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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查12 函数模型及其应用



开卷速查(十二)

函数模型及其应用

A 级 基础巩固练 1.往外埠投寄平信,每封信不超过 20 g,付邮费 0.80 元,超过 20 g 而不超过 40 g,付邮费 1.60 元,依此类推,每增加 20 g 需增加邮 费 0.80 元(信的质量在 100 g 以内). 如果某人所寄一封信的质量为 72.5 g,那么他应付邮费( A.3.

20 元 C.2.80 元 ) B.2.90 元 D.2.40 元

解析: 由题意得 20×3 < 72.5 < 20×4 ,则应付邮费 0.80×4 = 3.20(元).故选 A. 答案:A 2.在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下 表: x y 0.50 -0.99 0.99 0.01 ) B.y=x2-1 D.y=log2x 2.01 0.98 3.98 2.00

则对 x,y 最适合的拟合函数是( A.y=2x C.y=2x-2

解析:根据 x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除 A;根据 x =2.01,y=0.98,代入计算,可以排除 B,C;将各数据代入函数 y= log2x,可知满足题意.故选 D. 答案:D 3.设甲、乙两地的距离为 a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地

-1-

到乙地用了 20 分钟,在乙地休息 10 分钟后,他又以匀速从乙地返回 到甲地用了 30 分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所 用的时间 x 的函数图像为( )

解析:注意到 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不 是位移,用定性分析法不难得到答案 D. 答案:D 4.[2014· 北京]加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的 百分比称为“可食用率”. 在特定条件下, 可食用率 p 与加工时间 t(单 位:分钟)满足函数关系 p=at2+bt+c(a,b,c 是常数),如图记录了三 次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时 间为( )

A.3.50 分钟 C.4.00 分钟

B.3.75 分钟 D.4.25 分钟

解析:由实验数据和函数模型知,二次函数 p=at2+bt+c 的图像

-2-

过 点 (3,0.7) , (4,0.8) , (5,0.5) , 分 别 代 入 解 析 式 , 得 0.7=9a+3b+c, ? ? ?0.8=16a+4b+c, ? ?0.5=25a+5b+c, a=-0.2, ? ? 解得?b=1.5, ? ?c=-2.

所以 p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当 t= 3.75 分钟时,可食用率 p 最大.故选 B. 答案:B 5.将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中剩余的 水符合指数衰减曲线 y=aent,假设 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等, a 若再过 m 分钟后甲桶中的水只有8升,则 m 的值为( A.8 C.12 B.10 D.15 )

a 1 a 1 解析:由已知条件可得 ae5n=2,e5n=2.由 aent=8,得 ent=8,所 以 t=15,m=15-5=10. 答案:B 6. 国家规定个人稿费纳税办法: 不超过 800 元的不纳税; 超过 800 元而不超过 4 000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税; 超过 4 000 元的 按全部稿费的 11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税 420 元,这个 人应得稿费(扣税前)为( A.2 800 元 C.3 800 元 ) B.3 000 元 D.3 818 元

解析:设扣税前应得稿费为 x 元,则应纳税额为分段函数,由题
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0 ?x≤800?, ? ? 意,得 y=??x-800?×14% ?800<x≤4 000?, ? x ?x>4 000?. ?11%· 如果稿费为 4 000 元应纳税为 448 元,现知某人共纳税 420 元,所 以稿费应在 800~4 000 元之间, ∴(x-800)×14%=420.∴x=3 800(元). 答案:C 7.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病毒的繁殖规律 为 y=ekt(其中 k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数), 则 k=__________,经过 5 小时,1 个病毒能繁殖为__________个. 1 解析:当 t=0.5 时,y=2,∴2=e2k,∴k=2ln2. ∴y=e2tln2,当 t=5 时,∴y=e10ln2=210=1 024. 答案:2ln2 1 024 8. 某市出租车收费标准如下: 起步价为 8 元, 起步里程为 3 km(不 超过 3 km 按起步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按 每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费, 另每次乘坐需付燃油附加费 1 元. 现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元, 则此次出租车行驶了______km. 解析:设出租车行驶 x km 时,付费 y 元, 9, 0<x≤3, ? ? 3<x≤8, 则 y=?8+2.15?x-3?+1, ? ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8.
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由 y=22.6,解得 x=9. 答案:9

