ω 0 0.1 π 20 (ω ) =
2

L(ω )(dB)
20dB / dec
微分环节

ω (rad / s )

1

10 20dB / dec
积分环节

(ω )(deg)
90°
微分环节

0 0.1
90°

ω (rad / s )
1 10
积分环节

一阶微分: ② 一阶微分:
A(ω ) = 1 + T 2ω 2 , (ω ) = tg 1Tω L(ω ) = 20 lg 1 + T 2ω 2

对数幅频特性(用渐近线近似):

当 低频段渐进线: Tω << 1时,A(ω ) ≈ 1, 20 log A(ω ) = 0 当 高频段渐进线: Tω >> 1时,A(ω ) ≈ Tω,L(ω ) = 20 log Tω
这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为ω = 相频特性:几个特殊点如下
ω = 0, (ω ) = 0;  ω = 1/ T , (ω ) = 450 ;  ω = ∞, (ω ) = 900

1 T

相角的变化范围从0到900 。

L(ω )(dB)

30

20

10

0

(ω )(deg)
90°

渐近线

45°

0° 1 20T

1 10T

1 5T

1 2T

1 T

2 T

5 T

10 T

20 T

1 20T

1 10T

1 5T

1 2T

1 T

2 T

5 T

10 T

20 T

二阶微分环节: ③ 二阶微分环节: 幅频和相频特性为:

G ( s) = T 2 s 2 + 2ζTs + 1
2 2 2 2 1

2ζωT A(ω ) = (1 T ω ) + ( 2ζωT ) , (ω ) = tg 1 T 2ω 2 L(ω ) = 20 lg (1 T 2ω 2 ) 2 + ( 2ζωT ) 2

低频渐进线: Tω << 1时,L(ω ) ≈ 0 高频渐进线: Tω >> 1时,L(ω ) = 20 lg (1 T 2ω 2 ) 2 + (2ζωT ) 2 ≈ 40 log Tω
1 ,高频段的斜率+40dB/Dec。 T 1 相角: ω = 0时, (ω ) = 0; ω = , (ω ) = π ; ω = +∞, (ω ) = π 当 T 2

转折频率为: o = ω

可见,相角的变化范围从0~180度。

( )(deg)

L(ω )(dB)

180°
1 .0

150° 120° 90° 60° 30°

L( )(dB )

0. 7 0. 5 0. 3 0. 2 0. 1

= 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.5 = 0.7 = 1.0

10

渐近线
1 .0 0 .7

(ω )(deg)

0

0 .5 0 .3 0 .2

-10

0 .1



= 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.5 = 0.7 = 1 .0

-20
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T

1 10T

1 5T

1 2T

1 T

2 T

5 T

10 T

延迟环节的频率特性: ⒍ 延迟环节的频率特性: L(ω )(dB) 传递函数: ( s ) = e τs G

G 频率特性: ( jω ) = e jτω 幅频特性:A(ω ) = 1
相频特性: (ω ) = ωτ ( rad ) = 57.3ωτ (deg)
(ω )

1 10τ

1 5τ

1 2τ

1

2

5

10

τ

τ

τ

τ

7. 非最小相位环节 定义:在右半S平面上既无极点也无零点,同时无纯滞后环节 的系统是最小相位系统,相应的传递函数称为最小相位传递函 数;反之,在右半S平面上具有极点或零点,或有纯滞后环节 的系统是非最小相位系统,相应的传递函数称为非最小相位传 递函数。
1 G1 ( s ) = T1 s + 1 1 G2 ( s ) = 1 T1 s

G1 ( jω) = G2 ( jω) =

1 1+ω2T12

1 (ω ) = tan 1 ωT 2 (ω ) = tan 1 ωT

非最小相位系统对数幅频特性与系统函数有一一对应的关系

小结
比例环节和积分环节的频率特性 惯性环节的频率特性—低频、高频渐进线,斜率-20,转折频 惯性环节的频率特性 低频、高频渐进线,斜率 , 低频 率 =1 ω
0

T

ω0 = 振荡环节的频率特性—波德图:低频、高频渐进线,斜率 , 振荡环节的频率特性 波德图:低频、高频渐进线,斜率-40, 波德图 T 转折频率

1

微分环节的频率特性—有三种形式:纯微分、 微分环节的频率特性 有三种形式:纯微分、一阶微分和二阶 有三种形式 微分。分别对应积分、一阶惯性和振荡环节 微分。分别对应积分、 延迟环节的频率特性

二、开环幅相特性曲线的绘制 例 G (s)H (s) = ① G( jω) =
K s (T1 s + 1)(T2 s + 1)



A(ω ) =

K

K jω(1+ jT1ω)(1 + jT2ω)

ω 1 + ω 2T2 2 1 + ω 2T12

(ω ) = 90o tg 1T1ω tg 1T2ω

③ A(0) = ∞ (0) = 90o ⑤
(ωx ) = 180o

A(∞) = 0 (∞) = 270o




ωx

σ

tg 1T1ω x + tg 1T2ω x = 90o
1 ω x T1T2 = 0
2

ωx =

1 T1T 2

ωx

KTT2 A(ωx ) = 1 T1 +T2

:穿越频率

例 G (s)H (s) = ① G( jω) =

K (τ s + 1) s (T1 s + 1)(T2 s + 1)

② A(ω ) =

K 1 + ω 2τ 2

K jω(1+ jT1ω)(1 + jT2ω)

