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高一数学必修一函数经典题型复习



函数奇偶性
例题 1:.已知函数 练习:

f ( x) ? a ?

1 是奇函数,则常数 a ? 4 ?1
x

1 ? a 是奇函数,则实数 a ? 2 ?1 1 (2)若函数 f ( x) ? a ? x 为奇函数,则 a =_____________. 9 ?1
(1) 若函数 f

( x) ?
x

例题 2:.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 ?a ? 1,2a ?, 则 f (0) ? A. ( ) B.

1 3

2 3

C. 1

D. -1

5 3 例题 3.已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 2 ,且 f (?5) ? 17 ,则 f (5) 的值为( A )

A.-13 B.13 C.-19 D.19 练习. 已知 f ( x) ? ax5 ? bx3 ? cx ? 5(a, b, c是常数) ,且 f (5) ? 9 ,则 f (?5) 的值为 例题 4. 设 f ( x) 在 R 上是奇函数,当 x>0 时, 的表达式是什么? 练习:



f ( x) ? x(1 ? x) ,

试问:当 x <0 时, f ( x)

f (1)设函数 f ? x ? 是 R 上的偶函数,且当 x? ? 0, ???时, ? x ? ? x 1 ? 3 x ,

?

?

则当x? ? ??,?时, ? x ? 等于( 0 f
A、x x ? 3 x ;



?

?

B、 x x ? 3 x ; ?

?

?

C、 x x ? 3 x ; ?

?

?

D、x x ? 3 x .
__

?

?

2 (2)已知 f (x) 为 R 上的奇函数,且 x ? 0 时 f ( x) ? ?2 x ? 4 x ? 1 ,则 f (?1) ? ____

例题 5: 若定义在 R 上的函数 f (x) 满足: 对任意 x1 , x2 ? R ,有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 , 下列说法一定正确的是()

A、 f (x) 是奇函数 C f (x) +1 是奇函数

B、 f (x) 是偶函数 D、 f (x) +1 是偶函数

练习: 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R , 且对任意 a, b ? R , 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,
求证:函数 y ? f ( x) 是奇函数.

1

函数单调性
证明函数单调性的步骤: 第一步:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; 第二步:计算 f(x 1 )-f(x 2 )至最简; 第三步:判断差的符号; 第四步:下结论. 3 例题 1:求 y ? 在区间[3,6]上的最大值和最小值. x?2 变式:求 y ?

3? x , x ?[3,6] 的最大值和最小值. x?2
).

例题 2. 函数 y ? x2 ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围 ( A. b ? ?2 B. b ? ?2 C . b ? ?2 D. b ? ?2 练习:

(1) 若函数 y ? x 2 ? (2a ? 1) x ? 1在区间 (-∞, ] 上是减函数, 2 则实数 a 的取值范围是( )

A. [ -

3 ,+∞) 2

B. (-∞,- 3 ]
2

C. [

5 ,+∞) 2

D. (-∞,

5 ] 2

(2) 函数 f ( x) ? x 2 ? 2x 的单调增区间是( ) A. (??,1] B. [1, ??) C. R D.不存在 (3) 在区间 (??,0) 上为增函数的是( ) 2 A. y ? ?2 x B. y ? x C. y ?| x | D. y ? ? x 2 例题: 已知 f ( x) 是定义在 ( ?1,1) 上的减函数,且 f (2 ? a) ? f (a ? 3) ? 0 . 求实数 a 的取值范 围.

练习 (07 福建)已知函数 f ?x ? 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? 是( ) B. ?0,1? D. ?? ?,?1? ? ?1,???

?1 ?x

? ? ? f ?1? 的实数 x 的取值范围 ? ?

A. ?? 1,1? C. ?? 1,0? ? ?0,1?

函数的奇偶性与单调性
? 例题 1.已知定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ?? ? 的偶函数 f ( x) 在 (0, ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,
则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集为 .

