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集合中易错点整理



集合中易错点整理 1、 设关于 x 的不等式 x ? x ? a ?1? ? 0 ? a ? R ? 的解集为 M , 不等式 (1)当 a ? 1 时,求集合 M ; (2)若 M ? N ,求实数 a 的取值范围. 【正确答案】 (Ⅰ)当 a ? 1 时, 所 3分 (Ⅱ) 5分 ①当 a ? ?1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ,所以 M ? {x | a ? 1 ? x

? 0} . 因 为 M?N 7分 ② 若 a ? ?1 时 , 8分 ③若 a ? ?1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ,所以 M ? {x | 0 ? x ? a ? 1} . 又 N ? x ?1 ? x ? 3 , 因为 M ? N , 所以 0 ? a ? 1 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 2 9分 综上所述, a 的取值范围是 [?2, 2] . 10 分 说明②可以并入①,也可并入③,每一种 2 分,一共 4 分,最后结论 1 分 【 方 法 二 】 (Ⅱ 5分 由题得 ? 6分 解得 ? 2 ? a ? ?1 7分 ) 【 方 法 一 】 由 已 知 得 N ? x ?1 ? x ? 3 【 方 法 一 】 由 已 知 得 由已知得 x( x ? 2) ? 0 . 以

x ?1 ? 0 的解集为 N . x?3

M ?{

x| ?

.

0

x?

N ? ?x ? 1 ? x ? 3?

.

a , 所 以 ?1 ?

1 ?

? 0 , 解 得 ?2 ? a ? ?1

M ? ? , 显 然 有 M ? N , 所 以 a ? ?1 成 立

?

?

?

?

.

?a ? 1 ? ?1 ?a ? 1 ? 0

?a ? 1 ? 0 ? ?a ? 1 ? 3
8分 解得 ? 1 ? a ? 2 9分

所以 a ? ?? 2,2? 2、 (★★★) 设集合 A ? {x | x2 ? 4x ? 0}, B ? {x | x2 ? 2(a ? 1) x ? a2 ?1 ? 0} , 其中 x ? R , 若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.

A ? {0, 4}, 1) B ? ?时,? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0 ? a ? ?1
解: 2) B ? ?时, ? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0 ? a ? ?1, B ? {0},符合;
2 2

a ? 1, B ? {0, 4} ? A,符合要求; 所以综上得:a ? ?1或a ? 1

点评:有学生可能会把x ? ?4代入x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0得a ? 1, 或a ? 7, 注意当a ? 7时,方程的另一根为x ? ?12,此时B并不是A的子集; 另外,要注意对的B=?讨论
3、 (★★)已知集合 A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R} ;
(1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; (2)若 A 是空集,求 a 的取值范围. 解: (1)1 : a ? 0 时, x ? ?

1 满足条件; 2 : a ? 0 时, ? ? 0 ,即 4 ? 4 a ? 0 ,解得 a ? 1 2

综上得 a ? 0或a ? 1 . (2) A ? ? ,即 ? ? 0 ,即 4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 1 ,所以的取值范围为 a ? 1 . 4、已知非空集合 A ? {x | 2a ? x ? a ? 1, x ? R}, B ? {x | 2 ? x ? 3a ? 1, x ? R}, a ? R ,求 使 A ? B 时,a 的取值范围.
2

a 2 ? 1 ? 2a,? A ? ?
解:

? 2a ? 2 又A ? B,即 ? 2 ?1? a ? 3 ?a ? 1 ? 3a ? 1

5、 已知集合 A ? {x | 2a ? x ? a 2 , x ? R}, B ? {x | 2 ? x ? 3a ? 1, x ? R}, a ? R , 求使 A ? B 时,a 的取值范围.

6 、 P ? {x | 2 ? 1 ? x ? 3}, M ? {x | x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0}, N ? {y | y ? x2 ? 2x, x ? P} , 且 M ? N ? N ,求实数 a 的取值范围.

解: M

N ? N ,即M ? N

N即为二次函数y ? x 2 ? 2 x, x ? [ 2 ? 1,3]的值域, 即N ? { y |1 ? y ? 3} ? ? (a ? 1) 2 ? 0,? M ? ? 1)a ? 1时, M ? {x |1 ? x ? a}, M ? N ,? a ? 3; 2)a ? 1时, M ? {1}, 满足条件; 3)a ? 1时, M ? {x | a ? x ? 1},此时M 不可能为N的子集 所以综上得a的取值范围为: 1? a ? 3
点评:本题也可作为补充例题.解题过程中要注意对集合 N 的正确求解与化简,考查了二次 函数的 y 的取值范围的求解问题;另外,再次体现了分类讨论的思想.