ω 1 + ω 2T2 2 1 + ω 2T12

(ω ) = 90o tg 1T1ω tg 1T2ω + tg 1τω

③ A(0) = ∞ (0) = 90o ⑤
(ωx ) = 180o

A(∞) = 0 (∞) = 180o




σ

tg 1T1ω x + tg 1T2ω x = 90o + tg 1τω x

ω T1 + ω T2 1 = 2 1 ω x T1T2 τω
(T1T2 T1τ T2τ )ω 2 = 1

TT2 τ< 1 T +T2 1

课堂作业: 课堂作业: 已知系统开环传递函数

K (τ s + 1) G ( s) H ( s) = 2 s (Ts + 1)
试绘制奈奎斯特曲线

三、开环对数幅相特性曲线绘制(Bode图) 开环对数幅相特性曲线绘制( 开环对数幅相特性曲线绘制 图

K (τ 1 s + 1)(τ 2 s 2 + 2ζ 2τ 2 s + 1)… G (s)H (s) = γ s (T1 s + 1)(T2 s 2 + 2ζ 2 T2 s + 1)…

L(ω ) = 20 log A(ω ) = ∑ Li (ω )
i =1

N

(ω ) = ∑ i (ω )
i =1

N

开环系统对数频率特性曲线的绘制方法: 开环系统对数频率特性曲线的绘制方法:先画出每一个典型环 节的波德图,然后相加。 节的波德图,然后相加。

k , T1 > T2 ,试 [例]:开环系统传递函数为:G ( s ) = s (1 + T1s)(1 + T2 s ) 画出该系统的波德图。
[解]:该系统由四个典型环节组成。一个比例环节,一个积分环 节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。
20
1 T1 1 T2

(ω )
45o
90o 135o

1 T1

1 T2

20 40 60 80

40

60

180o







然后,在图上相加。

270o

幅频曲线由折线(渐进线)组成,在转折频率处改变斜率。 绘制步骤: 1.开环传递函数典型环节分解 1.开环传递函数典型环节分解 2.确定和各转折频率 ,并将这些频率按小大顺序依次 确定和各转折频率 标注在频率轴上; 标注在频率轴上; 3.确定低频渐进线: 3.确定低频渐进线: 确定低频渐进线 在第一个转折频率之前, 在第一个转折频率之前,有
ω =1
L(ω ) = 20 log K

K G (s) = ν s
L(ω) = 0

斜率为- × 斜率为-20×γ

K / ων = 1

ω = Kν

1

4.确定其他特性曲线,在转折频率处斜率发生变化 确定其他特性曲线,



100( s + 2) G (s)H (s) = = s ( s + 2)( s + 20)

ω1 = 1
40 20 -20

ω2 = 2

ω3 = 20

10(0.5 s + 1) s s ( s + 1)( + 1) 20

截止频率: 截止频率:ω c
ωc 2 0 lo g = L1 ω2

-40 1 2 10 -20 -40 20

L1 = 20log K 40log

2 1

ωc = 5

rad / s

A(ω c ) = 1
三频段:低频段, 三频段:低频段,第一个转折频率之前 中频段, 中频段,截止频率附近 高频段, 高频段,中频段之后
10 × 0.5ω c A(ω c ) = =1 ωc × ωc

K G( s) = s( s + 1)( s + 5)

ωc ωc 2 + 12 (0.2ωc )2 + 12 = 2

[例]系统开环特性为: 试画出波德图。
ω 则, 1 =

10 Gk ( s ) = (0.25s + 1)(0.25s 2 + 0.4 s + 1)

[解]:1、该系统是0型系统,所以 ν = 0, k = 10, T1 = 0.25, T2 = 0.5
1 1 = 4, ω 2 = = 2,20 log k = 20dB T1 T2

2、低频渐进线:斜率为 20ν = 0dB,过点(1,20) 3、波德图如下:
A(ω )
20

40
4 60

1

2

10

log ω

[例]已知

10 3 (1 + 100s ) 2 ,试画波德图。 G (s) = 2 s (1 + 10 s )(1 + 0.125s )(1 + 0.05s )
1 1 = 0.01, ω 2 = = 0.1, 100 10

[解]:1、k = 10 3 ,20 log k = 60;ν = 2; ω1 =
1 1 ω3 = = 8, ω 4 = = 20, 0.125 0.05

2、低频渐进线斜率为 20ν = 40dB ,过(1,-60)点。 3、高频渐进线斜率为 : 20 × (n m) = 60 4、画出波德图如下页:

2
1



2

(1,60)

3

红线为渐进线,兰线为实际曲线。

3e j 0.5ω [例]具有延迟环节的开环频率特性为:Gk ( jω ) = ,试画 1 + jω 出波德图。

[解]:Gk ( jω ) =

3 1+ ω 2

e jω e j 0.5ω =

3 1+ ω 2

e j1.5ω

可见,加入了延迟环节的系统其幅频特性不变,相位特性 滞后了。
L(ω )
20 log 3

(ω )

1

10
tg1ω

100

ω
1

45o
90
o



10

100



0.5ω (ω)

ω

四、传递函数的频域实验确定 由频响实验,描点, 由频响实验,描点,得Bode图,再求系统函数 图

Ks G(s)H (s) = (T1s +1)(T2 s + 2ζ T2 s +1)
ω1 : ω2 :
ζ:

ω1 20log = 12 ωc1 ωc1 40log = 12 ω2
Mr = 1 2ζ 1 ζ
2

1 ωc1 = K

20 12

ω c1

ω1

ω2

ωc 2

20log Mr = 8



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