2

练习: ( 1 ) 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 在 ?? ?,0? 上 是 减 函 数 , 若 f ( ) ? 0 , 则 不 等

1 2

f (log4 x) ? 0 的解集是

.

(2)设 f ( x) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 x ? f (x ) ? 0 的解集是( )
A、 x | ?3 ? x ? 0或x ? 3 C、 x | x ? ?3或x ? 3

?

?

B、 x | x ? ?3或0 ? x ? 3

?

? ?

?

?

D、 x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3

?

5 px 2 ? 2 练习:已知函数 f ( x) ? 是奇函数,且 f (2) ? ? . 3 q ? 3x
(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)判断函数 f ( x ) 在 (0,1) 上的单调性,并加以证明.

3

一、选择题: 1 、 设 全 集 U ? Z , 集 合 A ? ?? 1,1,2?, B ? ?? 1,0,1,2? 从 A 到 B 的 一 个 映 射 为 ,

x ? y ? f ( x) ?

x | x|







x ? A, y ? B, P ? ?y | y ? f ( x)?,



B ? (CU P) ? _________________。
2 、 已 知 x1 是 方 程 x ? lg x ? 3 的 根 , x2 是 方 程 x ? 10 ? 3 的 根 , 则 x1 ? x2 值 为
x

______________。 3、已知函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,且当 x ? 0 时 f ( x ) ?

1 , 则当 x

x ? ?2 时 f (x) ?
________________。 4、函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像与 y 轴交于点 P(0, 2) (如图所示) ,则方程 f ( x) ? 0 在 [1, 4] 上的根是 x ?

?2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 5、设 f ( x) ? ? 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ?
A、0 B、1 C、2 D、3 6、从甲城市到乙城市 m 分钟的电话费由函数 f (m) ? 1.06 ? ( [m] ? ) 给出,其中

3 4

7 4

m ? 0 ,[m ] 表示不大于 m 的最大整数(如 [3] ? 3, [3.9] ? 3, [3,1] ? 3 ) ,则从甲城市到
乙城市 5.8 分钟的电话费为______________。 7、 函数 f ( x ) ?

ax ? 1 在区间 (?2,??) 上为增函数, a 的取值范围是______________。 则 x?2

? x ?1 ?2 ? 2, x ? (??,2] 8、函数 y ? ? 1? x 的值域为______________。 ?2 ? 2, x ? (2,??) ?
A、 (?

3 ,?? ) 2
2 x ?1

B、 (??,0]

C、 (?? ,? )

3 2

D、 (?2,0]

9、若 f (5

) ? x ? 2 ,则 f (125) ? __________

2 10、已知映射 f : A ? B ,其中 A=B=R,对应法则为 f : x ? y ? x ? 2x ? 3

若对实数 k ? B ,在集合中 A 不存在原象,则 k 的取值范围是______________

( 0 11、偶函数 f (x) 在 - ?,)上是减函数,若 f (-1) ? f (lg x) ,则实数 x 的取值范围是
______________. 12、关于 x 的方程 | x ? 4 x ? 3 | ?a ? 0 有三个不相等的实数根,则实数 a 的值是
2

4

_________________。 13、关于 x 的方程 ( ) ?
x

1 2

1 有正根,则实数 a 的取值范围是______________ 1 ? lg a

14、已知函数 f(x)= (log1
4

x) 2 ? log1 x ? 5 , x ? ?2,?,则当 x = 4
4



f (x) 有最大值

;当 x =

时,f(x)有最小值

.

二、解答题:本大题共4小题,解答时应写出文字说明、演算步骤. 15、已知集合 A ? ? ,2,3, m?,集合 B ? 4,7, a 4 , a 2 ? 3a ,其中 1

?

?

m ? N * , a ? N * , x ? A, y ? B. f : x ? y ? 3x ? 1 是从集合 A 到集合 B 的函数,求
m, a, A, B
16、 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 , x ? [?2,2] 时, f ( x) ? a 恒成立, a 的最小值. 当 求

17、已知函数 f ( x) ? 2 x?1 ,将函数 y ? f 1个单位,就得到 y ? g (x) 的图象. (1)写出 y ? g (x) 的解析式; (2)求 F ( x) ? g ( x ) ? f
2 ?1

?1

( x) 的图象向左平移2个单位,再向上平移

( x) 的最小值.