注意:1、涉及 A ? B 时注意不要忽略 A ? ? 的情况; 2、涉及二次项前面有参数时,要注意参数为 0 的情况。

专题:命题和充分必要条件(★★★)
知识梳理:
一. 命题的形式及等价命题: 1. 命题的概念:可以判断真假的语句叫做命题; 2. 四种命题形式:原命题,逆命题,否命题,逆否命题; 原命题:若 ? ,则 ? ; 逆命题:若 ? ,则 ? ; 否命题:若 ? ,则 ? ; ( ? 表示 ? 的否定, ? 表示 ? 的否定) 逆否命题:若 ? ,则 ? ; 3. 等价命题:如果 A、B 是两个命题, A ? B, B ? A ,那么 A、B 叫等价命题。 4. 四种命题形式及其相互关系:

?注意:否命题是命题的否定吗?答:不是。命题的否命题既否定命题的条件,又否定命
题的结论;而命题的否定只否定命题的结论。 5. 常见结论的否定形式: (拓展内容) 原结论 是 都是 大于 小于 对所有的 x 成立 对任何的 x 不成立 否定形式 不是 不都是 小于或等于 大于或等于 存在 x 不成立 存在 x 成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 否定形式 没有 至少有二个 至多有 n -1 个 至少有 n +1 个 非 p 且非 q 非 p 或非 q

p 或q p 且q

二. 充分条件与必要条件: 1. 概念:如果 ? ? ? ,那么 ? 叫做 ? 的充分条件, ? 叫做 ? 的必要条件; 2. 等价形式: ① ? 是 ? 的充分条件 ② ? 是 ? 的必要条件

? ?

??? ? ??
?
?? ? ? ? ??不能推出? ?? ? ? ? ??不能推出?

③ ? 是 ? 的充分非必要条件

④ ? 是 ? 的必要非充分条件

?

⑤ ? 是 ? 的充要条件

?

?? ? ? ? ?? ? ?

?

???

3. 字 集 与 推 出 关 系 : 设 A、B 是 两 个 非 空 集 合 , A ? a a具有性质 ? ,

?

?

B ?? b b具有性质 ? ?,则 A ? B 与 ? ? ? 等价。
典例分析: 例 1. 下列命题为真命题的为 ( )

A、若

1 1 ? , 则x ? y x y

B、若x2 ? 1, 则x ? 1

C、若 x? y ,则

x ?

y

D、若x ? y, 则x2 ? y 2

解:答案选 A 【本题考查判断命题的真假】 例 2. 命题“存在 x0 ? R, 2 0 ? 0 ”的否定是 (
x



A、不存在 x , 2x0 ? 0 0? R
C、对任意的 x? R , 2x ? 0
解:答案选 D 【本题考查否命题,结论和条件同时否定】

B、存在x0 ? R, 2x0 ? 0
D、对任意的x ? R, 2x ? 0

“a ? 0且b ? 0”是“a ? b ? 0且ab ? 0” 例 3. 已知 a , b 是实数,则 的 (
A、充分而不必要条件 C、充分必要条件 解:答案选 C 【本题考查命题的充要条件】



B、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件

“x ? 1 ”是“x ? x”的 ( 例 4. 设 x ? R ,则
3



A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 解:答案选 A 【本题考查命题的充分条件,必要条件,关键抓住小范围能推大范围】 例 5. 若不等式 x ? m ? 1 成立的充分不必要条件是 _______________。 解:解不等式 x ? m ? 1 得到 m ? 1 ? x ? m ? 1 ,由题可知: ? x ?

1 1 ? x ? ,则实数 m 的取值范围是 3 2

1 3

1 ? m ?1 ? x ? m ? 1 2

1 4 ? ? m ?1 ? m? ? ? 1 4 ? ? 3 3 所以 ? ,则 ? ,所以 m 的取值范围是 [? , ] 2 3 ?m ? 1 ? 1 ?m ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2
【本题考查子集的推出关系,关键抓住小范围能推大范围】 例 6. (★★)命题“若一个数是负数,则他的平方是正数”的逆命题是 ( A、 “若一个数是负数,则它的平方不是正数” B、 “若一个数的平方是正数,则它是负数” C、 “若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D、 “若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 解:答案选 B 【本题考查命题的逆命题,结论和条件交换位置】 )

“-2 ? a ? 2” 例 7. (★★) 是 “实系数一元二次方程x ? ax ? 1 ? 0有虚根”的 (
2



A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 解:答案选 A 【本题考查命题的充分条件,必要条件,关键抓住小范围能推大范围】

课堂小练:
1. “ x ? 1 <2 ”是“ x<3 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 解: A. ( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2. 命题“若 a> b ,则 a ? 1>b ”的逆否命题是

A. 若 a ? 1 ? b ,则 a ? b

B. 若 a ? 1 ? b ,则 a ? b

C. 若 a ? 1 ? b ,则 a ? b
解: C

D. 若 a ? 1 ? b ,则 a ? b

3. 已知条件 P : x ? 1 ,条件 q : <1 ,则 P 是“非 q ”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解: B 4、在下列结论中,正确的是 ①“ p