9. 如图, 书的一页的面积为 600 cm2, 设计要求书面上方空出 2 cm 的边,下、左、右方都空出 1 cm 的边,为使中间文字部分的面积最大, 这页书的长、宽应分别为__________. 解析:设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600,则中间文字部分的 面积 S=(a-2-1)(b-2)=606-(2a+3b)≤606-2 6×600=486, 当且仅当 2a=3b,即 a=30,b=20 时,S 最大=486. 答案:30 cm、20 cm 10. 有一种新型的洗衣液, 去污速度特别快. 已知每投放 k(1≤k≤4, 且 k∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中, 它在水中释放的浓度 y(克/升)随着时间 x(分钟)变化的函数关系式近似为 y=k· f(x),其中 f(x)

?8-x-1?0≤x≤4?, =? 1 7 - ? 2x?4<x≤14?.

24

若多次投放, 则某一时刻水中的洗衣液浓度

为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水 中洗衣液的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次 k 个单位的洗衣液,两分钟时水中洗衣液的浓度 为 3(克/升),求 k 的值;
-5-

(2)若只投放一次 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分 钟?
? 24 ? ? ? - 1 解析:(1)由题意知 k? ?=3,得 k=1. ?8-2 ?

96 ? ?8-x-4?0≤x≤4?, (2)因为 k=4,所以 y=? ? ?28-2x?4<x≤14?, 则当 0≤x≤4 时,由 0≤x≤4. 当 4<x≤14 时,由 28-2x≥4,解得 x≤12,所以此时 4<x≤12. 综上可知 0≤x≤12,若只投放一次 4 个单位的洗衣液,则有效去 污时间可达 12 分钟. B级 能力提升练 96 8-x - 4≥4 ,解得 8 > x≥ - 4 ,所以此时

11.甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 3? ? 1≤x≤10),每一小时可获得的利润是 100?5x+1-x?元.
? ?

1 3? ? ?5+ - 2?元; (1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a· x x
? ?

(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取 何种生产速度?并求此最大利润. a 解析:(1)证明:生产 a 千克该产品所用的时间是x小时, 3? ? ∵每一小时可获得的利润是 100?5x+1-x?元,
? ?

-6-

3? a ? ∴获得的利润为 100?5x+1-x?×x 元.
? ?

1 3? ? 因此生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a?5+x -x2?元.
? ?

1 3? ? ?5+ - 2? 元, (2) 生产 900 千克该产品获得的利润为 90 000· x x
? ?

1≤x≤10. 3 1 设 f(x)=-x2+x +5,1≤x≤10.
?1 1? 1 则 f(x)=-3? x-6?2+12+5,当且仅当 x=6 取得最大值. ? ?

61 故获得最大利润为 90 000×12=457 500 元. 因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润 457 500 元. 12. 某工厂生产某种产品, 每日的成本 C(单位: 万元)与日产量 x(单 位:吨)满足函数关系式 C=3+x,每日的销售额 S(单位:万元)与日产

?3x+x-8+5 ? 量 x 的函数关系式 S=??0<x<6?, ?14 ??x≥6?,
且当 x=2 时,L=3. (1)求 k 的值;

k

)已知每日的利润 L=S-C,

(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大 值.

-7-

k ? ?2x+x-8+2,0<x<6, 解析:(1)由题意可得:L=? ? ?11-x,x≥6, k 因为 x=2 时,L=3,所以 3=2×2+ +2, 2-8 解得 k=18. (2)当 0<x<6 时,L=2x+ 18 18 +2,所以 L=2(x-8)+ +18 x-8 x-8 18 2?8-x?· +18=6. 8-x 18

=-[2(8-x)+

]+18≤-2 8 -x 18

当且仅当 2(8-x)=

,即 x=5 时取得等号. 8 -x

当 x≥6 时,L=11-x≤5. 所以当 x=5 时,L 取得最大值 6. 所以当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大值 6 万元.

-8-



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