18、一片森林面积为 a ,计划每年砍伐一批木材,每年砍伐面积的百分比相等,则砍伐 到面积的一半时,所用时间是 T 年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的

1 2 .已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 . 4 2
(1)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (2)今后最多还能砍伐多少年?

5

恒成立问题
类型一、利用二次函数的图象 例:函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ,当 x ? R 时, f ( x) ? a 恒成立,求 a 的范围 解析:∵ f ( x) ? a 恒成立,∴ x ? ax ? 3 ? a ? 0 恒成立,把左边看成二次函数,则
2

? ? 0 ∴?6 ? a ? 2
类型二、能分离参量 例:不等式 x ? x ? 2 ? ax ? 5 当 0<x<2 时恒成立,求 a 的范围
2

解析:∵不等式 x ? x ? 2 ? ax ? 5 当 0<x<2 时恒成立
2

∴a ?

x2 ? x ? 3 3 ? 1 ? x ? 当 0<x<2 时恒成立 x x
3 ?1 ? 2 3 ?1 x

又∵0<x<2 时, x ? ∴ a ? 2 3 ?1 类型三、需要改写不等式

例:不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有都成立,求 m 的取值范围 解析:∵不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有都成立
2

∴ ( x ? 1)m ? (2x ? 1) ? 0对- ? m ? 2 恒成立 2
2

令 f (m) ? ( x ? 1)m ? (2x ? 1) ,则 ?
2

? f (?2) ? 0 7 ?1 3 ?1 ,∴ ?x? 2 2 ? f (2) ? 0

类型四、若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 解: f ( x) ? ? x ? ⑴当 ?

? ?

a ? a2 ? ? ? a ? 3 ,令 f ( x) 在 ? ?2,2? 上的最小值为 g (a) 。 2? 4

2

? a 不存在。

a 7 ? ?2 ,即 a ? 4 时, g (a) ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 0 ? a ? 又? a ? 4 2 3

a a a2 ? a ? 3? 0 ??6 ? a ? 2 又 ⑵当 ?2 ? ? ? 2 ,即 ?4 ? a ? 4 时, g (a ) ? f ( ) ? ? 2 2 4
? ?4 ? a ? 4 ??4 ? a ? 2 a ⑶ 当 ? ? 2 , 即 a ? ?4 时 , g ( a)? 2

f ( 2?) ?7 a ?

? a ? ?7 0

又 ? a ? ?4

6

??7 ? a ? ?4 总上所述, ?7 ? a ? 2 。

抽象函数
1. 设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y, f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 总成 立,且存在 x1 ? x 2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f (x) 的值域。

2. 设对满足 x ? 0,x ? 1 的所有实数 x,函数 f (x) 满足 f(x)的解析式。

f ( x) ? f (

x ?1 ) ? 1? x x ,求

3. 设 f(x)定义于实数集上,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对于任意实数 x、y,有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求证: f (x) 在 R 上为增函数。
4. 已 知 函 数 f ( x)(x ? R,x ? 0) 对 任 意 不 等 于 零 的 实 数 x1、x2 都 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试判断函数 f(x)的奇偶性。
5. 已知函数 y ? f (x) 满足 f ( x) ? f (? x) ? 2002, f 求
?1

( x) ? f ?1 (2 0 ? x) 的值。 02

6.

定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , 且当 x>0 时,0<f(x)<1。 (1)判断 f(x)的单调性; (2)设 A ? {( x,y) | f ( x ) ? f ( y ) ? f (1)},
2 2

若 试确定 a 的取值范 B ? {( x,y) | f (ax ? y ? 2 ) ? 1 a ? R} , A ? B ? ? , , 围。

7



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