1 x

)

B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件





q ”为真是“ p

q ”为真的充分不必要条件;

②“ p ③“ p

q ”为假是“ p

q ”为真的充分不必要条件;

q ”为真是“非 p ”为假的必要不充分条件; q ”为假的必要不充分条件
B. ①③ C. ②④ D. ③④

④“非 p ”为真是“ p A. ①② 解:B

5、 “ a<0 ”是方程“ ax ? 2 x ? 1 ? 0 ”至少有一个负数根的
2





A.必要不充分条件 C.充分必要条件 解: C

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2 2 6、已知 a、b ? R ,命题“若 a ? b ? 2 ,则 a ? b ? 2 ”的否命题是________. 2 2 若 a ? b ? 2 ,则 a ? b ? 2

7、已知 x ? R ,条件 p : x 2 ? x ,条件 q :
A .充分不必要条件; C .充分必要条件;

1 ? 1 ,则 p 是 q 的( )A x B .必要不充分条件; D .既不充分也不必要条件.
2 2

8、对于原命题: “已知 a、b、c ? R ,若 a ? b ,则 ac ? bc ” ,以及它的逆命题、否命 题、逆否命题,在这 4 个命题中,真命题的个数为( )C A .0 个; B .1 个; C .2 个; D.4 个 9、设 a , b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1 ”的???????( a

)D

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

课后作业:
1、“ a ? 0, b ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 答案:A 点评:分两步,先看“ a ? 0, b ? 0 ”能否推出“ ab ? 0 ”,再看“ ab ? 0 ” 能否推出 ) (B)必要而不充分条件 (D)既不允分也不必要条件

“ a ? 0, b ? 0 ” 。 2、已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 成立 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 分析:本题考查简易逻辑知识. 因为p ? r ? s ? q但r成立不能推出p成立,所以 p ? q ,但q成立不能推出p成立,所以选 A (可用反正法证明:q成立不能推出p成立) 解:选A 点评:推出关系满足传递性: “若? ? ?,? ? ? ,则? ? ? ” 3、若非空集合 M ? N ,则“ a ? M 或 a ? N ”是“ a ? M ? N ”的( A.充分非必要条件 答案:B 解析:小范围推大范围,大范围推不出小范围. B.必要非充分条件 C.充要条件 ) C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

4、 ?

? x1 ? 3 ? x1 ? x2 ? 6 的 是? x ? 3 x x ? 9 ? 2 ? 1 2

条件

答案:充分非必要条件 分析 将前后两个不等式组分别作等价变形,观察两者之间的关系.

解 x 1 > 3且x 2 > 3 ? x 1 +x 2 > 6且x 1 x 2 > 9 ,但当取x 1 =10,x 2 = 2 时, ?x 1 ? x 2 > 6 ?x 1 > 3 成立,而 ? 不成立 (x 2 = 2 与x 2 > 3矛盾 ) ,所以填“充分不 ? ?x 1 x 2 > 9 ?x 2 > 3 必要”.
?x 1 > 3 ?x 1 - 3> 0 说明: ? ?? ?x 2 > 3 ?x 2 - 3> 0

?(x1 -3) +(x 2 -3) >0 ?? ? ?(x1 -3)(x 2 -3) >0 ?x1 +x 2 >6 这一等价变形方法有时会用得上. ? ?x1 x 2 -3(x1 +x 2 ) +9 >0
5、 在空格内填上“充分非必要” , “必要非充分” , “充要” , “既非充分又非必要” : (1)“ x ? 0 ”是“ x ? 1 ”的 条件; (2)“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”是“ x ? ?2 ”的
2

条件;

(3)“ x ? y ”是“ x ? y ”的

条件; 条件;

(4)“ a ? 0 ”是“方程 ax ? b 有唯一解”的 条件; (5)对于集合 A, B , “ x ? A ? B ”是“ x ? A ? B ”的

(6)对于集合 A, B, C , “ A ? B ”是“ A ? C ? B ? C ”的 条件; 答案:必要非充分、充分非必要、既非充分又非必要、充要条件、必要非充分、充分非必 要 6、有下列四个命题:①命题“若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题;②命题“面积相 等的三角形全等”的否命题;③命题“若 m ≤1,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题;
2

④命题“若 A ∩ B = B ,则 A ? B ”的逆否命题 其中是真命题的是 认为正确命题的序号)
王新敞
奎屯 新疆

(填上你

王新敞
奎屯

新疆

答案:①②③
2 2 7、已知 a , b 都是实数,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的……………(



A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案:D
2

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

8、已知 a , b 为实数,命题甲: ab ? b ,命题乙: 则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】B

1 1 ? ?0, b a

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9、命题“对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 ”的否定是 A.对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 C.存在 x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 【答案】D

(

)

B.对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 D.存在 x0 ? R , f ( x0 ) ? 0



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